Néhány matematikai feladat megköveteli a négyzetgyök kiszámításának képességét. Ezek a problémák magukban foglalják a másodrendű egyenletek megoldását is. Ebben a cikkben bemutatunk egy hatékony módszert a négyzetgyökök kiszámítására, és ezt a másodfokú egyenlet gyökeinek képleteihez használjuk.
Mi az a négyzetgyök?
A matematikában ez a fogalom a √ szimbólumnak felel meg. Történelmi adatok szerint Németországban a 16. század első felében kezdték először használni (Christoph Rudolf első német munkája az algebráról). A tudósok úgy vélik, hogy ez a szimbólum egy átalakított latin r betű (a radix latinul „gyökér”).
Bármely szám gyöke egyenlő egy olyan értékkel, amelynek négyzete megfelel a gyökérkifejezésnek. A matematika nyelvén ez a meghatározás így fog kinézni: √x=y, ha y2=x.
Egy pozitív szám gyöke (x > 0) ispozitív szám (y > 0), de ha a gyökér negatív számból (x < 0) kerül, akkor az eredménye már komplex szám lesz, beleértve az i képzetes egységet is.
Íme két egyszerű példa:
√9=3, mert 32 =9; √(-9)=3i, mert i2=-1.
Heron iteratív képlete a négyzetgyökök kereséséhez
A fenti példák nagyon egyszerűek, és a gyökerek kiszámítása nem nehéz bennük. A nehézségek már akkor jelentkeznek, amikor minden olyan érték gyökértékét megtaláljuk, amely nem ábrázolható természetes szám négyzeteként, például √10, √11, √12, √13, nem is beszélve arról, hogy a gyakorlatban szükséges a nem egész számok gyökeinek megtalálásához: például √(12, 15), √(8, 5) és így tovább.
Minden fenti esetben speciális négyzetgyökszámítási módszert kell alkalmazni. Jelenleg több ilyen módszer ismert: például bővítés Taylor sorozatban, osztás oszloppal és néhány más. Az összes ismert módszer közül talán a legegyszerűbb és leghatékonyabb a Heron-féle iteratív képlet, amelyet babiloni módszerként is ismernek a négyzetgyök meghatározására (bizonyítékok vannak arra, hogy az ókori babilóniaiak ezt használták gyakorlati számításaikban).
Legyen szükséges meghatározni √x értékét. A négyzetgyök megtalálásának képlete a következő:
an+1=1/2(a+x/a), ahol limn->∞(a)=> x.
Megfejteni ezt a matematikai jelölést. √x kiszámításához vegyen fel egy számot a0 (lehet tetszőleges, de a gyors eredmény érdekében úgy kell kiválasztani, hogy (a0) 2 a lehető legközelebb volt x-hez, majd helyettesítse be a megadott négyzetgyök képletbe, és kapjon egy új számot a1, amely már legyen közelebb a kívánt értékhez. be kell cserélni a1 a kifejezésbe, és kap egy2 Ezt az eljárást addig kell ismételni, amíg el nem éri a kívánt pontosságot.
Példa a Heron iteratív képletének alkalmazására
A fent leírt algoritmus egy adott szám négyzetgyökének meghatározására sokak számára meglehetősen bonyolultnak és zavarónak hangzik, de a valóságban minden sokkal egyszerűbbnek bizonyul, mivel ez a képlet nagyon gyorsan konvergál (főleg, ha egy szerencsés szám a0).
Vegyünk egy egyszerű példát: √11-et kell kiszámítanunk. A0=3-at választunk, mivel 32=9, ami közelebb van a 11-hez, mint a 42=16. A képletbe behelyettesítve a következőt kapjuk:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nincs értelme a számításokat folytatni, mivel azt kaptuk, hogy a2 és a3 csak az 5. tizedesjegyben kezd eltérni. hely. Így elég volt csak a képlet kétszeresét alkalmazni√11 kiszámítása 0,0001 pontossággal.
Jelenleg a számológépeket és a számítógépeket széles körben használják a gyökök kiszámítására, azonban célszerű megjegyezni a megjelölt képletet, hogy manuálisan ki lehessen számítani azok pontos értékét.
Másodrendű egyenletek
A négyzetgyök fogalmának megértése és a kiszámításának képessége másodfokú egyenletek megoldásánál használatos. Ezek az egyenletek egyenlőségek egy ismeretlennel, amelyek általános formája az alábbi ábrán látható.
Itt c, b és a néhány szám, és az a nem lehet egyenlő nullával, c és b értéke pedig teljesen tetszőleges lehet, beleértve a nullát is.
Az x minden olyan értékét, amely kielégíti az ábrán jelzett egyenlőséget, gyökének nevezzük (ezt a fogalmat nem szabad összetéveszteni a √ négyzetgyökkel). Mivel a vizsgált egyenlet másodrendű (x2), ezért nem lehet két számnál több a gyöke. Nézzük meg, hogyan találjuk meg ezeket a gyökereket a cikk későbbi részében.
Másodfokú egyenlet (képlet) gyökereinek megkeresése
A vizsgált típusú egyenlőségek megoldásának ezt a módszerét univerzálisnak, vagy a diszkrimináns módszerének is nevezik. Bármilyen másodfokú egyenletre alkalmazható. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának és gyökének képlete a következő:
Ez azt mutatja, hogy a gyökök az egyenlet mindhárom együtthatójának értékétől függenek. Sőt, a számításx1 csak a négyzetgyök előtti előjelben tér el az x2 számítástól. A radikális kifejezés, amely egyenlő a b2 - 4ac-vel, nem más, mint a figyelembe vett egyenlőség megkülönböztetője. A másodfokú egyenlet gyökeinek képletében szereplő diszkrimináns fontos szerepet játszik, mert ez határozza meg a megoldások számát és típusát. Tehát ha nulla, akkor csak egy megoldás lesz, ha pozitív, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, végül a negatív diszkrimináns két összetett gyökhöz vezet x1 és x 2.
Vieta tétele vagy a másodrendű egyenletek gyökeinek néhány tulajdonsága
A 16. század végén a modern algebra egyik megalapítója, a francia Francois Viet a másodrendű egyenleteket tanulmányozva megszerezhette annak gyökereinek tulajdonságait. Matematikailag így írhatók fel:
x1 + x2=-b / a és x1 x 2=c / a.
Mindkét egyenlőséget bárki könnyen megszerezheti, ehhez csak a megfelelő matematikai műveleteket kell elvégezni a diszkrimináns képletével kapott gyökökkel.
E két kifejezés kombinációja joggal nevezhető a másodfokú egyenlet gyökeinek második képletének, amely lehetővé teszi a megoldások kitalálását a diszkrimináns használata nélkül. Itt meg kell jegyezni, hogy bár mindkét kifejezés mindig érvényes, csak akkor célszerű őket használni egy egyenlet megoldására, ha az faktorálható.
A megszerzett tudás megszilárdításának feladata
Oldjunk meg egy matematikai problémát, amelyben bemutatjuk a cikkben tárgy alt összes technikát. A feladat feltételei a következők: meg kell találni két olyan számot, amelyeknél a szorzat -13, az összeg pedig 4.
Ez a feltétel azonnal Vieta tételére emlékeztet, a négyzetgyökök összegének és szorzatának képleteit alkalmazva ezt írjuk:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Feltételezve, hogy a=1, akkor b=-4 és c=-13. Ezek az együtthatók lehetővé teszik egy másodrendű egyenlet felírását:
x2 - 4x - 13=0.
Használja a képletet a diszkriminánssal, a következő gyököket kapjuk:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Azaz a feladat a √68 szám megtalálására redukálódott. Vegye figyelembe, hogy 68=417, majd a négyzetgyök tulajdonságot használva a következőt kapjuk: √68=2√17.
Most használjuk a négyzetgyök képletet: a0=4, majd:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nincs szükség a3 kiszámítására, mert a talált értékek csak 0,02-vel különböznek. Így √68=8,246. Behelyettesítve az x képletbe 1, 2, ezt kapjuk:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 és x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Amint látja, a talált számok összege valóban 4, de ha megtalálja a szorzatukat, akkor az -12 lesz,999, amely 0,001 pontossággal kielégíti a probléma feltételét.
