1900-ban a múlt század egyik legnagyobb tudósa, David Hilbert összeállított egy listát a matematika 23 megoldatlan problémájáról. A rajtuk végzett munka óriási hatással volt az emberi tudás ezen területének fejlődésére. 100 évvel később a Clay Mathematical Institute bemutatott egy listát, amely 7 problémát tartalmaz, amelyek Millennium Problems néven ismertek. Mindegyikük 1 millió dolláros díjat kapott.
Az egyetlen probléma, amely megjelent a rejtvények mindkét listája között, amelyek már több mint egy évszázada kísértik a tudósokat, a Riemann-hipotézis volt. Még mindig a döntésére vár.
Rövid életrajzi feljegyzés
Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-ban született Hannoverben, egy szegény lelkész nagycsaládjában, és mindössze 39 évet élt. 10 művet sikerült kiadnia. Riemann azonban már életében tanára, Johann Gauss utódjának számított. 25 évesen a fiatal tudós megvédte disszertációját "Egy összetett változó függvényei elméletének alapjai". Később megfogalmaztahíres hipotézise.
Prómszámok
A matematika akkor jelent meg, amikor az ember megtanult számolni. Ezzel egy időben születtek az első elképzelések a számokról, amelyeket később megpróbáltak osztályozni. Néhányuknak közös tulajdonságaik vannak. Különösen a természetes számok között, azaz a számláláshoz (számozáshoz) vagy az objektumok számának kijelöléséhez használtak között különítettek el egy csoportot, amely csak eggyel és önmagukkal osztható. Egyszerűnek hívják. Az ilyen számok halmazának végtelensége tételének elegáns bizonyítékát adta Eukleidész Elemek című művében. Jelenleg a keresésük folytatódik. A már ismert legnagyobb szám különösen a 274 207 281 – 1.
Euler-képlet
A prímszámok halmazának végtelenségének koncepciójával együtt Eukleidész meghatározta a második tételt is az egyetlen lehetséges prímtényezőkre való bontásról. Eszerint bármely pozitív egész szám csak egy prímszámhalmaz szorzata. 1737-ben a nagy német matematikus, Leonhard Euler az alábbi képlettel fejezte ki Euklidész első végtelenségi tételét.
Zéta függvénynek hívják, ahol s egy konstans, és p felveszi az összes prímértéket. Ebből közvetlenül következett Eukleidész kijelentése a bővítés egyediségéről.
Riemann Zeta funkció
Euler képlete, közelebbről megvizsgálva, teljesenmeglepő, mert ez határozza meg a prímszámok és az egészek közötti kapcsolatot. Végül is végtelen sok olyan kifejezés, amely csak prímszámoktól függ, a bal oldalán megszorozódik, és az összes pozitív egész számhoz tartozó összeg a jobb oldalon található.
Riemann tovább ment Eulernél. A számok eloszlásának problémájának kulcsának megtalálása érdekében javasolta egy képlet meghatározását mind a valós, mind a komplex változókra. Ő volt az, aki később megkapta a Riemann zéta függvény nevét. A tudós 1859-ben publikált egy cikket "Az adott értéket meg nem haladó prímszámok számáról" címmel, amelyben összefogl alta elképzeléseit.
Riemann az Euler-sorozat használatát javasolta, amely minden valódi s>1-hez konvergál. Ha ugyanazt a képletet alkalmazzuk az s komplexre, akkor a sorozat ennek a változónak bármely olyan értékére konvergál, amelynek valós része nagyobb, mint 1. Riemann az analitikus folytatási eljárást alkalmazta, kiterjesztve a zéta(ok) definícióját minden komplex számra, de "kidobta" az egységet. Kizártuk, mert s=1-nél a zéta függvény a végtelenbe növekszik.
Gyakorlati érzék
Felmerül egy logikus kérdés: miért érdekes és fontos a zéta-függvény, amely kulcsfontosságú Riemann nullhipotézissel foglalkozó munkájában? Mint tudják, jelenleg nem azonosítottak olyan egyszerű mintát, amely leírná a prímszámok eloszlását a természetes számok között. Riemann felfedezte, hogy az x-et nem meghaladó prímszámok pi(x) száma a zéta-függvény nem triviális nulláinak eloszlásában van kifejezve. Ráadásul a Riemann-hipotézis azszükséges feltétele bizonyos kriptográfiai algoritmusok működéséhez szükséges időbecslések bizonyításának.
Riemann hipotézis
E matematikai probléma egyik első megfogalmazása, amely máig nem bizonyított, így hangzik: a nem triviális 0 zéta-függvények olyan komplex számok, amelyek valós része egyenlő ½-vel. Más szavakkal, az Re s=½ vonalon helyezkednek el.
Van egy általánosított Riemann-hipotézis is, amely ugyanaz az állítás, de a zéta-függvények általánosításaira vonatkozik, amelyeket általában Dirichlet L-függvényeknek neveznek (lásd a lenti képet).
A χ(n) képletben - valamilyen numerikus karakter (modulo k).
A Riemann-féle állítást az úgynevezett nullhipotézisnek tekintjük, mivel a meglévő mintaadatokkal való konzisztenciát tesztelték.
Ahogyan Riemann érvelt
A német matematikus megjegyzése eredetileg meglehetősen lazán fogalmazott. A tény az, hogy akkoriban a tudós a prímszámok eloszlására vonatkozó tételt akarta bizonyítani, és ebben az összefüggésben ennek a hipotézisnek nem volt különösebb jelentősége. Szerepe azonban számos egyéb probléma megoldásában óriási. Ezért ismeri el sok tudós Riemann feltevését a bizonyítatlan matematikai problémák közül a legfontosabbnak.
Amint már említettük, a teljes Riemann-hipotézis nem szükséges az eloszlástétel bizonyításához, és elég logikusan igazolni, hogy a zéta-függvény bármely nem triviális nullájának valós része0 és 1 között. Ebből a tulajdonságból következik, hogy a fenti pontos képletben szereplő zéta-függvény összes 0-jának összege véges állandó. Nagy x érték esetén ez teljesen elveszhet. A képlet egyetlen tagja, amely még nagyon nagy x esetén is változatlan marad, maga az x. A fennmaradó összetett kifejezések aszimptotikusan eltűnnek hozzá képest. Tehát a súlyozott összeg x-re hajlik. Ez a körülmény a prímszámok eloszlására vonatkozó tétel igazságának megerősítésének tekinthető. Így a Riemann-zéta-függvény nulláinak különleges szerepe van. Ez annak bizonyítása, hogy ezek az értékek nem járulhatnak hozzá jelentősen a dekompozíciós képlethez.
Riemann követői
A tuberkulózis okozta tragikus halál nem tette lehetővé ennek a tudósnak, hogy programját a logikus végére vigye. Sh-Zh azonban átvette tőle. de la Vallée Poussin és Jacques Hadamard. Egymástól függetlenül levezettek egy tételt a prímszámok eloszlásáról. Hadamardnak és Poussinnak sikerült bebizonyítania, hogy minden nem triviális 0 zéta függvény a kritikus sávon belül van.
E tudósok munkájának köszönhetően új irányvonal jelent meg a matematikában - az analitikus számelmélet. Később más kutatók több primitív bizonyítást is szereztek annak a tételnek, amelyen Riemann dolgozott. Konkrétan Erdős Pal és Atle Selberg még egy nagyon összetett logikai láncot is felfedezett ennek megerősítésére, amihez nem volt szükség komplex elemzésre. Azonban ezen a ponton több fontostételek, beleértve számos számelméleti függvény közelítését. Ebből a szempontból Erdős és Atle Selberg új munkája gyakorlatilag semmit nem befolyásolt.
A probléma egyik legegyszerűbb és legszebb bizonyítékát Donald Newman találta meg 1980-ban. A híres Cauchy-tételen alapult.
Fenyegeti-e a Riemann-hipotézis a modern kriptográfia alapjait
Az adattitkosítás a hieroglifák megjelenésével együtt jelent meg, pontosabban ők maguk tekinthetők az első kódoknak. Jelenleg a digitális kriptográfia egész területe van, amely titkosítási algoritmusokat fejleszt.
A prímszámok és a "félprím" számok, azaz azok, amelyek csak 2 másik számmal oszthatók ugyanabból az osztályból, képezik az RSA néven ismert nyilvános kulcsrendszer alapját. Ennek van a legszélesebb körű alkalmazása. Különösen az elektronikus aláírás generálásakor használják. A bábok számára hozzáférhető fogalmakról beszélve a Riemann-hipotézis azt állítja, hogy létezik egy rendszer a prímszámok eloszlásában. Így a kriptográfiai kulcsok erőssége, amelyektől az e-kereskedelem területén az online tranzakciók biztonsága függ, jelentősen csökken.
Egyéb megoldatlan matematikai feladatok
Érdemes befejezni a cikket azzal, hogy néhány szót szentelünk más millenniumi céloknak. Ezek a következők:
- A P és NP osztályok egyenlősége. A probléma a következőképpen fogalmazódik meg: ha egy adott kérdésre adott pozitív választ polinomiális időben ellenőrizzük, akkor igaz-e, hogy maga a kérdésre adott válaszgyorsan megtalálható?
- Hodge sejtése. Egyszerű szavakkal a következőképpen fogalmazható meg: bizonyos típusú projektív algebrai változatok (terek) esetében a Hodge-ciklusok geometriai értelmezésű objektumok kombinációi, azaz algebrai ciklusok.
- Poincaré sejtése. Ez az egyetlen Millennium Challenge, amely eddig bevált. Eszerint minden olyan 3 dimenziós objektumnak, amely egy 3 dimenziós gömb sajátos tulajdonságaival rendelkezik, gömbnek kell lennie, egészen a deformációig.
- Yang – Mills kvantumelméletének megerősítése. Be kell bizonyítani, hogy az e tudósok által az R 4 térre felállított kvantumelmélet létezik, és 0. tömeghibája van bármely egyszerű G kompakt mérőeszköz-csoportra.
- Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis. Ez egy másik probléma a kriptográfiával kapcsolatban. Érinti az elliptikus görbéket.
- A Navier-Stokes egyenletek megoldásainak létezésének és simaságának problémája.
Most már ismeri a Riemann-hipotézist. Egyszerűen fogalmazva, megfogalmaztunk néhány más millenniumi kihívást. Hogy megoldják, vagy bebizonyosodik, hogy nincs megoldásuk, az idő kérdése. Ráadásul nem valószínű, hogy erre túl sokat kell várni, mivel a matematika egyre inkább a számítógépek számítási képességeit használja ki. Azonban nem minden függ a technológiától, és mindenekelőtt intuícióra és kreativitásra van szükség a tudományos problémák megoldásához.
