A függvény szélsőpontjainak megértéséhez egyáltalán nem szükséges tudni az első és a második derivált jelenlétét, és megérteni fizikai jelentésüket. Először meg kell értened a következőket:
- függvény extrémák maximalizálják vagy éppen ellenkezőleg, minimalizálják a függvény értékét egy tetszőlegesen kis környéken;
- A szélsőpontnál nem lehet függvénytörés.
És most ugyanaz, csak közérthető nyelven. Nézze meg a golyóstoll hegyét. Ha a tollat függőlegesen, az írásvégével felfelé helyezzük, akkor a labda legközepe lesz a szélső pont - a legmagasabb pont. Ebben az esetben a maximumról beszélünk. Ha most az íróvégével lefelé fordítod a tollat, akkor a labda közepén már minimum lesz a funkció. Az itt megadott ábra segítségével elképzelheti a felsorolt manipulációkat egy írószer ceruzához. Tehát egy függvény szélsőértékei mindig kritikus pontok: maximumai vagy minimumai. A diagram szomszédos szakasza lehet tetszőlegesen éles vagy sima, de mindkét oldalon léteznie kell, csak ebben az esetben a pont egy szélsőség. Ha a diagram csak az egyik oldalon van jelen, ez a pont akkor sem lesz szélsőség, ha az egyik oldalonextrém feltételek teljesülnek. Most vizsgáljuk meg a függvény szélsőségeit tudományos szempontból. Ahhoz, hogy egy pontot szélsőségnek lehessen tekinteni, szükséges és elegendő, hogy:
- az első derivált nulla volt, vagy nem létezett a ponton;
- az első derivált ezen a ponton megváltoztatta az előjelét.
A feltételt a magasabb rendű deriváltak szempontjából némileg eltérően értelmezzük: egy pontban differenciálható függvényhez elegendő, ha van olyan páratlan rendű derivált, amely nem egyenlő nullával, míg az összes alacsonyabb rendű származékoknak létezniük kell, és egyenlőnek kell lenniük nullával. Ez a legegyszerűbb értelmezése a felsőbb matematikai tankönyvekből származó tételeknek. De a leghétköznapibb emberek számára érdemes ezt a pontot egy példával megmagyarázni. Az alap egy közönséges parabola. Azonnal foglaljon, a nulla ponton minimum van. Csak egy kis matek:
- első derivált (X2)|=2X, nulla pont esetén 2X=0;
- második derivált (2X)|=2, nulla pont esetén 2=2.
Ez egy egyszerű szemléltetése azoknak a feltételeknek, amelyek meghatározzák a függvény szélsőértékeit mind az elsőrendű, mind a magasabb rendű deriváltoknál. Hozzátehetjük ehhez, hogy a második derivált ugyanaz a páratlan sorrendű, nullával egyenlőtlen derivált, amelyet kicsit feljebb tárgy altunk. Ha két változó függvényének szélsőértékéről van szó, akkor mindkét argumentumnak teljesülnie kell. Mikoráltalánosítás történik, akkor parciális származékokat használunk. Vagyis egy szélsőség jelenlétéhez szükséges, hogy mindkét elsőrendű derivált nullával legyen egyenlő, vagy legalább az egyik nem létezik. Az extrémum jelenlétének elégséges voltára egy kifejezést vizsgálunk, amely a függvény másodrendű deriváltjainak szorzata és a függvény vegyes másodrendű deriváltjának négyzete közötti különbség. Ha ez a kifejezés nagyobb, mint nulla, akkor van szélsőség, ha pedig nulla, akkor a kérdés nyitott marad, és további kutatásra van szükség.
