A szilárd geometria iskolai kurzusában az egyik legegyszerűbb alakzat, amelynek három térbeli tengelye mentén a mérete nem nulla, egy négyszögű prizma. Fontolja meg a cikkben, hogy milyen alakról van szó, milyen elemekből áll, és azt is, hogyan számíthatja ki a felületét és térfogatát.
A prizma fogalma
A geometriában a prizma egy térbeli alakzat, amelyet két azonos alap és oldalfelület alkot, amelyek összekötik ezen alapok oldalait. Figyeljük meg, hogy mindkét bázist valamilyen vektor párhuzamos transzlációjával transzformáljuk egymásba. A prizma ilyen hozzárendelése ahhoz a tényhez vezet, hogy minden oldala mindig paralelogramma.
Az alap oldalainak száma tetszőleges lehet, háromtól kezdve. Ha ez a szám a végtelenbe hajlik, a prizma simán hengerré változik, mivel az alapja körré alakul, és az oldalsó paralelogrammák összekapcsolódnak, és hengeres felületet alkotnak.
Mint minden poliéderre, a prizmára is jellemzőoldalak (az ábrát határoló síkok), élek (szegmensek, amelyek mentén bármely két oldal metszi egymást) és csúcsok (három oldal találkozási pontjai, egy prizmánál ezek közül kettő oldalsó, a harmadik pedig az alap). Az ábra megnevezett három elemének mennyiségét a következő kifejezés kapcsolja össze:
P=C + B - 2
Itt P, C és B az élek, oldalak és csúcsok száma. Ez a kifejezés az Euler-tétel matematikai jelölése.
A fenti képen két prizma látható. Az egyik (A) alján szabályos hatszög található, és az oldalsó oldalak merőlegesek az alapokra. A B ábra egy másik prizmát mutat. Oldalai már nem merőlegesek az alapokra, az alap pedig szabályos ötszög.
Mi az a négyszögű prizma?
Amint a fenti leírásból kiderül, a prizma típusát elsősorban az alapot alkotó sokszög típusa határozza meg (mindkét alap azonos, tehát az egyikről beszélhetünk). Ha ez a sokszög paralelogramma, akkor négyszögű prizmát kapunk. Így az ilyen típusú prizmák minden oldala paralelogramma. A négyszög alakú prizmának megvan a saját neve - paralelepipedon.
Egy paralelepipedon oldalainak száma hat, és mindegyik oldalnak van vele hasonló párhuzama. Mivel a doboz alja kétoldalas, a maradék négy oldalsó.
A paralelepipedon csúcsainak száma nyolc, ami könnyen belátható, ha emlékezünk arra, hogy a prizma csúcsai csak az alapsokszögek csúcsaiban alakulnak ki (4x2=8). Az Euler-tételt alkalmazva megkapjuk az élek számát:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 bordából csak 4-et képeznek egymástól függetlenül az oldalak. A maradék 8 az ábra alapjainak síkjaiban fekszik.
A cikkben a továbbiakban csak a négyszögű prizmákról lesz szó.
Paralelepipedonok típusai
Az első osztályozási típus az alapul szolgáló paralelogramma jellemzői. Így nézhet ki:
- szabályos, melynek szögei nem egyenlők 90-kalo;
- téglalap;
- a négyzet szabályos négyszög.
A besorolás második típusa az a szög, amelyben az oldal keresztezi az alapot. Itt két különböző eset lehetséges:
- ez a szög nem egyenes, akkor a prizmát ferde vagy ferde szögnek nevezzük;
- a szög 90o, akkor egy ilyen prizma téglalap alakú vagy csak egyenes.
A harmadik típusú osztályozás a prizma magasságához kapcsolódik. Ha a prizma téglalap alakú, és az alap négyzet vagy téglalap, akkor téglatestnek nevezzük. Ha van egy négyzet az alapnál, a prizma téglalap alakú, és a magassága megegyezik a négyzet oldalának hosszával, akkor a jól ismert kockafigurát kapjuk.
Prizma felülete és területe
Az összes pont halmaza, amely egy prizma két alapján fekszik(paralelogrammák), oldalain pedig (négy paralelogramma) alkotják az ábra felületét. Ennek a felületnek a területe kiszámítható az alapterület és az oldalfelület ezen értékének kiszámításával. Ekkor ezek összege adja a kívánt értéket. Matematikailag ez a következőképpen van leírva:
S=2So+ Sb
Itt So és Sb az alapfelület, illetve az oldalfelület területe. Az So előtti 2-es szám jelenik meg, mert két alap van.
Ne feledje, hogy az írott képlet minden prizmára érvényes, nem csak egy négyszögű prizma területére.
Hasznos emlékeztetni arra, hogy az Sp paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki:
Sp=ah
Ahol az a és h szimbólum az egyik oldalának hosszát, illetve az oldalhoz húzott magasságot jelöli.
Egy négyszögletes alappal rendelkező téglalap alakú prizma területe
Egy szabályos négyszög alakú prizmában az alap négyzet. A határozottság kedvéért az oldalát a betűvel jelöljük. Egy szabályos négyszög alakú prizma területének kiszámításához ismernie kell a magasságát. Ennek a mennyiségnek a definíciója szerint egyenlő az egyik alapról a másikra ejtett merőleges hosszával, azaz egyenlő a köztük lévő távolsággal. Jelöljük h betűvel. Mivel minden oldallap merőleges az adott típusú prizma alapjaira, a szabályos négyszög alakú prizma magassága megegyezik az oldalélének hosszával.
BA prizma felületének általános képlete két tag. Az alap területe ebben az esetben könnyen kiszámítható, egyenlő:
So=a2
Az oldalfelület területének kiszámításához a következőképpen érvelünk: ezt a felületet 4 egyforma téglalap alkotja. Ráadásul mindegyik oldala egyenlő a-val és h-val. Ez azt jelenti, hogy az Sb területe egyenlő lesz:
Sb=4ah
Ne feledje, hogy a 4a szorzat a négyzetalap kerülete. Ha ezt a kifejezést tetszőleges alap esetére általánosítjuk, akkor egy téglalap alakú prizmánál az oldalfelület a következőképpen számítható:
Sb=Poh
Ahol Po az alap kerülete.
Visszatérve a szabályos négyszögű prizma területének kiszámításához, felírhatjuk a végső képletet:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
ferde paralelepipedon területe
Kiszámítása valamivel nehezebb, mint egy négyszögletes esetében. Ebben az esetben a négyszögű prizma alapterületét ugyanazzal a képlettel számítják ki, mint a paralelogramma esetében. A változtatások az oldalsó felület meghatározásának módjára vonatkoznak.
Ehhez ugyanazt a képletet használja a kerület mentén, mint a fenti bekezdésben. Csak most kissé eltérő szorzói lesznek. Az Sb általános képlete ferde prizma esetén:
Sb=Psrc
Itt c az ábra oldalélének hossza. A Psr érték a téglalap alakú szelet kerülete. Ez a környezet a következőképpen épül fel: az összes oldallapot egy síkkal kell metszeni úgy, hogy az mindegyikre merőleges legyen. Az eredményül kapott téglalap lesz a kívánt vágás.
A fenti ábra egy ferde doboz példáját mutatja. Keresztvonalas metszete derékszöget zár be az oldalakkal. A szakasz kerülete Psr. Négy magasságú oldalsó paralelogramma alkotja. Ennek a négyszögű prizmának az oldalsó felületét a fenti képlet alapján számítjuk ki.
A téglatest átlójának hossza
A paralelepipedon átlója olyan szakasz, amely két olyan csúcsot köt össze, amelyeknek nincs közös oldaluk. Minden négyszögű prizmában csak négy átló van. Egy téglatestnél, amelynek alapja téglalap van, az összes átló hossza egyenlő egymással.
Az alábbi ábra a megfelelő ábrát mutatja. A piros szakasz az átlója.
A hosszának kiszámítása nagyon egyszerű, ha emlékszel a Pitagorasz-tételre. Minden tanuló megkaphatja a kívánt képletet. Ennek a következő formája van:
D=√(A2+ B2 + C2)
Itt D az átló hossza. A fennmaradó karakterek a doboz oldalainak hossza.
Sokan összetévesztik a paralelepipedon átlóját az oldalak átlóival. Alább egy kép, ahol a színesa szegmensek az ábra oldalainak átlóit jelentik.
Mindegyik hosszát szintén a Pitagorasz-tétel határozza meg, és egyenlő a megfelelő oldalhosszak négyzetösszegének négyzetgyökével.
Prizma hangerő
Egy szabályos négyszög alakú prizma vagy más típusú prizma területén kívül néhány geometriai feladat megoldásához ismernie kell azok térfogatát is. Ez az érték abszolút bármely prizmára a következő képlettel számítható ki:
V=Soh
Ha a prizma téglalap alakú, akkor elég kiszámítani az alapterületét, és megszorozni az oldal élének hosszával, hogy megkapjuk az ábra térfogatát.
Ha a prizma szabályos négyszögű prizma, akkor a térfogata a következő lesz:
V=a2h.
Könnyen belátható, hogy ez a képlet egy kocka térfogatának kifejezésévé alakul, ha a h oldalél hossza megegyezik az a alap oldalával.
Probléma a téglatesttel
A vizsgált anyag konszolidálásához a következő feladatot oldjuk meg: van egy téglalap alakú paralelepipedon, amelynek oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Ki kell számítani a felületét, az átló hosszát és a térfogatát.
A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy az ábra alapja egy téglalap, melynek oldalai 3 cm és 4 cm. Ekkor a területe 12 cm2, és a periódus 14 cm. A prizma felületének képletével a következőt kapjuk:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Az átló hosszának és az ábra térfogatának meghatározásához közvetlenül használhatja a fenti kifejezéseket:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Probléma a ferde paralelepipedonnal
Az alábbi ábra egy ferde prizmát mutat. Oldalai egyenlőek: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Meg kell találni ennek az ábrának a felületét.
Először is határozzuk meg az alap területét. Az ábrán látható, hogy a hegyesszög 50o. Ekkor a területe:
So=ha=sin(50o)ba
Az oldalsó felület területének meghatározásához meg kell keresnie az árnyékolt téglalap kerületét. Ennek a téglalapnak az oldalai asin(45o) és bsin(60o). Ekkor ennek a téglalapnak a kerülete:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
A doboz teljes felülete:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
A feladat feltételéből származó adatokkal helyettesítjük az ábra oldalainak hosszát, a választ kapjuk:
S=458, 5496 cm3
A feladat megoldásából látható, hogy a ferde alakzatok területeinek meghatározására trigonometrikus függvényeket használunk.
