A fizikában az egyensúlyban lévő forgó testekkel vagy rendszerekkel kapcsolatos problémák mérlegelése az "erőnyomaték" fogalmával történik. Ez a cikk megvizsgálja az erőnyomaték képletét, valamint annak használatát az ilyen típusú problémák megoldására.
Erőpillanat a fizikában
Amint a bevezetőben megjegyeztük, ez a cikk azokra a rendszerekre összpontosít, amelyek akár egy tengely, akár egy pont körül foroghatnak. Vegyünk egy példát egy ilyen modellre, az alábbi ábrán látható.
Látjuk, hogy a szürke kar rögzítve van a forgástengelyen. A kar végén egy bizonyos tömegű fekete kocka található, amelyre erő hat (piros nyíl). Intuitív módon egyértelmű, hogy ennek az erőnek az eredménye a kar tengely körüli forgása az óramutató járásával ellentétes irányban.
Az erőnyomaték a fizikában egy olyan mennyiség, amely egyenlő a forgástengelyt és az erő alkalmazási pontját összekötő sugár (az ábrán zöld vektor) és a külső erő vektorszorzatával. maga. Vagyis a tengely körüli erőnyomaték képlete fel van írvaa következőképpen:
M¯=r¯F¯
A szorzat eredménye az M¯ vektor. Irányát a szorzóvektorok, azaz az r¯ és F¯ ismerete alapján határozzuk meg. A keresztszorzat definíciója szerint M¯-nek merőlegesnek kell lennie az r¯ és F¯ vektorok által alkotott síkra, és a jobb kéz szabálya szerint kell irányítani (ha a jobb kéz négy ujját az első szorzat mentén helyezzük el vektort a második vége felé, akkor a hüvelykujj jelzi, hová irányul a kívánt vektor). Az ábrán látható, hogy az M¯ vektor hova irányul (kék nyíl).
Skaláris jelölés M¯
Az előző bekezdés ábráján az erő (piros nyíl) 90°-os szögben hat a kart a kart.o. Általában bármilyen szögben alkalmazható. Tekintsük az alábbi képet.
Itt azt látjuk, hogy az F erő már egy bizonyos Φ szögben hat az L kart. Ennél a rendszernél a ponthoz viszonyított erőnyomaték képlete (nyíl) skaláris formában a következőképpen alakul:
M=LFsin(Φ)
A kifejezésből az következik, hogy az M erőnyomaték annál nagyobb, minél közelebb van az F erő hatásának iránya a 90o szöghez L-hez képest Ezzel szemben, ha F L mentén hat, akkor sin(0)=0, és az erő nem hoz létre nyomatékot (M=0).
Amikor az erőnyomatékot skaláris formában vizsgáljuk, gyakran használják az "erőkar" fogalmát. Ez az érték a tengely közötti távolság (pontforgatás) és az F vektor. Ezt a definíciót a fenti ábrára alkalmazva azt mondhatjuk, hogy d=Lsin(Φ) az erő karja (az egyenlőség a "szinusz" trigonometrikus függvény definíciójából következik). Az erőkar segítségével az M pillanat képlete a következőképpen írható át:
M=dF
M
fizikai jelentése
A figyelembe vett fizikai mennyiség meghatározza az F külső erő azon képességét, hogy forgó hatást fejtsen ki a rendszerre. Ahhoz, hogy a testet forgó mozgásba hozzuk, tájékoztatni kell az M pillanatról.
A folyamat kiváló példája a szoba ajtajának kinyitása vagy bezárása. A kilincset fogva a személy erőfeszítéseket tesz, és a zsanérokra fordítja az ajtót. Mindenki meg tudja csinálni. Ha megpróbálja kinyitni az ajtót úgy, hogy a zsanérok közelében hat rá, akkor nagy erőfeszítéseket kell tennie annak mozgatásához.
Egy másik példa az anya csavarkulccsal való meglazítása. Minél rövidebb ez a billentyű, annál nehezebb a feladat végrehajtása.
A jelzett jellemzőket a váll feletti erőnyomaték képlete mutatja, amelyet az előző bekezdésben adtunk meg. Ha M-et állandó értéknek tekintjük, akkor minél kisebb d-t, annál nagyobb F-et kell alkalmazni egy adott erőnyomaték létrehozásához.
Több ható erő a rendszerben
A fenti eseteket vizsgáltuk, amikor csak egy F erő hat egy forgásra képes rendszerre, de mi van akkor, ha több ilyen erő is van? Valójában ez a helyzet gyakoribb, mivel erők hatnak a rendszerrekülönböző természetűek (gravitációs, elektromos, súrlódási, mechanikai és mások). Mindezekben az esetekben az eredményül kapott M¯ erőnyomaték az Mi¯, azaz:
összes nyomaték vektorösszegével határozható meg.
M¯=∑i(Mi¯), ahol i az Fi erősségi szám
A momentumok additivitásának tulajdonságából következik egy fontos következtetés, amelyet Varignon-tételnek neveznek, amelyet a 17. század végének - 18. század eleji matematikusról - a francia Pierre Varignonról neveztek el. Ez így szól: "A vizsgált rendszerre ható összes erő nyomatékának összege egy erő nyomatékaként ábrázolható, amely egyenlő az összes többi erő összegével és egy bizonyos pontra vonatkozik." Matematikailag a tétel a következőképpen írható fel:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Ezt a fontos tételt gyakran használják a gyakorlatban a testek forgásával és egyensúlyával kapcsolatos problémák megoldására.
Működik egy pillanatnyi erő?
A fenti képleteket skalár vagy vektor formában elemezve megállapíthatjuk, hogy M értéke némi munka. Valójában a mérete Nm, ami SI-ben a joule-nak (J) felel meg. Valójában az erőnyomaték nem munka, hanem csak egy mennyiség, amely képes erre. Ahhoz, hogy ez megtörténjen, szükség van egy körmozgásra a rendszerben és egy hosszú távú M cselekvésre. Ezért az erőnyomaték működésének képlete a következőképpen van felírva:
A=Mθ
BEbben a kifejezésben θ az a szög, amelyen keresztül az M erőnyomaték elforgatta. Ennek eredményeként a munka egysége felírható Nmrad vagy Jrad. Például a 60 Jrad érték azt jelzi, hogy 1 radiánnal (körülbelül a kör 1/3-ával) elforgatva az F erő, amely létrehozza azt a pillanatot, amikor M 60 joule munkát végzett. Ezt a képletet gyakran használják problémák megoldására olyan rendszerekben, ahol súrlódási erők hatnak, amint az alább látható.
Erő- és lendületnyomaték
Amint látható, az M nyomatéknak a rendszerre gyakorolt hatása a forgómozgás megjelenéséhez vezet benne. Ez utóbbit a "lendület" nevű mennyiség jellemzi. Kiszámítható a következő képlettel:
L=Iω
Itt I a tehetetlenségi nyomaték (olyan érték, amely a forgásban ugyanazt a szerepet játszik, mint a test lineáris mozgásában a tömeg), ω a szögsebesség, a lineáris sebességgel van összefüggésben a képlettel ω=v/r.
Mindkét momentum (a lendület és az erő) a következő kifejezéssel kapcsolódik egymáshoz:
M=Iα, ahol α=dω / dt a szöggyorsulás.
Adjunk még egy képletet, amely fontos az erőpillanatok munkája során felmerülő problémák megoldásához. Ezzel a képlettel kiszámíthatja a forgó test mozgási energiáját. Így néz ki:
Ek=1/2Iω2
Ezután két problémát mutatunk be megoldásokkal, ahol bemutatjuk a figyelembe vett fizikai képletek használatát.
Több test egyensúlya
Az első feladat egy olyan rendszer egyensúlyával kapcsolatos, amelyben több erő hat. AAz alábbi ábra egy olyan rendszert mutat be, amelyre három erő hat. Ki kell számolni, hogy a tárgyat mekkora tömeggel kell felfüggeszteni erről a karról, és melyik ponton kell ezt megtenni, hogy ez a rendszer egyensúlyban legyen.
A feladat feltételeiből megérthetjük, hogy a megoldáshoz a Varignon-tételt kell használni. A probléma első része azonnal megválaszolható, mivel a karra akasztandó tárgy súlya:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Az itt szereplő jelek kiválasztásakor figyelembe vettük, hogy a kart az óramutató járásával ellentétes irányba forgató erő negatív nyomatékot hoz létre.
A d pont azon pozíciója, ahol ezt a súlyt fel kell függeszteni, a következő képlettel számítjuk ki:
M1 - M2 + M3=dP=720-510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Megjegyezzük, hogy a gravitációs nyomaték képletével kiszámítottuk a három erő által létrehozott érték M egyenértékét. Ahhoz, hogy a rendszer egyensúlyban legyen, fel kell függeszteni egy 35 N tömegű testet a 4. pontban, 714 m-re a tengelytől a kar másik oldalán.
Lemez mozgatási probléma
A következő feladat megoldása a súrlódási erő nyomatékának és a forgástest mozgási energiájának képletén alapul. Feladat: Adott egy r=0,3 méter sugarú korong, amely ω=1 rad/s sebességgel forog. Ki kell számítani, hogy mekkora utat tud megtenni a felületen, ha a gördülési súrlódási tényező Μ=0,001.
Ez a probléma a legkönnyebben megoldható, ha az energiamegmaradás törvényét alkalmazza. Megvan a lemez kezdeti kinetikus energiája. Amikor elkezd gurulni, mindezt az energiát a felület felmelegítésére fordítják a súrlódási erő hatására. Mindkét mennyiséget egyenlővé téve a következő kifejezést kapjuk:
Iω2/2=ΜN/rrθ
A képlet első része a lemez kinetikus energiája. A második rész az F=ΜN/r súrlódási erő nyomatékának munkája, amely a tárcsa szélére vonatkozik (M=Fr).
Tekintettel arra, hogy N=mg és I=1/2mr2, kiszámítjuk a θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Mivel 2pi radián 2pir hosszának felel meg, akkor azt kapjuk, hogy a szükséges távolság, amelyet a lemez meg fog tenni:
s=θr=2,293580,3=0,688 m vagy körülbelül 69 cm
Ne feledje, hogy a lemez tömege nem befolyásolja ezt az eredményt.
