A matematikában a logaritmus az exponenciális függvény inverze. Ez azt jelenti, hogy lg logaritmusa az a hatvány, amelyre a b számot fel kell emelni, hogy eredményül x legyen. A legegyszerűbb esetben ugyanazon érték ismételt szorzását veszi figyelembe.
Vegyünk egy konkrét példát:
1000=10 × 10 × 10=103
Ebben az esetben ez az lg tízes alaplogaritmusa. Ez egyenlő hárommal.
lg101000=3
Általában a kifejezés így fog kinézni:
lgbx=a
A hatványozás lehetővé teszi bármely pozitív valós szám bármely valós értékre való növelését. Az eredmény mindig nagyobb lesz, mint nulla. Ezért bármely két pozitív valós szám, b és x logaritmusa, ahol b nem egyenlő 1-gyel, mindig egyedi a valós szám. Ezenkívül meghatározza a hatványozás és a logaritmus közötti kapcsolatot:
lgbx=a, ha ba=x.
Előzmények
A logaritmus (lg) története a 17. századból származik Európában. Ez egy új funkció nyitásakiterjesztette az elemzés körét az algebrai módszereken túlra. A logaritmus módszerét John Napier javasolta nyilvánosan 1614-ben a Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("A logaritmusok figyelemre méltó szabályainak leírása") című könyvében. A tudós feltalálása előtt más módszerek is léteztek hasonló területeken, például a Jost Bürggi által 1600 körül kifejlesztett progressziós táblázatok használata.
A decimális logaritmus lg a tízes bázisú logaritmus. Első alkalommal használtak valós logaritmusokat heurisztikával a szorzás összeadássá alakítására, megkönnyítve a gyors számítást. Ezen módszerek némelyike trigonometrikus azonosságokból származó táblázatokat használt.
A ma logaritmusként (lg) ismert függvény felfedezése a Prágában élő belga Gregory de Saint Vincent nevéhez fűződik, aki egy téglalap alakú hiperbolát próbált négyszögletesre alakítani.
Használja
A logaritmusokat gyakran a matematikán kívül is használják. Ezen esetek egy része a skálainvariancia fogalmához kapcsolódik. Például a nautilus kagyló minden egyes kamrája hozzávetőleges másolata a következőnek, bizonyos számú alkalommal kicsinyítve vagy kinagyítva. Ezt logaritmikus spirálnak hívják.
A saját készítésű geometriák méretei, amelyek részei hasonlítanak a végtermékhez, szintén logaritmuson alapulnak. A logaritmikus skálák hasznosak a relatív változás számszerűsítéséreértékeket. Ezenkívül, mivel a logbx függvény nagyon lassan növekszik nagy x esetén, logaritmikus skálákat használnak a nagy léptékű tudományos adatok tömörítésére. A logaritmusok számos tudományos képletben is megjelennek, például a Fenske-egyenletben vagy a Nernst-egyenletben.
Számítás
Néhány logaritmus könnyen kiszámítható, például log101000=3. Általában ki lehet számítani hatványsorok vagy az aritmetikai-geometriai átlag felhasználásával, vagy ki lehet vonni egy előre kiszámított logaritmustáblázat, amely nagy pontossággal rendelkezik.
A Newton iteratív egyenletek megoldási módszere is használható a logaritmus értékének meghatározására. Mivel a logaritmikus inverz függvénye exponenciális, a számítási folyamat jelentősen leegyszerűsödik.
