Nem valószínű, hogy sokan elgondolkodnak azon, hogy ki lehet-e számítani többé-kevésbé véletlenszerű eseményeket. Egyszerűen fogalmazva, reális-e tudni, hogy a kocka melyik oldala esik ki legközelebb. Ezt a kérdést tette fel két nagy tudós, akik megalapozták egy olyan tudományt, mint a valószínűségelmélet, amelyben egy esemény valószínűségét meglehetősen alaposan tanulmányozzák.
Eredeti
Ha megpróbálunk egy ilyen fogalmat valószínűségszámításként definiálni, akkor a következőket kapjuk: ez a matematika egyik ága, amely a véletlenszerű események állandóságát vizsgálja. Természetesen ez a koncepció nem igazán fedi fel a teljes lényeget, ezért szükséges ezt részletesebben átgondolni.
Az elmélet megalkotóival kezdeném. Mint fentebb említettük, kettő volt belőlük, ezek Pierre Fermat és Blaise Pascal. Ők voltak azok, akik az elsők között próbálták meg képletek és matematikai számítások segítségével kiszámítani egy esemény kimenetelét. Összességében ennek a tudománynak a kezdetei már megjelentekKözépkorú. Abban az időben különböző gondolkodók és tudósok megpróbálták elemezni a szerencsejátékokat, mint például a rulett, a craps stb. Az alapot a tizenhetedik században a fent említett tudósok tették le.
Munkásságukat eleinte nem lehetett az ezen a területen elért nagyszerű eredményeknek betudni, mert minden, amit csináltak, egyszerűen empirikus tények voltak, és a kísérletek vizuálisan, képletek használata nélkül történtek. Idővel kiderült, hogy nagyszerű eredményeket értek el, amelyek a kockadobás megfigyelésének eredményeként jelentek meg. Ez az eszköz segített az első érthető képletek levezetésében.
Associates
Lehetetlen, hogy ne említsünk egy olyan személyt, mint Christian Huygens a "valószínűségelmélet" nevű téma tanulmányozása során (az esemény valószínűségét ez a tudomány pontosan lefedi). Ez a személy nagyon érdekes. A fent bemutatott tudósokhoz hasonlóan ő is megpróbálta matematikai képletek formájában levezetni a véletlenszerű események szabályszerűségét. Figyelemre méltó, hogy ezt nem Pascallal és Fermat-tal közösen tette, vagyis minden műve egyáltalán nem keresztezte ezeket az elméket. Huygens levezette a valószínűségszámítás alapfogalmait.
Érdekes tény, hogy munkája jóval az úttörők munkájának eredményei előtt jelent meg, vagy inkább húsz évvel korábban. A kijelölt fogalmak közül a leghíresebbek:
- a valószínűség fogalma, mint az esély nagysága;
- elvárás a diszkrétreesetek;
- valószínűségek szorzási és összeadási tételei.
Lehetetlen nem emlékezni Jacob Bernoullira is, aki szintén jelentős mértékben hozzájárult a probléma tanulmányozásához. Saját tesztjeit végezve, senkitől függetlenül, sikerült bebizonyítania a nagy számok törvényét. A tizenkilencedik század elején dolgozó Poisson és Laplace tudósok pedig be tudták bizonyítani az eredeti tételeket. Ettől a pillanattól kezdve kezdték alkalmazni a valószínűségszámítást a megfigyelések során fellépő hibák elemzésére. Az orosz tudósok, vagy inkább Markov, Csebisev és Djapunov sem tudták megkerülni ezt a tudományt. A nagy zsenik munkája alapján ezt a tantárgyat a matematika egyik ágaként rögzítették. Ezek a számok már a 19. század végén működtek, és hozzájárulásuknak köszönhetően olyan jelenségek születtek, mint:
- nagy számok törvénye;
- Markov-láncelmélet;
- központi határérték tétel.
Tehát a tudomány születésének történetével és az azt befolyásoló főbb emberekkel többé-kevésbé minden világos. Itt az ideje, hogy minden tényt konkretizáljunk.
Alapfogalmak
Mielőtt a törvényekre és a tételekre nyúlnánk, érdemes áttanulmányozni a valószínűségszámítás alapfogalmait. A rendezvény főszerepet kap benne. Ez a téma elég terjedelmes, de enélkül nem lehet minden mást megérteni.
Az esemény a valószínűségszámításban egy kísérlet kimenetelének bármely halmaza. Ennek a jelenségnek nem sok fogalma létezik. Szóval, Lotman tudós,ezen a területen dolgozva azt mondta, hogy ebben az esetben valamiről beszélünk, ami „megtörtént, bár lehet, hogy meg sem történt volna”.
A véletlenszerű események (a valószínűségszámítás különös figyelmet fordít rájuk) egy olyan fogalom, amely abszolút minden olyan jelenséget foglal magában, amely képes előfordulni. Vagy fordítva, ez a forgatókönyv nem fordulhat elő, ha sok feltétel teljesül. Azt is érdemes tudni, hogy a véletlenszerű események rögzítik a megtörtént jelenségek teljes mennyiségét. A valószínűségszámítás azt jelzi, hogy minden feltétel folyamatosan ismétlődik. Az ő magatartásukat nevezték „tapasztalatnak” vagy „tesztnek”.
Egy bizonyos esemény az, amely 100%-ban megtörténik egy adott tesztben. Ennek megfelelően lehetetlen esemény az, ami meg sem történik.
Egy műveletpár kombinációja (hagyományosan A és B eset) olyan jelenség, amely egyidejűleg fordul elő. A jelölésük AB.
Az A és B eseménypárok összege C, vagyis ha legalább az egyik megtörténik (A vagy B), akkor C-t kapunk. A leírt jelenség képletét a következőképpen írjuk fel: C=A + B.
A diszjunkt események a valószínűségszámításban azt jelentik, hogy két eset kizárja egymást. Soha nem történhetnek meg egyszerre. Az együttes események a valószínűségszámításban az antipódjuk. Ez azt jelenti, hogy ha A megtörtént, akkor az nem zavarja B-t.
Az ellentétes események (a valószínűségszámítás nagyon részletesen foglalkozik velük) könnyen megérthetők. Ehhez képest a legjobb velük foglalkozni. Szinte ugyanazok, mintés az összeegyeztethetetlen események a valószínűségszámításban. De különbségük abban rejlik, hogy a sok jelenség közül egynek mindenképpen meg kell történnie.
Ekvivalens események azok a cselekvések, amelyeknek a lehetősége egyenlő. Hogy érthetőbb legyen, elképzelhetjük egy érme feldobását: az egyik oldalának esése ugyanolyan valószínűséggel esik le, mint a másik.
A kedvező eseményt könnyebben beláthatja egy példával. Tegyük fel, hogy van B epizód és A epizód. Az első a kockadobás páratlan szám megjelenésével, a második pedig az ötös szám megjelenése a kockán. Aztán kiderül, hogy A B-t részesíti előnyben.
A független események a valószínűségszámításban csak két vagy több esetre vetítődnek, és azt jelentik, hogy bármely cselekvés független a másiktól. Például A az érme feldobásakor elveszett farok, B pedig egy emelő kihúzása a pakliból. Ezek független események a valószínűségszámításban. Ezzel a pillanattal világosabb lett.
A valószínűségszámításban a függő események is csak a halmazukra megengedettek. Ezek az egyiknek a másiktól való függőségét jelentik, vagyis a B jelenség csak akkor fordulhat elő, ha A már megtörtént, vagy éppen ellenkezőleg, nem történt meg, amikor B-nek ez a fő feltétele.
Egy komponensből álló véletlenszerű kísérlet eredménye elemi események. A valószínűségszámítás megmagyarázza, hogy ez egy olyan jelenség, amely csak egyszer fordult elő.
Alapképletek
Tehát az "esemény", a "valószínűségelmélet" fogalmaimegadták e tudomány alapfogalmait is. Itt az ideje, hogy közvetlenül megismerkedjünk a fontos képletekkel. Ezek a kifejezések matematikailag megerősítik az összes fő fogalmat egy olyan nehéz tárgyban, mint a valószínűségszámítás. Az esemény valószínűsége itt is óriási szerepet játszik.
Inkább kezdje a kombinatorika alapképleteivel. És mielőtt rájuk térnénk, érdemes átgondolni, hogy mi az.
A kombinatorika elsősorban a matematika ága, hatalmas számú egész szám tanulmányozásával, valamint maguknak a számoknak és elemeiknek különféle permutációival, különféle adatokkal stb. számos kombináció. A valószínűségszámításon kívül ez az ág a statisztika, a számítástechnika és a kriptográfia számára is fontos.
Tehát most áttérhetünk maguknak a képleteknek a bemutatására és azok meghatározására.
Az első a permutációk számának kifejezése, így néz ki:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Az egyenlet csak akkor érvényes, ha az elemek csak sorrendben különböznek.
Most a rendszer figyelembe veszi az elhelyezési képletet, így néz ki:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ez a kifejezés nem csak az elem sorrendjére vonatkozik, hanem az összetételére is.
A kombinatorika harmadik egyenlete, és ez egyben az utolsó is, a kombinációk számának képletének nevezik:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
A kombinációk olyan kijelölések, amelyek nincsenek sorrendben, és ez a szabály vonatkozik rájuk.
Könnyűnek bizonyult kitalálni a kombinatorika képleteit, most áttérhetünk a valószínűségek klasszikus definíciójára. Ez a kifejezés így néz ki:
P(A)=m: n.
Ebben a képletben m az A esemény számára kedvező feltételek száma, n pedig az abszolút minden egyformán lehetséges és elemi eredmény száma.
Számos kifejezés létezik, a cikk nem fog mindegyikre kitérni, de a legfontosabbakat érintjük, mint például az események összegének valószínűségét:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ez a tétel csak inkompatibilis események összeadására szolgál;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - és ez csak a kompatibilisek hozzáadására szolgál.
Események előidézésének valószínűsége:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ez a tétel független eseményekre vonatkozik;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - és ez a szenvedélybetegek.
Az eseményképlet zárja a listát. A valószínűségszámítás elmondja nekünk a Bayes-tételt, amely így néz ki:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Ebben a képletben a H1, H2, …, H a hipotézisek teljes csoportja.
Álljunk meg itt, akkor megfontoljuk a képletek gyakorlati gyakorlati megoldására vonatkozó példáit.
Példák
Ha alaposan áttanulmányoz egy résztmatematika, nem nélkülözi a gyakorlatokat és a mintamegoldásokat. Ugyanígy a valószínűségelmélet is: az események, a példák itt szerves részét képezik, amely megerősíti a tudományos számításokat.
A permutációk számának képlete
Tegyük fel, hogy harminc kártya van egy pakliban, egy névértékűtől kezdve. Következő kérdés. Hányféleképpen halmozható fel a pakli úgy, hogy az egy és kettő névértékű kártyák ne legyenek egymás mellett?
A feladat kitűzve, most térjünk rá a megoldására. Először meg kell határoznia harminc elem permutációinak számát, ehhez vesszük a fenti képletet, kiderül, hogy P_30=30!.
E szabály alapján megtudjuk, hogy hány lehetőség van a pakli különböző módon történő behajtására, de ki kell vonnunk belőlük azokat, amelyekben az első és a második lap következik. Ehhez kezdjük azzal az opcióval, amikor az első a második felett van. Kiderült, hogy az első kártya huszonkilenc helyet foglalhat el - az elsőtől a huszonkilencedikig, a második pedig a másodiktól a harmincadikig, kiderül, hogy egy pár kártya huszonkilenc helyet foglal el. A többi viszont huszonnyolc helyet foglalhat el, és bármilyen sorrendben. Azaz huszonnyolc kártya permutációjához huszonnyolc lehetőség van P_28=28!
Ennek eredményeként kiderül, hogy ha a megoldást vesszük figyelembe, amikor az első kártya a másodikon túl van, akkor 29 ⋅ 28 extra lehetőség adódik!=29!
Ugyanezzel a módszerrel ki kell számítania a redundáns opciók számát arra az esetre, ha az első kártya a második alatt van. Az is kiderül, hogy 29 ⋅ 28!=29!
Ebből az következik, hogy 2 ⋅ 29 extra lehetőség van!, míg 30 szükséges módja van a pakli építésének! - 2 ⋅ 29!. Már csak számolni kell.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30-2)=29! ⋅ 28
Most meg kell szoroznia az összes számot egytől huszonkilencig, majd a végén mindent meg kell szorozni 28-cal. A válasz: 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
A példa megoldása. Képlet az elhelyezési számhoz
Ebben a feladatban meg kell találnia, hogy hányféleképpen lehet tizenöt kötetet egy polcra tenni, de azzal a feltétellel, hogy összesen harminc kötet van.
Ennek a problémának valamivel könnyebb megoldása van, mint az előzőnek. A már ismert képlet segítségével harminc kötetből tizenötből kell kiszámolni a helyek teljes számát.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 ⋅ 16=202 843 204 70 31 204 204 70
A válasz rendre 202 843 204 931 727 360 000.
Most vegyük egy kicsit nehezebbre a feladatot. Meg kell találnia, hogy hányféleképpen lehet harminc könyvet elhelyezni két könyvespolcon, feltéve, hogy csak tizenöt kötet kerülhet egy polcon.
A megoldás megkezdése előtt szeretném tisztázni, hogy néhány probléma többféleképpen is megoldható, tehát ebben kétféleképpen is lehet, de mindkettőben ugyanaz a képlet.
Ebben a feladatban az előzőből veheted a választ, mert ott kiszámoltuk, hogy hányszor lehet megtölteni egy polcot tizenöt könyvvel.eltérően. Kiderült, hogy A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
A második polcot a permutációs képlet alapján fogjuk kiszámolni, mert tizenöt könyvet helyeznek el benne, és csak tizenöt marad. Használja a P_15=15 képletet!.
Kiderül, hogy a végösszeg A_30^15 ⋅ P_15-ös lesz, de ezen felül a harminctól tizenhatig terjedő összes szám szorzatát meg kell szorozni az egytől tizenötig terjedő számok szorzatával, mivel az eredmény az összes szám szorzata egytől harmincig, tehát a válasz 30!
De ezt a problémát más módon is meg lehet oldani – könnyebben. Ehhez el tudja képzelni, hogy van egy polc harminc könyv számára. Mindegyik erre a síkra van helyezve, de mivel a feltétel megköveteli, hogy két polc legyen, egy hosszút kettévágunk, kiderül, hogy egyenként kettő tizenöt. Ebből kiderül, hogy az elhelyezési lehetőségek P_30=30!.
A példa megoldása. A
számú kombináció képlete
Most megvizsgáljuk a kombinatorika harmadik feladatának egy változatát. Meg kell találnia, hogy hányféleképpen rendezheti el tizenöt könyvet, feltéve, hogy harminc teljesen egyforma könyv közül kell választania.
A megoldáshoz természetesen a kombinációk számának képletét alkalmazzuk. A feltételből kiderül, hogy az egyforma tizenöt könyv sorrendje nem lényeges. Ezért először meg kell találnia a harminc, tizenöt könyvből álló kombinációk számát.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: tizenöt !=155 117 520
Ennyi. Ezzel a képlettel a lehető legrövidebb időn belülmegoldani egy ilyen problémát, a válasz 155 117 520.
A példa megoldása. A valószínűség klasszikus meghatározása
A fenti képlettel megtalálhatja a választ egy egyszerű problémára. De segít vizuálisan látni és követni a cselekvések menetét.
A feladatban megadatott, hogy az urnában tíz teljesen egyforma golyó van. Ebből négy sárga és hat kék. Egy labdát vesznek az urnából. Meg kell találnia a kékedés valószínűségét.
A probléma megoldásához meg kell jelölni a kék labda megszerzését, mint A eseményt. Ennek a tapasztalatnak tíz kimenetele lehet, amelyek viszont elemiek és egyformán valószínűek. Ugyanakkor tízből hat az A eseménynek kedvez. A következő képlet szerint oldjuk meg:
P(A)=6: 10=0, 6
Ezt a képletet alkalmazva azt találtuk, hogy a kék golyó megszerzésének valószínűsége 0,6.
A példa megoldása. Az események összegének valószínűsége
Most egy változat kerül bemutatásra, amelyet az események összegének valószínűségi képletével oldunk meg. Tehát abban az esetben, ha két doboz van, az elsőben egy szürke és öt fehér golyó, a másodikban nyolc szürke és négy fehér golyó található. Ennek eredményeként az egyiket az első és a második dobozból vették el. Meg kell találnia, mekkora az esélye annak, hogy a kapott golyók szürkék és fehérek lesznek.
A probléma megoldásához fel kell címkéznie az eseményeket.
- Tehát, A – vegyünk egy szürke golyót az első dobozból: P(A)=1/6.
- A’ – vegyünk egy fehér golyót az első dobozból is: P(A')=5/6.
- B – a szürke golyót már kivették a második dobozból: P(B)=2/3.
- B’ – vegyünk ki egy szürke golyót a második dobozból: P(B')=1/3.
A probléma feltételétől függően az egyik jelenségnek meg kell történnie: AB' vagy A'B. A képlet segítségével a következőt kapjuk: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Most a valószínűségi szorzóképletet használták. Ezután, hogy megtudja a választ, alkalmazza az egyenletet az összeadásukhoz:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Így lehet hasonló problémákat megoldani a képlet segítségével.
Eredmény
A cikk a "Valószínűségelmélet" témában nyújtott tájékoztatást, amelyben az esemény valószínűsége döntő szerepet játszik. Természetesen nem mindent vettek figyelembe, de a bemutatott szöveg alapján elméletileg meg lehet ismerkedni a matematikának ezzel a részével. A szóban forgó tudomány nemcsak a szakmai munkában, hanem a mindennapi életben is hasznos lehet. Segítségével bármilyen esemény lehetőségét kiszámíthatja.
A szöveg a valószínűségszámítás mint tudomány kialakulásának történetének jelentős dátumait is érintette, és azon személyek neveit, akiknek munkáit fektették bele. Az emberi kíváncsiság így vezetett oda, hogy az emberek megtanulták kiszámítani a véletlenszerű eseményeket is. Valaha csak érdeklődtek iránta, de ma már mindenki tud róla. És senki sem fogja megmondani, hogy mi vár ránk a jövőben, milyen ragyogó felfedezések születnek még a vizsgált elmélettel kapcsolatban. De egy dolog biztos: a kutatás nem áll meg!
