A négyes egyenletek gyakran előfordulnak számos matematikai és fizikai feladatban, ezért minden tanulónak meg kell tudnia oldani őket. Ez a cikk részletezi a másodfokú egyenletek megoldásának főbb módszereit, és példákat is ad ezek használatára.
Milyen egyenletet nevezünk másodfokúnak
Először is ennek a bekezdésnek a kérdésére válaszolunk, hogy jobban megértsük, miről fog szólni a cikk. Tehát a másodfokú egyenlet általános alakja a következő: c + bx+ax2=0, ahol a, b, c néhány szám, amelyeket együtthatóknak nevezünk. Itt a≠0 egy kötelező feltétel, ellenkező esetben a jelzett egyenlet lineárissá degenerálódik. A fennmaradó együtthatók (b, c) bármilyen értéket vehetnek fel, beleértve a nullát is. Így az olyan kifejezések, mint ax2=0, ahol b=0 és c=0, vagy c+ax2=0, ahol b=0, vagy bx+ax2=0, ahol c=0 is másodfokú egyenletek, amelyeket hiányosnak nevezünk, mivel vagy a b lineáris együttható nulla vagy nullaegy szabad c kifejezés, vagy mindkettő eltűnik.
Egyenlet, amelyben a=1-et redukáltnak nevezzük, vagyis a következő alakja van: x2 + с/a + (b/a)x=0.
A másodfokú egyenlet megoldása az, hogy olyan x értékeket találunk, amelyek kielégítik az egyenlőségét. Ezeket az értékeket gyökereknek nevezzük. Mivel a vizsgált egyenlet másodfokú kifejezés, ez azt jelenti, hogy gyökeinek maximális száma nem haladhatja meg a kettőt.
Milyen módszerek léteznek négyzetegyenletek megoldására
Általában 4 megoldási mód létezik. A nevük az alábbiakban található:
- Faktoring.
- Kiegészítés a négyzethez.
- Ismert képlet használatával (a megkülönböztetőn keresztül).
- A megoldási módszer geometrikus.
Amint a fenti listából látható, az első három módszer algebrai, ezért gyakrabban használják őket, mint az utolsót, amely egy függvény ábrázolását foglalja magában.
Van egy másik módszer a négyzetegyenletek megoldására a Vieta-tétel segítségével. A fenti lista 5. helyére kerülhetne, de ez nem történik meg, mivel Vieta tétele a 3. módszer egyszerű következménye.
A cikk későbbi részében részletesebben megvizsgáljuk a megnevezett megoldási módszereket, és példákat adunk ezekre, hogy konkrét egyenletek gyökereit megtaláljuk.
1. módszer. Faktoring
Ennek a módszernek a másodfokú egyenletek matematikájában van egy gyönyörűnév: faktorizáció. Ennek a módszernek a lényege a következő: a másodfokú egyenletet két tag (kifejezés) szorzataként kell bemutatni, amelyeknek nullának kell lenniük. Egy ilyen ábrázolás után használhatja a termék tulajdonságot, amely csak akkor lesz egyenlő nullával, ha egy vagy több (minden) tagja nulla.
Most fontolja meg a konkrét műveletek sorozatát, amelyeket végre kell hajtani az egyenlet gyökereinek megtalálásához:
- Helyezze át az összes tagot a kifejezés egyik részébe (például balra), hogy csak 0 maradjon a másik részében (jobbra).
- Állítsa be az egyenlet egyik részében szereplő tagok összegét két lineáris egyenlet szorzataként.
- Állítsa minden lineáris kifejezést nullára, és oldja meg őket.
Mint látható, a faktorizációs algoritmus meglehetősen egyszerű, azonban a legtöbb diáknak nehézségei vannak a 2. pont megvalósítása során, ezért ezt részletesebben is elmagyarázzuk.
Ahhoz, hogy kitalálja, melyik 2 lineáris kifejezés, egymással szorozva adja a kívánt másodfokú egyenletet, emlékeznie kell két egyszerű szabályra:
- Két lineáris kifejezés lineáris együtthatói egymással szorozva a másodfokú egyenlet első együtthatóját, azaz az a számot adják.
- A lineáris kifejezések szabad tagjainak megszorozva a kívánt egyenlet c számát kell megadniuk.
Az összes faktorszám kiválasztása után meg kell szorozni őket, és ha megadják a kívánt egyenletet, akkor folytassa a 3. lépéssela fenti algoritmust, ellenkező esetben módosítani kell a szorzókat, de ezt azért kell megtenni, hogy a fenti szabályokat mindig betartsák.
Példa a faktorizációs módszerrel történő megoldásra
Megmutatjuk világosan, hogy a másodfokú egyenlet megoldásának algoritmusa az ismeretlen gyökök összeállítása és megtalálása. Adjunk meg egy tetszőleges kifejezést, például 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Térjünk át a megoldására, figyelve az 1-től 3-ig tartó pontok sorrendjét, amelyek a cikk előző bekezdésében találhatók.
1. tétel. Mozgassa az összes kifejezést a bal oldalra, és rendezze őket a klasszikus sorrendben egy másodfokú egyenlethez. A következő egyenlőségünk van: 2x+(-8)+x2=0.
2. tétel. Lineáris egyenletek szorzatára bontjuk. Mivel a=1, és c=-8, akkor kiválasztunk például egy ilyen szorzatot (x-2)(x+4). Megfelel a fenti bekezdésben fogl alt, a várható tényezők feltárására vonatkozó szabályoknak. Ha kinyitjuk a zárójeleket, a következőt kapjuk: -8+2x+x2, azaz pontosan ugyanazt a kifejezést kapjuk, mint az egyenlet bal oldalán. Ez azt jelenti, hogy helyesen találtuk ki a szorzókat, és továbbléphetünk az algoritmus 3. lépésére.
3. tétel. Minden tényezőt nullával egyenlővé teszünk, így kapjuk: x=-4 és x=2.
Ha kétségei vannak az eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze úgy, hogy a talált gyököket behelyettesíti az eredeti egyenletbe. Ebben az esetben van: 22+22-8=0 és 2(-4)+(-4)2 -8=0. A gyökerek megfelelően találhatók.
Így a faktorizációs módszerrel azt találtuk, hogy az adott egyenletnek két különböző gyökere van.rendelkezik: 2 és -4.
2. módszer. A teljes négyzet kiegészítése
A négyzetegyenletek algebrájában a szorzó módszer nem mindig használható, mivel a másodfokú egyenlet együtthatóinak törtértékei esetén nehézségek adódnak az algoritmus 2. bekezdésének megvalósítása során.
A teljes négyzetes módszer viszont univerzális, és bármilyen típusú másodfokú egyenletre alkalmazható. Ennek lényege a következő műveletek végrehajtása:
- Az a és b együtthatót tartalmazó egyenlet tagjait az egyenlet egyik részébe, a c szabad tagot a másikba kell átvinni.
- Ezután az egyenlőség részeit (jobb és bal) el kell osztani az a együtthatóval, azaz az egyenletet redukált formában kell bemutatni (a=1).
- Összegezze a kifejezéseket az a és b együtthatókkal, hogy egy lineáris egyenlet négyzetét ábrázolja. Mivel a \u003d 1, akkor a lineáris együttható egyenlő lesz 1-gyel, mint a lineáris egyenlet szabad tagja, akkor egyenlőnek kell lennie a redukált másodfokú egyenlet lineáris együtthatójának felével. A lineáris kifejezés négyzetének megrajzolása után a megfelelő számot hozzá kell adni az egyenlőség jobb oldalához, ahol a szabad tag található, amelyet a négyzet kibontásával kapunk.
- Vegyük a négyzetgyököt a „+” és „-” jelekkel, és oldjuk meg a már kapott lineáris egyenletet.
A leírt algoritmus első pillantásra meglehetősen bonyolultnak tűnhet, azonban a gyakorlatban könnyebben megvalósítható, mint a faktorizációs módszer.
Példa a teljes négyzetes kiegészítést használó megoldásra
Vegyünk egy példát egy másodfokú egyenletre, amellyel a megoldását az előző bekezdésben leírt módszerrel taníthatjuk. Legyen adott a -10 - 6x+5x2=0 másodfokú egyenlet, amelyet a fent leírt algoritmus szerint kezdünk el megoldani.
1. tétel. A négyzetegyenletek megoldásánál az átviteli módszert használjuk, így kapjuk: - 6x+5x2=10.
2. pont. Ennek az egyenletnek a redukált alakját úgy kapjuk meg, hogy minden tagját 5-tel osztjuk (ha mindkét részt ugyanazzal a számmal osztjuk vagy szorozzuk, akkor az egyenlőség megmarad). Az átalakítások eredményeként a következőt kapjuk: x2 - 6/5x=2.
3. tétel. Az együttható fele - 6/5: -6/10=-3/5, ezzel a számmal egészítsd ki a négyzetet, így kapjuk: (-3/5+x) 2 . Kibővítjük, és a kapott szabad tagot ki kell vonni az egyenlőség bal oldalából, hogy kielégítsük a másodfokú egyenlet eredeti alakját, ami egyenértékű a jobb oldalhoz való hozzáadással. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: (-3/5+x)2=59/25.
4. tétel. Számítsa ki a pozitív és negatív előjelű négyzetgyököt, és keresse meg a gyököket: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. A két talált gyök értéke a következő: x1=(√59+3)/5 és x1=(3-√59)/5.
Mivel az elvégzett számítások gyökökhöz kapcsolódnak, nagy a valószínűsége annak, hogy tévedünk. Ezért ajánlatos ellenőrizni az x2 és x1 gyökök helyességét. x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Csere mostx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Így megmutattuk, hogy az egyenlet talált gyökerei igazak.
3. módszer. A jól ismert képlet alkalmazása
A másodfokú egyenletek megoldásának ez a módja talán a legegyszerűbb, mivel az együtthatók behelyettesítéséből áll egy ismert képletbe. Használatához nem kell megoldási algoritmusok összeállítására gondolni, elég csak egy képletet megjegyezni. A fenti képen látható.
Ebben a képletben a gyök kifejezést (b2-4ac) diszkriminánsnak (D) nevezzük. Értékétől függ, hogy milyen gyökereket kapunk. 3 eset van:
- D>0, akkor a két gyök egyenletnek van valós és különböző egyenlete.
- D=0, akkor megkapjuk a gyököt, ami az x=-b/(a2) kifejezésből számítható ki.
- D<0, akkor két különböző képzeletbeli gyöket kapunk, amelyeket komplex számként ábrázolunk. Például a 3-5i szám összetett, míg az i képzeletbeli egység kielégíti a következő tulajdonságot: i2=-1.
Példa egy megoldásra a diszkrimináns kiszámításával
Vegyünk egy példát egy másodfokú egyenletre a fenti képlet segítségével. Keresse meg a -3x2-6+3x+4x=0 gyökereit. Először is számítsuk ki a diszkrimináns értékét, így kapjuk: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Mivel megkapjuk a D<0 értéket, ez azt jelenti, hogy a vizsgált egyenlet gyökei komplex számok. Keressük meg őket úgy, hogy a talált D értéket behelyettesítjük az előző bekezdésben megadott képletbe (a fenti képen is látható). A következőt kapjuk: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
4. módszer. A függvénygrafikon használata
Ezt a négyzetegyenletek grafikus módszerének is nevezik. Azt kell mondani, hogy általában nem mennyiségi, hanem minőségi elemzésére használják a vizsgált egyenletnek.
A módszer lényege egy y=f(x) másodfokú függvény ábrázolása, amely egy parabola. Ezután meg kell határozni, hogy a parabola mely pontokon metszi az x tengelyt (X), ezek lesznek a megfelelő egyenlet gyökei.
Annak megállapításához, hogy egy parabola metszi-e az X tengelyt, elegendő ismernie minimumának (maximumának) helyzetét és ágainak irányát (ezek növekedhetnek vagy csökkenhetnek). Ennek a görbének két tulajdonságát érdemes megjegyezni:
- Ha a>0 - az ág parabolái felfelé irányulnak, ellenkezőleg, ha a<0, akkor lefelé mennek.
- A parabola minimális (maximális) koordinátája mindig x=-b/(2a).
Például meg kell határoznia, hogy a -4x+5x2+10=0 egyenletnek van-e gyökere. A megfelelő parabola felfelé irányul, mivel a=5>0. Az extrémumának koordinátái: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Mivel a görbe minimuma az x tengely felett van (y=9, 2), akkor az utóbbit nem metszix értékeket. Vagyis az adott egyenletnek nincs valódi gyökere.
Vieta tétele
Amint fentebb megjegyeztük, ez a tétel a 3. módszer következménye, amely egy diszkrimináns képlet alkalmazásán alapul. A Vieta-tétel lényege, hogy lehetővé teszi az egyenlet együtthatóinak és gyökeinek egyenlőségbe való kapcsolását. Nézzük a megfelelő egyenlőségeket.
Használjuk a képletet a diszkriminánson keresztüli gyökerek kiszámítására. Adjunk hozzá két gyökeret, így kapjuk: x1+x2=-b/a. Most szorozzuk meg egymással a gyököket: x1x2, egy sor egyszerűsítés után a c/a számot kapjuk.
Így a másodfokú egyenletek Vieta-tétellel történő megoldásához használhatja a kapott két egyenlőséget. Ha egy egyenlet mindhárom együtthatója ismert, akkor ennek a két egyenletnek a megfelelő rendszerének megoldásával megtalálhatjuk a gyököket.
Példa a Vieta-tétel használatára
Másodfokú egyenletet kell felírnia, ha tudja, hogy az x2+c=-bx, és a gyöke 3 és -4.
Mivel a vizsgált egyenletben a=1, a Vieta képletek így fognak kinézni: x2+x1=-b és x2x1=p. A gyökök ismert értékeit behelyettesítve a következőt kapjuk: b=1 és c=-12. Ennek eredményeként a visszaállított másodfokú redukált egyenlet így fog kinézni: x2-12=-1x. Behelyettesítheti a gyökök értékét, és győződjön meg arról, hogy az egyenlőség fennáll.
A Vieta-tétel fordított alkalmazása, vagyis a gyökök kiszámításaAz egyenlet ismert formája lehetővé teszi kis a, b és c egész számok számára, hogy gyorsan (intuitív módon) megoldást találjanak.
