A megoldhatatlan feladatok a 7 legérdekesebb matematikai probléma. Mindegyiket egy időben ismert tudósok javasolták, általában hipotézisek formájában. A matematikusok világszerte sok évtizeden át törték a fejüket a megoldásukon. Azok, akik sikeresek, egymillió amerikai dollárt kapnak az Agyag Intézet által felajánlott jutalmul.
Háttörténet
1900-ban a nagy német matematikus, David Hilbert bemutatott egy 23 feladatot tartalmazó listát.
A megoldásukra végzett kutatások óriási hatást gyakoroltak a 20. század tudományára. Jelenleg a legtöbbjük megszűnt rejtély lenni. A megoldatlan vagy részben megoldottak között szerepelt:
- aritmetikai axiómák konzisztenciájának problémája;
- általános viszonossági törvény bármely számmező terére;
- fizikai axiómák matematikai tanulmányozása;
- másodfokú formák tanulmányozása tetszőleges algebrai numerikus számokhozesélyek;
- Fjodor Schubert számítási geometriája szigorú igazolásának problémája;
- stb.
Feltáratlanok: a jól ismert Kronecker-tétel kiterjesztésének problémája a racionalitás bármely algebrai tartományára és a Riemann-hipotézisre.
The Clay Institute
Ez a neve egy magán non-profit szervezetnek, amelynek központja Cambridge-ben (Massachusetts állam) található. 1998-ban alapította A. Jeffey harvardi matematikus és L. Clay üzletember. Az Intézet célja a matematikai ismeretek népszerűsítése, fejlesztése. Ennek érdekében a szervezet díjakat adományoz tudósoknak és ígéretes kutatási szponzoroknak.
A 21. század elején a Clay Matematikai Intézet díjat ajánlott fel azoknak, akik a legnehezebb megoldhatatlan problémákat oldják meg, listájukat Millennium Prize Problems néven nevezve. Csak a Riemann-hipotézis szerepelt a Hilbert-listában.
Millennium Challenges
A Clay Institute listája eredetileg a következőket tartalmazza:
- Hodge-ciklus hipotézis;
- kvantum Yang-Mills elméleti egyenletek;
- Poincaré hipotézis;
- a P és NP osztályok egyenlőségének problémája;
- Riemann hipotézis;
- Navier-Stokes egyenletek, megoldásainak létezéséről és simaságáról;
- Birch-Swinnerton-Dyer probléma.
Ezek a nyitott matematikai problémák nagy érdeklődésre tartanak számot, mivel sok gyakorlati megvalósításuk lehet.
Mit bizonyított Grigory Perelman
1900-ban a híres filozófus, Henri Poincaré azt javasolta, hogy bármely egyszerűen összekötött, határ nélküli, kompakt 3-sokatórium homeomorf egy 3-dimenziós gömbhöz. Ennek bizonyítékát általános esetben egy évszázadig nem találták meg. Csak 2002-2003-ban G. Perelman szentpétervári matematikus számos cikket publikált a Poincaré-probléma megoldásával. Felrobbanó bomba hatását keltették. 2010-ben a Poincaré-hipotézist kizárták az Agyag Intézet "Megoldatlan problémák" listájáról, és Perelmannak felajánlották, hogy jelentős díjazásban részesüljön, amit az utóbbi döntése indoklása nélkül visszautasított.
A legérthetőbb magyarázatot arra, amit az orosz matematikusnak sikerült bebizonyítania, ha elképzeljük, hogy egy gumikorongot ráhúznak egy fánkra (tóruszra), majd a kör széleit próbálják egy pontba húzni. Nyilvánvalóan ez nem lehetséges. Egy másik dolog, ha ezt a kísérletet labdával végezzük. Ebben az esetben egy látszólag háromdimenziós gömb, amely egy olyan korongból származik, amelynek kerületét egy hipotetikus zsinór egy pontra húzta, egy hétköznapi ember számára háromdimenziós, de matematikai szempontból kétdimenziós.
Poincare azt javasolta, hogy a háromdimenziós gömb az egyetlen háromdimenziós "objektum", amelynek felülete egy pontra összehúzható, és Perelmannek sikerült bebizonyítania. Így a „Megoldhatatlan problémák” listája ma 6 feladatból áll.
Yang-Mills elmélet
Ezt a matematikai problémát a szerzők javasolták 1954-ben. Az elmélet tudományos megfogalmazása a következő:Bármely egyszerű kompakt szelvénycsoportra létezik a Yang és Mills által létrehozott kvantumtérelmélet, ugyanakkor nulla tömeghibával rendelkezik.
A hétköznapi ember számára érthető nyelven beszélve a természeti objektumok (részecskék, testek, hullámok stb.) közötti kölcsönhatásai 4 típusra oszthatók: elektromágneses, gravitációs, gyenge és erős. A fizikusok hosszú évek óta próbálnak általános térelméletet alkotni. Eszközvé kell válnia mindezen interakciók magyarázatához. A Yang-Mills elmélet egy matematikai nyelv, amellyel lehetővé vált a 4 fő természeti erő közül 3 leírása. A gravitációra nem vonatkozik. Ezért nem tekinthető úgy, hogy Yangnak és Millsnek sikerült egy térelméletet létrehoznia.
Emellett a javasolt egyenletek nemlinearitása rendkívül megnehezíti a megoldásukat. Kis csatolási állandók esetén ezek megközelítőleg megoldhatók egy sor perturbációelmélet formájában. Azonban még nem világos, hogyan lehet ezeket az egyenleteket erős csatolással megoldani.
Navier-Stokes egyenletek
Ezek a kifejezések olyan folyamatokat írnak le, mint a légáramlás, a folyadékáramlás és a turbulencia. Egyes speciális esetekre már találtak analitikus megoldásokat a Navier-Stokes egyenletre, de ez eddig még senkinek sem sikerült az általánosra. Ugyanakkor a sebesség, sűrűség, nyomás, idő és így tovább meghatározott értékek numerikus szimulációi kiváló eredményeket érhetnek el. Továbbra is remélhető, hogy valaki képes lesz fordítva alkalmazni a Navier-Stokes egyenleteketirányt, azaz ezek segítségével számold ki a paramétereket, vagy bizonyítsd be, hogy nincs megoldási módszer.
Birch-Swinnerton-Dyer probléma
A "megoldatlan problémák" kategóriájába tartozik a Cambridge-i Egyetem brit tudósai által javasolt hipotézis is. Még 2300 évvel ezelőtt az ókori görög tudós, Eukleidész teljes leírást adott az x2 + y2=z2 egyenlet megoldásairól.
Ha minden prímszámra megszámoljuk a görbe pontjait modulo it, végtelen egész számot kapunk. Ha konkrétan egy komplex változó 1 függvényébe „ragasztjuk”, akkor a Hasse-Weil zéta függvényt kapjuk egy harmadrendű görbére, amelyet L betűvel jelölünk. Ez az összes prímszám egyidejű viselkedésére vonatkozó információkat tartalmaz.
Brian Birch és Peter Swinnerton-Dyer elliptikus görbékről sejtett. Eszerint a racionális megoldásai halmazának szerkezete és száma összefügg az L-függvény viselkedésével az azonosságnál. A jelenleg nem bizonyított Birch-Swinnerton-Dyer sejtés a 3. fokú algebrai egyenletek leírásától függ, és ez az egyetlen viszonylag egyszerű általános módszer az elliptikus görbék rangsorolására.
A feladat gyakorlati jelentőségének megértéséhez elég azt mondani, hogy a modern kriptográfiában az aszimmetrikus rendszerek egész osztálya az elliptikus görbéken alapul, a hazai digitális aláírási szabványok pedig ezek alkalmazásán alapulnak.
A p és np osztályok egyenlősége
Ha a millenniumi kihívások többi része pusztán matematikai jellegű, akkor ezaz algoritmusok tényleges elméletéhez való viszony. A p és np osztályok egyenlőségére vonatkozó probléma, más néven Cooke-Levin probléma, a következőképpen fogalmazható meg érthető nyelven. Tegyük fel, hogy egy bizonyos kérdésre adott pozitív válasz elég gyorsan, azaz polinomiális időben (PT) ellenőrizhető. Akkor helyes-e az az állítás, hogy elég gyorsan meg lehet találni rá a választ? Még egyszerűbben ez a probléma így hangzik: tényleg nem nehezebb a probléma megoldását ellenőrizni, mint megtalálni? Ha valaha is bebizonyosodik a p és np osztályok egyenlősége, akkor PV-re minden kiválasztási probléma megoldható. Jelenleg sok szakértő kétségbe vonja ennek az állításnak az igazságát, bár ennek ellenkezőjét nem tudják bizonyítani.
Riemann hipotézis
1859-ig nem találtak olyan mintát, amely leírná a prímszámok eloszlását a természetes számok között. Ez talán annak volt köszönhető, hogy a tudomány más kérdésekkel is foglalkozott. A 19. század közepére azonban a helyzet megváltozott, és ezek lettek az egyik legrelevánsabb, amellyel a matematika foglalkozni kezdett.
A Riemann-hipotézis, amely ebben az időszakban jelent meg, az a feltételezés, hogy van egy bizonyos minta a prímszámok eloszlásában.
Ma sok modern tudós úgy gondolja, hogy ha bebizonyosodik, akkor felül kell vizsgálni a modern kriptográfia számos alapelvét, amelyek az elektronikus kereskedelem mechanizmusainak jelentős részének alapját képezik.
A Riemann-hipotézis szerint a karaktera prímek eloszlása jelentősen eltérhet a jelenleg feltételezetttől. A helyzet az, hogy a prímszámok eloszlásában eddig nem fedeztek fel rendszert. Például ott van az "ikrek" problémája, amelyek közötti különbség 2. Ezek a számok 11 és 13, 29. Más prímszámok klasztereket alkotnak. Ezek a 101, 103, 107 stb. A tudósok régóta gyanítják, hogy nagyon nagy prímszámok között is léteznek ilyen klaszterek. Ha megtalálják őket, akkor a modern titkosítási kulcsok erőssége kérdéses lesz.
Hodge-ciklus hipotézis
Ez a máig megoldatlan probléma 1941-ben fogalmazódott meg. Hodge hipotézise azt sugallja, hogy bármilyen tárgy alakját meg lehet közelíteni úgy, hogy "összeragasztjuk" a nagyobb méretű egyszerű testeket. Ez a módszer régóta ismert és sikeresen alkalmazott. Nem ismert azonban, hogy milyen mértékben lehet egyszerűsíteni.
Most már tudja, milyen megoldhatatlan problémák vannak jelenleg. Ezeket tudósok ezrei kutatják szerte a világon. Reménykedni kell, hogy a közeljövőben megoldódnak, és gyakorlati alkalmazásuk hozzásegíti az emberiséget a technológiai fejlődés új fordulójába.
