A fizikában gyakran kell problémákat megoldani az egyensúly kiszámításához olyan összetett rendszerekben, amelyeknek sok hatóereje, karja és forgástengelye van. Ebben az esetben a legegyszerűbb az erőnyomaték fogalmát használni. Ez a cikk tartalmazza az összes szükséges képletet részletes magyarázatokkal, amelyeket a megnevezett típusú problémák megoldásához kell használni.
Miről fogunk beszélni?
Valószínűleg sokan észrevették, hogy ha bármilyen erővel hat egy bizonyos ponton rögzített tárgyra, az elkezd forogni. Feltűnő példa a házba vagy a szobába vezető ajtó. Ha megfogja a fogantyúnál és megnyomja (erőt alkalmaz), akkor elkezd kinyílni (fordítani a zsanérokat). Ez a folyamat a mindennapi életben egy fizikai mennyiség hatásának megnyilvánulása, amelyet erőnyomatéknak neveznek.
A leírt ajtó példából az következik, hogy a kérdéses érték az erő forgási képességét jelzi, ami annak fizikai jelentése. Ezt az értéket istorziós nyomatéknak nevezzük.
Az erőnyomaték meghatározása
Mielőtt meghatároznánk a vizsgált mennyiséget, készítsünk egy egyszerű képet.
Tehát, az ábra egy kart (kék), amely a tengelyen van rögzítve (zöld). Ennek a karnak a hossza d, és a végére F erő hat. Mi lesz ebben az esetben a rendszerrel? Ez igaz, a kar az óramutató járásával ellentétes irányban forogni kezd, ha felülről nézzük (vegye figyelembe, hogy ha kicsit megfeszíti a képzeletét, és elképzeli, hogy a nézet alulról a karra irányul, akkor az óramutató járásával megegyező irányba fog forogni).
Nevezzük a tengely kapcsolódási pontját O-nak, az erő alkalmazási pontját pedig P-nek. Ekkor felírhatjuk a következő matematikai kifejezést:
OP¯ F¯=M¯FO.
Ahol az OP¯ az a vektor, amely a tengelytől a kar vége felé irányul, ezt erőkarnak is nevezik, F¯a P pontra kifejtett erő vektora, és M¯FO az O pont (tengely) körüli erőnyomaték. Ez a képlet a kérdéses fizikai mennyiség matematikai meghatározása.
A pillanat iránya és a jobb kéz szabálya
A fenti kifejezés keresztszorzat. Mint ismeretes, ennek eredménye egy olyan vektor is, amely merőleges a megfelelő szorzóvektorokon átmenő síkra. Ezt a feltételt az M¯FO érték két iránya teljesíti (le és fel).
Egyedülállóanmeghatározásához az úgynevezett jobbkéz szabályt kell használni. Megfogalmazható így: ha a jobb kezed négy ujját félívre hajlítod, és ezt a félívet úgy irányítod, hogy az az első vektoron (a képlet első tényezőjén) menjen, és a vége felé menjen. a második, majd a felfelé kiálló hüvelykujj jelzi a torziós nyomaték irányát. Vegye figyelembe azt is, hogy a szabály használata előtt be kell állítania a szorzott vektorokat úgy, hogy ugyanabból a pontból származzanak (az origójuknak meg kell egyeznie).
Az előző bekezdésben szereplő ábra esetében a jobbkéz szabály alkalmazásával azt mondhatjuk, hogy a tengelyhez viszonyított erőnyomaték felfelé, azaz felénk fog irányulni.
Az M¯FO vektor iránymeghatározásának megjelölt módszerén kívül van még kettő. Íme:
- A torziós nyomaték úgy lesz irányítva, hogy ha a forgó kart a vektorának végéről nézzük, az utóbbi az órával szemben mozog. Általánosan elfogadott, hogy a pillanatnak ezt az irányát pozitívnak tekintik különféle problémák megoldása során.
- Ha a karmantyút az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, a forgatónyomaték a kardán mozgása (mélyülése) felé irányul.
A fenti definíciók egyenértékűek, így mindenki kiválaszthatja a számára megfelelőt.
Tehát azt találtuk, hogy az erőnyomaték iránya párhuzamos azzal a tengellyel, amely körül a megfelelő kar forog.
Szögletes erő
Vegye fontolóra az alábbi képet.
Itt egy L hosszúságú kart is látunk egy pontban rögzítve (nyíl jelzi). F erő hat rá, azonban bizonyos Φ (phi) szögben irányul a vízszintes karral. Az M¯FO pillanat iránya ebben az esetben ugyanaz lesz, mint az előző ábrán (rajtunk). A mennyiség abszolút értékének vagy modulusának kiszámításához a kereszttermék tulajdonságot kell használni. Szerinte a vizsgált példához a következő kifejezést írhatja: MFO=LFsin(180 o -Φ) vagy a szinusz tulajdonság segítségével átírjuk:
MFO=LFsin(Φ).
Az ábrán egy kész derékszögű háromszög is látható, melynek oldalai maga a kar (hipoténusz), az erő hatásvonala (láb) és a d hosszúságú oldal (a második láb). Tekintettel arra, hogy sin(Φ)=d/L, ez a képlet a következő formában lesz: MFO=dF. Látható, hogy a d távolság a kar rögzítési pontja és az erő hatásvonala közötti távolság, vagyis d az erőkar.
Az ebben a bekezdésben tárgy alt mindkét képlet, amelyek közvetlenül a torziós nyomaték meghatározásából következnek, hasznosak a gyakorlati problémák megoldásában.
Nyomatékegységek
A definíció segítségével megállapítható, hogy az MFO értéket newton per méterben (Nm) kell mérni.. Valójában ezen egységek formájában az SI.
Ne feledje, hogy Nm a munka mértékegysége, amelyet joule-ban fejeznek ki, mint az energiát. Ennek ellenére a joule-t nem használják az erőnyomaték fogalmára, mivel ez az érték pontosan tükrözi az utóbbi megvalósításának lehetőségét. Van azonban összefüggés a munka mértékegységével: ha az F erő hatására a kar teljesen elfordul az O forgáspontja körül, akkor az elvégzett munka egyenlő lesz A=MF O 2pi (2pi az a szög radiánban, amely 360o-nak felel meg). Ebben az esetben az MFO forgatónyomaték mértékegysége joule per radián (J/rad.) fejezhető ki. Ez utóbbit a Hm-mel együtt az SI rendszerben is használják.
Varignon tétele
A 17. század végén Pierre Varignon francia matematikus, a rendszerek egyensúlyi helyzetét tanulmányozva karokkal, először fogalmazta meg a tételt, amely ma már az ő vezetéknevét viseli. A következőképpen van megfogalmazva: több erő össznyomatéka megegyezik a létrejövő egy erő nyomatékával, amely egy adott pontra ugyanahhoz a forgástengelyhez képest hat. Matematikailag a következőképpen írható fel:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Ez a tétel kényelmesen használható a torziós nyomatékok kiszámításához több ható erővel rendelkező rendszerekben.
Ezután példát adunk a fenti képletek fizikabeli problémák megoldására való használatára.
csavarkulcs probléma
Az egyikAz erőnyomaték figyelembevételének fontosságát szemléltető példa az anyák csavarkulccsal történő kicsavarásának folyamata. Az anya lecsavarásához nyomatékot kell alkalmazni. Ki kell számítani, hogy mekkora erőt kell kifejteni az A pontban az anya kicsavarásának megkezdéséhez, ha ez az erő a B pontban 300 N (lásd az alábbi ábrát).
A fenti ábrából két fontos dolog következik: először is, az OB távolság kétszerese az OA-nak; másodszor, az FA és FBerők a megfelelő karra merőlegesen irányulnak úgy, hogy a forgástengely egybeesik az anya középpontjával (O pont).
A nyomatéknyomaték ebben az esetben a következőképpen írható fel skaláris formában: M=OBFB=OAFA. Mivel OB/OA=2, ez az egyenlőség csak akkor érvényes, ha FA kétszer nagyobb, mint FB. A feladat feltételéből azt kapjuk, hogy FA=2300=600 N. Azaz minél hosszabb a kulcs, annál könnyebben lecsavarható az anya.
Probléma két különböző tömegű golyóval
Az alábbi ábra egy egyensúlyban lévő rendszert mutat. Meg kell találni a támaszpont helyzetét, ha a tábla hossza 3 méter.
Mivel a rendszer egyensúlyban van, az összes erő nyomatékainak összege nulla. Három erő hat a táblára (a két golyó súlya és a támasz reakcióereje). Mivel a támasztóerő nem hoz létre nyomatéknyomatékot (a kar hossza nulla), a golyók súlya csak két nyomatékot hoz létre.
Legyen az egyensúlyi pont x távolságra tőle100 kg-os labdát tartalmazó él. Ekkor felírhatjuk az egyenlőséget: M1-M2=0. Mivel a test tömegét az mg képlet határozza meg, akkor a következőt kapjuk: m 1gx - m2g(3-x)=0. Csökkentjük g-t és behelyettesítjük az adatokat, így kapjuk: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m vagy 14,3 cm.
Tehát a rendszer egyensúlyi állapotához a peremtől 14,3 cm távolságra referenciapontot kell létrehozni, ahol egy 100 kg tömegű golyó fog elhelyezkedni.
