A világ úgy van elrendezve, hogy nagyszámú probléma megoldása egy másodfokú egyenlet gyökereinek megtalálásáig vezet. Az egyenletek gyökerei fontosak a különböző minták leírásához. Ezt még az ókori Babilon földmérői is tudták. A csillagászok és mérnökök is kénytelenek voltak ilyen problémákat megoldani. A 6. században Aryabhata indiai tudós kidolgozta a másodfokú egyenlet gyökereinek megtalálásának alapjait. A képletek a 19. században készültek.
Általános fogalmak
Arra hívjuk, hogy ismerkedjen meg a másodfokú egyenlőségek alapvető szabályszerűségeivel. Általában az egyenlőség a következőképpen írható fel:
ax2 + bx + c=0, Egy másodfokú egyenlet gyökeinek száma lehet egy vagy kettő. Gyors elemzés végezhető a diszkrimináns fogalmával:
D=b2 - 4ac
A számított értéktől függően a következőt kapjuk:
- A D > 0 esetén két különböző gyökér létezik. A másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározására szolgáló általános képlet a következőképpen néz ki: (-b± √D) / (2a).
- D=0, ebben az esetben a gyök egy és az x=-b / (2a) értéknek felel meg
- D < 0, a diszkrimináns negatív értékére nincs megoldás az egyenletre.
Megjegyzés: ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek csak a valós számok tartományában nincs gyöke. Ha az algebrát kiterjesztjük az összetett gyökök fogalmára, akkor az egyenletnek van megoldása.
Adjunk meg egy cselekvési láncot, amely megerősíti a gyökerek megtalálásának képletét.
Az egyenlet általános alakjából az következik:
ax2 + bx=-c
A jobb és bal oldali részt megszorozzuk 4a-val, és összeadjuk a b2, kapjuk:
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Alakítsa át a bal old alt a polinom négyzetévé (2ax + b)2. Kivonjuk a 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2) egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét, átvisszük a b együtthatót a jobb oldalra, így kapjuk:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Innen a következő:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Amit meg kellett mutatni.
Különleges eset
Egyes esetekben a probléma megoldása leegyszerűsíthető. Tehát egy páros b együtthatóhoz egy egyszerűbb képletet kapunk.
Jelölje k =1/2b, akkor a másodfokú egyenlet gyökeinek általános alakjának képlete a következő alakot veszi fel:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Ha D=0, akkor x=-k / a
Egy másik speciális eset az egyenlet megoldása a=1-gyel.
Az x2 + bx + c=0 alaknál a gyökök x=-k ± √(k2 - c) 0-nál nagyobb diszkriminánssal. Abban az esetben, ha D=0, a gyökér meghatározása egy egyszerű képlettel történik: x=-k.
Diagramok használata
Bárki, anélkül, hogy tudná, állandóan olyan fizikai, kémiai, biológiai, sőt társadalmi jelenségekkel szembesül, amelyeket egy másodfokú függvény jól leír.
Megjegyzés: a másodfokú függvény alapján felépített görbét parabolának nevezzük.
Íme néhány példa.
- A lövedék röppályájának kiszámításakor a horizonttal szögben kilőtt test parabolája mentén történő mozgás tulajdonságát használjuk.
- A parabola azon tulajdonságát, hogy egyenletesen osztja el a terhelést, széles körben használják az építészetben.
A parabolafüggvény fontosságának megértése után találjuk ki, hogyan használhatjuk fel a gráf tulajdonságait a „diszkrimináns” és „egy másodfokú egyenlet gyökerei” fogalmak segítségével.
Az a és b együtthatók értékétől függően csak hat lehetőség van a görbe helyzetére:
- A diszkrimináns pozitív, a és b különböző előjelű. A parabola ágai felfelé néznek, a másodfokú egyenletnek két megoldása van.
- A diszkrimináns és a b együttható nulla, az a együttható nagyobb, mint nulla. A grafikon a pozitív zónában van, az egyenletnek 1 gyöke.
- A diszkrimináns és az összes együttható pozitív. A másodfokú egyenletnek nincs megoldása.
- A diszkrimináns és az a együttható negatív, a b nagyobb, mint nulla. A gráf ágai lefelé irányulnak, az egyenletnek két gyöke van.
- Diskrimináló ésb együttható nullával egyenlő, a együttható negatív. A parabola lefelé néz, az egyenletnek egy gyöke van.
- A diszkrimináns és az összes együttható értéke negatív. Nincs megoldás, a függvényértékek teljesen a negatív zónában vannak.
Megjegyzés: az a=0 opciót nem veszi figyelembe, mivel ebben az esetben a parabola egyenessé degenerálódik.
A fentieket jól szemlélteti az alábbi ábra.
Példák problémamegoldásra
Feltétel: az általános tulajdonságok felhasználásával készítsünk egy másodfokú egyenletet, amelynek gyökei egyenlőek egymással.
Megoldás:
a probléma feltételétől függően x1 =x2, vagy -b + √(b2-4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). A jelölés egyszerűsítése:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, nyissa ki a zárójeleket, és adjon meg hasonló kifejezéseket. Az egyenlet 2√(b2 - 4ac)=0. Ez az állítás akkor igaz, ha b2 - 4ac=0, ezért b 2=4ac, akkor a b=2√(ac) értéket behelyettesítjük a egyenletbe
ax2 + 2√(ac)x + c=0, csökkentett formában x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Válasz:
ha a nem egyenlő 0-val és bármely c-vel, csak egy megoldás létezik, ha b=2√(c / a).
A négyzetes egyenletek minden egyszerűségük ellenére nagy jelentőséggel bírnak a mérnöki számításokban. Szinte bármilyen fizikai folyamat leírható némi közelítéssel a használatávaln rendű hatványfüggvények. A másodfokú egyenlet lesz az első ilyen közelítés.
