A „végtelen” szónál minden embernek megvan a maga asszociációja. Sokan képzeletben a horizonton túlnyúló tengert rajzolják meg, míg másoknak a végtelen csillagos égbolt képe áll a szemük előtt. A számokkal való operációhoz szokott matematikusok egészen másképp képzelik el a végtelent. Évszázadok óta próbálják megtalálni a méréshez szükséges fizikai mennyiségek közül a legnagyobbat. Az egyik a Graham-szám. Ebből a cikkből kiderül, hogy hány nulla van benne, és mire használják.
Végtelenül nagy szám
A matematikában ez egy ilyen változó neve x , ha bármely adott pozitív M számra meg lehet adni olyan N természetes számot, hogy minden N-nél nagyobb n számra az egyenlőtlenség |x | > M. Azonban nem, például a Z egész szám végtelenül nagynak tekinthető, mivel mindig kisebb lesz, mint (Z + 1).
Pár szó az "óriásokról"
A legnagyobb fizikai jelentésű számok a következők:
- 1080. Ezt a számot, amelyet általában quinquavigintillionnak neveznek, a kvarkok és leptonok (a legkisebb részecskék) hozzávetőleges számának jelölésére használják az Univerzumban.
- 1 Google. Egy ilyen számot a decimális rendszerben 100 nullával rendelkező egységként írunk fel. Egyes matematikai modellek szerint az ősrobbanástól a legnagyobb tömegű fekete lyuk felrobbanásáig 1-1,5 googol évnek kell eltelnie, ami után az univerzumunk létezésének utolsó szakaszába kerül, azaz tételezzük fel, hogy ennek a számnak van egy bizonyos fizikai jelentése.
- 8, 5 x 10185. A Planck-konstans 1,616199 x 10-35 m, azaz decimális jelöléssel úgy néz ki, mint 0,000000000000000000000000000000616199 m. Körülbelül 1 googol Planck hosszúság van egy hüvelykben. Becslések szerint körülbelül 8,5 x 10185 A laphosszúságok elférnek az egész univerzumban.
- 277 232 917 – 1. Ez a legnagyobb ismert prímszám. Ha a bináris jelölése meglehetősen tömör, akkor ahhoz, hogy decimális formában jelenítse meg, nem kevesebb, mint 13 millió karakter. 2017-ben találták meg egy Mersenne-számok keresését célzó projekt részeként. Ha a rajongók továbbra is ebben az irányban dolgoznak, akkor a számítástechnika jelenlegi fejlettségi szintjén a közeljövőben valószínűleg nem találnak 2-nél nagyságrenddel nagyobb Mersenne-számot 77 232 917- 1, bár ilyena szerencsés nyertes 150 000 US$-t kap.
- Hugoplex. Itt csak 1-et veszünk, és utána nullákat adunk 1 googol mennyiségben. Ezt a számot 10^10^100-nak írhatod. Lehetetlen decimális formában ábrázolni, mert ha az Univerzum teljes tere tele van papírdarabokkal, amelyek mindegyikére 10-es „Word” betűmérettel 0 lenne írva, akkor ebben az esetben csak a fele 1 után mind a 0 a googolplex számhoz érkezne.
- 10^10^10^10^10^1.1. Ez egy szám, amely azt mutatja, hogy hány év után a Poincaré-tétel szerint Univerzumunk véletlenszerű kvantumfluktuációk hatására a maihoz közeli állapotba kerül.
Hogy születtek Graham számai
1977-ben a tudomány jól ismert népszerűsítője, Martin Gardner egy cikket közölt a Scientific American-ban, amely Graham bizonyítja Ramse elméletének egyik problémáját. Ebben a tudós által felállított határt a legnagyobb számnak nevezte, amelyet a komoly matematikai érvelésben valaha is használtak.
Ki az a Ronald Lewis Graham
A most 80-as éveiben járó tudós Kaliforniában született. 1962-ben a Berkeley Egyetemen szerzett Ph. D fokozatot matematikából. 37 évig dolgozott a Bell Labsnál, majd az AT&T Labshoz költözött. A tudós aktívan együttműködött a 20. század egyik legnagyobb matematikusával, Erdős Pállal, és számos rangos díj nyertese. Graham tudományos bibliográfiája több mint 320 tudományos közleményt tartalmaz.
A 70-es évek közepén a tudóst az elmélettel kapcsolatos probléma érdekelteRamsey. Bizonyításában meghatározták a megoldás felső korlátját, ami igen nagy szám, utólag Ronald Grahamről nevezték el.
Hiperkocka probléma
A Graham-szám lényegének megértéséhez először meg kell értenie, hogyan kapta meg.
A tudós és kollégája, Bruce Rothschild a következő problémát oldották meg:
Van egy n-dimenziós hiperkocka. Minden csúcspárja úgy van összekötve, hogy egy teljes gráfot kapjunk 2csúcsból. Mindegyik széle kék vagy piros színű. Meg kellett találni a minimális számú csúcsot, amellyel egy hiperkockának rendelkeznie kell, hogy minden ilyen színezés tartalmazzon egy teljes monokromatikus részgráfot, amelyben 4 csúcs található ugyanabban a síkban.
Döntés
Graham és Rothschild bebizonyította, hogy a problémának van N' megoldása, amely kielégíti a 6 ⩽ N' ⩽N feltételt, ahol N egy jól definiált, nagyon nagy szám.
Az N alsó korlátját ezt követően más tudósok finomították, és bebizonyították, hogy N-nek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie 13-nál. Így a hiperkocka fent bemutatott feltételeket kielégítő legkisebb számú csúcsának kifejezése lett. 13 ⩽ N' ⩽ N.
Knuth nyíl jelölése
A Graham-szám definiálása előtt érdemes megismerkedni a szimbolikus ábrázolás módjával, mivel erre sem a decimális, sem a bináris jelölés nem feltétlenül alkalmas.
Jelenleg a Knuth-féle nyíl jelölést használják ennek a mennyiségnek a megjelenítésére. Elmondása szerint:
ab=egy "felfelé nyíl" b.
A többszörös hatványozás műveletéhez a következő bejegyzés került bevezetésre:
a "felfelé mutató nyíl" "felfelé nyíl" b=ab="a torony, amely b darab darabból áll."
A pentációhoz, azaz az előző operátor ismételt hatványozásának szimbolikus megjelöléséhez Knuth már 3 nyilat használt.
Ezt a jelölést a Graham-számra használva "nyíl" sorozatok vannak egymásba ágyazva, 64 db mennyiségben.
Skála
Híres számukat, amely megmozgatja a képzeletet és kitágítja az emberi tudat határait, túlmutatva az Univerzum határain, Graham és munkatársai a hiperkocka bizonyításában az N szám felső korlátjaként kapták meg. fent bemutatott probléma. Egy hétköznapi ember számára rendkívül nehéz elképzelni, milyen nagy léptékű.
A karakterek számának kérdése, vagy ahogy néha tévesen mondják, a nullák Graham számában, szinte mindenkit érdekel, aki először hall erről az értékről.
Elég annyit mondanunk, hogy egy gyorsan növekvő sorozattal van dolgunk, amely 64 tagból áll. Még az első tagját sem lehet elképzelni, mivel n "toronyból" áll, amelyek 3-tól állnak. Már a 3 hármas "alsó emelete" 7 625 597 484 987, azaz meghaladja a 7 milliárdot, vagyis a 64. emeletről (nem tag!). Így jelenleg nem lehet pontosan megmondani, hogy mi a Graham-szám, mivel nem elég kiszámítani.a Földön ma létező összes számítógép együttes teljesítménye.
Történt a rekord?
A Kruskal-tétel bizonyítása során Graham számát „ledobták a talapzatáról”. A tudós a következő problémát javasolta:
Véges fák végtelen sorozata létezik. Kruskal bebizonyította, hogy valamilyen gráfnak mindig létezik olyan szakasza, amely egy nagyobb gráf része és pontos másolata. Ez az állítás nem vet fel kételyt, hiszen nyilvánvaló, hogy mindig lesz pontosan ismétlődő kombináció a végtelenben
Később Harvey Friedman némileg leszűkítette ezt a problémát azzal, hogy csak olyan aciklikus gráfokat (fákat) vett figyelembe, hogy egy adott i együtthatójú gráfhoz legfeljebb (i + k) csúcsok vannak. Úgy döntött, hogy megtudja, mennyi legyen az aciklikus gráfok száma, hogy ezzel a feladatuk módszerével mindig meg lehessen találni egy olyan részfát, amelyet egy másik fába ágyaznak be.
A kérdéssel kapcsolatos kutatások eredményeként azt találták, hogy N, k-tól függően, óriási sebességgel növekszik. Különösen, ha k=1, akkor N=3. Azonban k=2-nél N már eléri a 11-et. A legérdekesebb dolog akkor kezdődik, amikor k=3. Ebben az esetben N gyorsan "felszáll", és elér egy értéket, sokszorosa a Graham-számnak. Ahhoz, hogy elképzeljük, mekkora ez, elég felírni a Ronald Graham által kiszámított számot G64 formájában (3). Ekkor a Friedman-Kruskal érték (rev. FinKraskal(3)) G(G(187196)) nagyságrendű lesz. Vagyis egy megaértéket kapunk, ami végtelenül nagyobbelképzelhetetlenül nagy Graham-szám. Ugyanakkor még ez is gigantikusan sokszor lesz kisebb a végtelennél. Érdemes erről a koncepcióról részletesebben beszélni.
Végtelenség
Most, hogy elmagyaráztuk, mi a Graham-szám az ujjakon, meg kell értenünk a jelentést, amelyet ebbe a filozófiai koncepcióba fektettek és fektetnek be. Hiszen a „végtelen” és a „végtelenül nagy szám” egy bizonyos összefüggésben azonosnak tekinthető.
A kérdés tanulmányozásához a legnagyobb mértékben Arisztotelész járult hozzá. Az ókor nagy gondolkodója a végtelent potenciálisra és ténylegesre osztotta. Ez utóbbi alatt a végtelen dolgok létezésének valóságát értette.
Arisztotelész szerint az alapfogalommal kapcsolatos gondolatok forrásai a következők:
- idő;
- értékek szétválasztása;
- a határ fogalma és valami azon túli létezése;
- a kreatív természet kimeríthetetlensége;
- gondolkodni, aminek nincs határa.
A végtelen modern értelmezésében nem lehet mennyiségi mértéket megadni, így a legnagyobb szám keresése örökké tarthat.
Következtetés
A „Tekints a végtelenbe” metafora és Graham száma bizonyos értelemben szinonimának tekinthető? Inkább igen és nem. Mindkettőt még a legerősebb képzelőerővel sem lehet elképzelni. Azonban, mint már említettük, nem tekinthető "a legtöbbnek, a legtöbbnek". A másik dolog az, hogy jelenleg a Graham-számnál nagyobb értékeknek nincs megalapozottságafizikai érzék.
Ezenkívül nem rendelkezik egy végtelenszám tulajdonságaival, például:
- ∞ + 1=∞;
- végtelen sok páratlan és páratlan szám van;
- ∞ - 1=∞;
- a páratlan számok száma pontosan fele az összes számnak;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Összefoglalva: Graham száma a legnagyobb szám a matematikai bizonyítás gyakorlatában a Guinness Rekordok Könyve szerint. Vannak azonban számok, amelyek sokszorosa ennek az értéknek.
Valószínűleg a jövőben még nagyobb "óriásokra" lesz szükség, főleg, ha valaki túllép a naprendszerünkön, vagy feltalál valami elképzelhetetlent tudatunk jelenlegi szintjén.
