Algebrai egyenlőtlenségek vagy racionális együtthatós rendszereik, amelyek megoldását integrál- vagy egész számokban keressük. A diofantini egyenletekben általában nagyobb az ismeretlenek száma. Így ezeket határozatlan egyenlőtlenségeknek is nevezik. A modern matematikában a fenti koncepciót alkalmazzák olyan algebrai egyenletekre, amelyek megoldását a Q-racionális változók mezőjének valamely kiterjesztésének algebrai egész számában, a p-adikus változók területén stb. keresik.
Ezen egyenlőtlenségek eredete
A diofantusi egyenletek tanulmányozása a számelmélet és az algebrai geometria határán van. A megoldások keresése egész változókban az egyik legrégebbi matematikai probléma. Már a Kr.e. második évezred elején. az ókori babiloniaknak sikerült két ismeretlennel egyenletrendszert megoldaniuk. A matematikának ez az ága virágzott leginkább az ókori Görögországban. Diophantus aritmetikája (kb. Kr. u. 3. század) jelentős és fő forrás, amely különféle típusú és egyenletrendszereket tartalmaz.
E könyvben Diophantus számos módszert előrevetített a második és harmadik egyenlőtlenség tanulmányozásáraszázadban teljesen kifejlődött fokok. Az ókori Görögország ezen kutatója által a racionális számok elméletének megalkotása a határozatlan rendszerek logikai megoldásainak elemzéséhez vezetett, amelyeket könyvében szisztematikusan követ. Bár munkája konkrét diofantusi egyenletekre is tartalmaz megoldásokat, okkal feltételezhető, hogy több általános módszert is ismerte.
Ezen egyenlőtlenségek tanulmányozása általában komoly nehézségekkel jár. Abból a tényből adódóan, hogy F (x, y1, …, y) egész együtthatójú polinomokat tartalmaznak. Ennek alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy nincs egyetlen olyan algoritmus sem, amellyel bármely adott x-re meg lehetne határozni, hogy az F (x, y1, …., yegyenlet). A helyzet y1, …, y esetében megoldható. Ilyen polinomokra írhatunk példákat.
A legegyszerűbb egyenlőtlenség
ax + by=1, ahol a és b relatíve egész és prímszámok, rengeteg végrehajtása van (ha x0, y0 létrejön az eredmény, majd az x=x0 + b és y=y0 változópár -an, ahol n tetszőleges, szintén egyenlőtlenségnek számít). Egy másik példa a diofantin egyenletekre: x2 + y2 =z2. Ennek az egyenlőtlenségnek a pozitív integrál megoldásai az x, y és derékszögű kis oldalak hossza, valamint az egész oldalméretekkel rendelkező z hipotenuzusz. Ezeket a számokat Pitagorasz számoknak nevezzük. Minden hármas a prímhez viszonyítva feltüntetvea fenti változókat x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, ahol m és n egész számok és prímszámok (m>n>0).
Diophantus aritmetikájában racionális (nem feltétlenül integrál) megoldásokat keres az egyenlőtlenségek speciális típusaira. Az elsőfokú diofantin egyenletek megoldásának általános elméletét C. G. Baschet dolgozta ki a 17. században. Más tudósok a 19. század elején főleg hasonló egyenlőtlenségeket tanulmányoztak, mint például ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, ahol a, b, c, d, e és f általános, heterogének, két másodfokú ismeretlennel. Lagrange folyamatos frakciókat használt a tanulmányában. Gauss a másodfokú formákra kidolgozott egy általános elméletet, amely bizonyos típusú megoldások alapjául szolgál.
E másodfokú egyenlőtlenségek vizsgálatában csak a 20. században történt jelentős előrelépés. A. Thue megállapította, hogy a Diofantusz egyenlet a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, ahol n≧3, a0, …, a , c egész számok, és a0tn + …+ a nem tartalmazhat végtelen számú egész megoldást. Thu módszerét azonban nem dolgozták ki megfelelően. A. Baker hatékony tételeket hozott létre, amelyek becsléseket adnak néhány ilyen egyenlet teljesítményére. BN Delaunay egy másik vizsgálati módszert javasolt ezen egyenlőtlenségek egy szűkebb osztályára. Különösen az ax3 + y3 =1 alak teljesen feloldható így.
Diofantin-egyenletek: megoldási módszerek
Diophantus elméletének sok iránya van. Így ebben a rendszerben jól ismert probléma az a hipotézis, hogy nincs nem triviális megoldása az xn + y =z diofantusi egyenleteknek. n ha n ≧ 3 (Fermat kérdése). Az egyenlőtlenség egész számok teljesülésének vizsgálata a Pitagorasz-hármasok problémájának természetes általánosítása. Euler pozitív megoldást kapott a Fermat-feladatra n=4-re. Ezen eredmény alapján az egyenlet hiányzó egész számának bizonyítására utal, ha n páratlan prímszám.
A határozattal kapcsolatos tanulmány még nem készült el. A megvalósítás nehézségei abból fakadnak, hogy az algebrai egész számok gyűrűjében az egyszerű faktorizálás nem egyedi. Az osztók elmélete ebben a rendszerben az n prímkitevők sok osztályára lehetővé teszi a Fermat-tétel érvényességének megerősítését. Így a két ismeretlennel rendelkező lineáris diofantusi egyenlet a meglévő módszerek és módok szerint teljesül.
A leírt feladatok típusai és típusai
Az algebrai egész számok gyűrűinek aritmetikáját a diofantikus egyenletek sok más problémájában és megoldásában is használják. Például ilyen módszereket alkalmaztak az N(a1 x1 +…+ a formájú egyenlőtlenségek teljesítésekor x)=m, ahol N(a) a normája, és x1, …, xn integrál racionális változók találhatók. Ez az osztály tartalmazza az x2–dy2=1. Pell-egyenletet
A megjelenő a1, …, a értékek ezek az egyenletek két típusra oszthatók. Az első típus - az úgynevezett teljes formák - olyan egyenleteket tartalmaznak, amelyekben a között m lineárisan független szám található a Q racionális változók mezőjében, ahol m=[Q(a1, …, a):Q], amelyben Q (a1, …, a ) algebrai kitevője van a Q felett. amely a i maximális száma kisebb, mint m.
A teljes űrlapok egyszerűbbek, tanulmányozásuk teljes, és minden megoldás leírható. A második típus, a hiányos fajok bonyolultabbak, és egy ilyen elmélet kidolgozása még nem fejeződött be. Az ilyen egyenleteket diofantin közelítésekkel vizsgáljuk, amelyek magukban foglalják az F(x, y)=C egyenlőtlenséget, ahol F(x, y) egy irreducibilis, homogén n≧3 fokú polinom. Így feltételezhetjük, hogy yi→∞. Ennek megfelelően, ha yi elég nagy, akkor az egyenlőtlenség ellentmond Thue, Siegel és Roth tételének, amiből az következik, hogy F(x, y)=C, ahol F egy harmadfokú vagy annál magasabb forma, az irreducibilisnek nem lehet végtelen számú megoldása.
Hogyan lehet megoldani egy diofantusz-egyenletet?
Ez a példa egy meglehetősen szűk osztály az összes közül. Például egyszerűségük ellenére x3 + y3 + z3=N, és x2 +y 2 +z2 +u2 =N nem tartoznak ebbe az osztályba. A megoldások tanulmányozása a diofantini egyenletek egy meglehetősen alaposan tanulmányozott ága, ahol az alap a számok másodfokú formáival való ábrázolása. Lagrangealkotott egy tételt, amely szerint a teljesülés minden természetes N-re létezik. Bármely természetes szám ábrázolható három négyzet összegeként (Gauss-tétel), de nem lehet 4a (8K-1), ahol a és k nemnegatív egész kitevők.
Racionális vagy integrál megoldások egy F típusú diofantusz-egyenletrendszerre (x1, …, x)=a, ahol F (x 1, …, x) egy másodfokú forma egész együtthatókkal. Így a Minkowski-Hasse tétel szerint az ∑aijxixj=b ijegyenlőtlenség és b racionális, csak akkor van integrál megoldása valós és p-adikus számokban minden p prímszámra, ha ebben a szerkezetben megoldható.
A benne rejlő nehézségek miatt a számok tanulmányozását tetszőleges, harmadfokú vagy annál magasabb formájú alakokkal kisebb mértékben tanulmányozták. A fő végrehajtási módszer a trigonometrikus összegek módszere. Ebben az esetben az egyenlet megoldásainak száma kifejezetten a Fourier-integrálban van felírva. Ezt követően a környezetmódszerrel fejezzük ki a megfelelő kongruenciák egyenlőtlensége teljesülésének számát. A trigonometrikus összegek módszere az egyenlőtlenségek algebrai jellemzőitől függ. A lineáris diofantusz-egyenletek megoldására számos elemi módszer létezik.
Diofantin-elemzés
Matematika Tanszék, melynek tárgya algebrai egyenletrendszerek integrál és racionális megoldásainak tanulmányozása geometriai módszerekkel, ugyanonnangömbök. A 19. század második felében ennek a számelméletnek a megjelenése a diofantini egyenletek egy tetszőleges együtthatós mezőből történő vizsgálatához vezetett, és a megoldásokat vagy ebben, vagy annak gyűrűiben vették figyelembe. A számokkal párhuzamosan fejlődött ki az algebrai függvényrendszer. A kettő közötti alapvető analógia, amelyet D. Hilbert és különösen L. Kronecker hangsúlyozott, különféle számtani fogalmak egységes felépítéséhez vezetett, amelyeket általában globálisnak neveznek.
Ez különösen akkor észrevehető, ha a vizsgált algebrai függvények egy véges állandómező felett egy változó. Az olyan fogalmak, mint az osztálymezőelmélet, az osztó, az elágazás és az eredmények jól illusztrálják a fentieket. Ezt a nézőpontot a diofantini egyenlőtlenségek rendszerében csak később vették át, és a szisztematikus kutatás nemcsak a numerikus együtthatókkal, hanem a függvények együtthatóival is csak az 1950-es években kezdődött. Ebben a megközelítésben az egyik döntő tényező az algebrai geometria fejlődése volt. A számok és a függvények területeinek egyidejű vizsgálata, amelyek egyazon tárgy két egyformán fontos aspektusaként merülnek fel, nemcsak elegáns és meggyőző eredményeket adott, hanem a két témakör kölcsönös gazdagodásához vezetett.
Az algebrai geometriában a változat fogalmát egy adott K mező feletti egyenlőtlenségek nem invariáns halmaza váltja fel, és megoldásaikat olyan racionális pontok helyettesítik, amelyek értéke K-ban vagy véges kiterjesztésében van. Ennek megfelelően elmondható, hogy a diofantini geometria alapvető problémája a racionális pontok tanulmányozásaegy X(K) algebrai halmazból, míg X bizonyos számok a K mezőben. Az egész szám végrehajtásának geometriai jelentése van a lineáris diofantin egyenletekben.
Egyenlőtlenségi vizsgálatok és végrehajtási lehetőségek
A racionális (vagy integrál) pontok algebrai változatokon való tanulmányozása során felmerül az első probléma, a létezésük. Hilbert tizedik problémája úgy fogalmazódik meg, mint egy általános módszer megtalálása a probléma megoldására. Az algoritmus pontos definíciójának megalkotása során, és miután bebizonyosodott, hogy nagyszámú feladathoz nincs ilyen végrehajtás, a probléma nyilvánvaló negatív eredményt kapott, és a legérdekesebb kérdés a diofantin egyenletek osztályainak meghatározása. amelyekre a fenti rendszer létezik. Algebrai szempontból a legtermészetesebb megközelítés az ún. Hasse-elv: a K kezdeti mezőt a Kv befejezéseivel együtt vizsgáljuk minden lehetséges becslésen. Mivel X(K)=X(Kv) a létezés szükséges feltétele, és a K pont figyelembe veszi, hogy az X(Kv) nem üres minden v.
A jelentősége abban rejlik, hogy két problémát egyesít. A második sokkal egyszerűbb, ismert algoritmussal megoldható. Abban a konkrét esetben, amikor az X variáns projektív, a Hansel-lemma és általánosításai további redukciót tesznek lehetővé: a probléma egy véges mező feletti racionális pontok vizsgálatára redukálható. Aztán úgy dönt, hogy konzisztens kutatással vagy hatékonyabb módszerekkel épít fel egy koncepciót.
Utolsófontos szempont, hogy az X(Kv) halmazok véges számú v kivételével nem üresek, így a feltételek száma mindig véges, és hatékonyan tesztelhetők. Hasse elve azonban nem érvényes a fokos görbékre. Például a 3x3 + 4y3=5 minden p-adic számmezőben pontot tartalmaz, és valós számok rendszerében, de nincs racionális pontja.
Ez a módszer kiindulópontként szolgált egy olyan koncepció megalkotásához, amely leírja az Abeli-féle változatok fő homogén tereinek osztályait, hogy a Hasse-elvtől "eltérést" hajtson végre. Egy speciális szerkezettel írják le, amely minden sokasághoz társítható (Tate-Shafarevich csoport). Az elmélet fő nehézsége abban rejlik, hogy nehéz a csoportszámítási módszereket beszerezni. Ezt a koncepciót az algebrai változatok más osztályaira is kiterjesztették.
Algoritmus keresése az egyenlőtlenségek teljesítésére
A diofantini egyenletek tanulmányozása során használt másik heurisztikus ötlet az, hogy ha egy egyenlőtlenséghalmazban nagy a változók száma, akkor a rendszernek általában van megoldása. Ezt azonban minden konkrét esetben nagyon nehéz bizonyítani. Az ilyen típusú problémák általános megközelítése analitikus számelméletet használ, és trigonometrikus összegekre vonatkozó becsléseken alapul. Ezt a módszert eredetileg speciális egyenletekre alkalmazták.
Később azonban bebizonyosodott a segítségével, hogy ha egy páratlan fok alakja F, akkor d-benés n változóval és racionális együtthatókkal, akkor n elég nagy d-hez képest, tehát az F=0 projektív hiperfelületnek van racionális pontja.. Artin sejtése szerint ez az eredmény akkor is igaz, ha n > d2. Ez csak a másodfokú formák esetében bizonyított. Hasonló problémákat más területeken is fel lehet tenni. A diofantin geometria központi problémája az egész vagy racionális pontok halmazának felépítése és tanulmányozása, és az első tisztázandó kérdés, hogy ez a halmaz véges-e. Ebben a feladatban a helyzetnek általában véges számú végrehajtása van, ha a rendszer foka jóval nagyobb, mint a változók száma. Ez az alapfeltevés.
Egyenlőtlenségek az egyeneseken és görbéken
Az X(K) csoport egy r rangú szabad szerkezet és egy véges n rendű csoport közvetlen összegeként ábrázolható. Az 1930-as évektől kezdődően vizsgálják azt a kérdést, hogy ezek a számok korlátosak-e egy adott K mező feletti összes elliptikus görbe halmazán. Az n torzió korlátosságát a hetvenes években mutatták be. A funkcionális esetben tetszőlegesen magas rangú görbék vannak. Számszerű esetben még mindig nincs válasz erre a kérdésre.
Végül Mordell sejtése azt állítja, hogy az integrálpontok száma véges a g>1 nemzetség görbéjében. A funkcionális esetben ezt a koncepciót Yu. I. Manin mutatta be 1963-ban. A végességtételek bizonyítására használt fő eszköz a diofantin geometriában a magasság. Az algebrai változatok közül az egy feletti méretek Abel-félea sokaságokat, amelyek az elliptikus görbék többdimenziós analógjai, tanulmányozták a leginkább.
A. Weil a racionális pontok egy csoportja generátorainak számának végességére vonatkozó tételt tetszőleges dimenziójú Abeli-változatokra általánosította (a Mordell-Weil koncepció), kiterjesztve azt. Az 1960-as években megjelent Birch és Swinnerton-Dyer sejtése, javítva ezt, valamint a sokaság csoport- és zéta-funkcióit. Számszerű bizonyítékok támasztják alá ezt a hipotézist.
Megoldhatósági probléma
Olyan algoritmus megtalálásának problémája, amellyel megállapítható, hogy van-e megoldás valamelyik Diofantusz-egyenletre. A feltett probléma lényeges jellemzője egy olyan univerzális módszer keresése, amely bármilyen egyenlőtlenségre alkalmas lenne. Egy ilyen módszer a fenti rendszerek megoldását is lehetővé tenné, hiszen ekvivalens P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 vagy p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Az egész számok lineáris egyenlőtlenségei megoldásának ilyen univerzális módszerének megtalálásának problémáját D vetette fel. Gilbert.
Az 1950-es évek elején jelentek meg az első tanulmányok, amelyek célja a diofantin-egyenletek megoldására szolgáló algoritmus hiányának bizonyítása volt. Ekkor jelent meg a Davis-sejtés, amely szerint bármely felsorolható halmaz is a görög tudósé. Mert ismertek példák algoritmikusan eldönthetetlen halmazokra, de rekurzívan felsorolhatók. Ebből következik, hogy a Davis-sejtés igaz, és ezen egyenletek megoldhatóságának problémájanegatív végrehajtása van.
Ezek után a Davis-sejtéshez be kell bizonyítani, hogy létezik olyan módszer egy egyenlőtlenség átalakítására, amelyre ugyanakkor van (vagy nem is volt) megoldás. Kimutattuk, hogy a diofantini egyenlet ilyen változása lehetséges, ha rendelkezik a fenti két tulajdonsággal: 1) bármely ilyen típusú megoldásban v ≦ uu; 2) bármely k esetén van egy exponenciális növekedésű végrehajtás.
Ebbe az osztályba tartozó lineáris diofantin egyenlet példája tette teljessé a bizonyítást. Az ezen egyenlőtlenségek racionális számokban való megoldhatóságára és felismerésére szolgáló algoritmus létezésének problémája még mindig fontos és nyitott kérdés, amelyet nem vizsgáltak kellőképpen.
