A hatalom a fizika egyik legfontosabb fogalma. Változást okoz bármely objektum állapotában. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogy mi ez az érték, milyen erők vannak, és megmutatjuk, hogyan találjuk meg az erő tengelyre és síkra vetületét.
Az erő és fizikai jelentése
A fizikában az erő olyan vektormennyiség, amely a test impulzusának időegységenkénti változását mutatja. Ez a meghatározás az erőt dinamikus jellemzőnek tekinti. A statika szempontjából az erő a fizikában a testek rugalmas vagy képlékeny alakváltozásának mértéke.
A nemzetközi SI rendszer az erőt newtonban (N) fejezi ki. Mi az 1 newton, a legegyszerűbb módja annak, hogy megértsük a klasszikus mechanika második törvényének példáját. A matematikai jelölése a következő:
F¯=ma¯
Itt F¯ valamilyen külső erő, amely egy m tömegű testre hat, és a¯ gyorsulást eredményez. Egy newton mennyiségi meghatározása a képletből következik: 1 N olyan erő, amely egy 1 kg tömegű test sebességének másodpercenkénti 1 m/s-os változásához vezet.
Példák a dinamikáraAz erő megnyilvánulása egy autó vagy egy szabadon zuhanó test felgyorsulása a Föld gravitációs terében.
Az erő statikus megnyilvánulása, amint megjegyeztük, deformációs jelenségekkel jár. Itt a következő képleteket kell megadni:
F=PS
F=-kx
Az első kifejezés az F erőt ahhoz a P nyomáshoz kapcsolja, amelyet bizonyos S területen fejt ki. Ezzel a képlettel 1 N definiálható úgy, mint egy 1 pascal nyomást 1 m területen. 2. Például egy légköri levegőoszlop tengerszinten 1 m2 105N! erővel nyomódik egy helyen.
A második kifejezés a Hooke-törvény klasszikus formája. Például egy rugó lineáris x értékkel való megfeszítése vagy összenyomása F ellentétes erő kialakulásához vezet (a k kifejezésben az arányossági tényező).
Milyen erők vannak?
A fentiekben már bemutattuk, hogy az erők lehetnek statikusak és dinamikusak. Itt elmondjuk, hogy ezen a tulajdonságon kívül lehetnek érintkezési vagy nagy hatótávolságú erők. Például a súrlódási erő, a támogatási reakciók érintkezési erők. Megjelenésük oka a Pauli-elv érvényessége. Ez utóbbi azt állítja, hogy két elektron nem foglalhatja el ugyanazt az állapotot. Ezért vezet két atom érintése azok taszításához.
Hosszú hatótávolságú erők jelennek meg a testek kölcsönhatása eredményeként egy bizonyos hordozómezőn keresztül. Ilyen például a gravitációs erő vagy az elektromágneses kölcsönhatás. Mindkét hatalom végtelen hatótávolságú,intenzitásuk azonban a távolság négyzetével csökken (Coulomb-törvények és a gravitáció).
A teljesítmény vektormennyiség
A figyelembe vett fizikai mennyiség jelentésével foglalkozva áttérhetünk a tengelyre való erővetítés kérdéskörének vizsgálatára. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ez a mennyiség egy vektor, vagyis modullal és irányral jellemzi. Megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani az erőmodulust és annak irányát.
Ismert, hogy egy adott koordinátarendszerben bármely vektor egyedileg definiálható, ha ismerjük a kezdetének és végének koordinátáit. Tegyük fel, hogy van valamilyen irányított MN¯ szegmens. Ekkor az iránya és a modulja a következő kifejezésekkel határozható meg:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Itt a 2-es indexű koordináták az N pontnak, az 1-es indexűek az M-nek felelnek meg. Az MN¯ vektor M-ből N-be irányul.
Az általánosság kedvéért megmutattuk, hogyan találjuk meg egy vektor modulusát és koordinátáit (irányát) háromdimenziós térben. Hasonló képletek a harmadik koordináta nélkül érvényesek a síkon lévő esetre is.
Így az erőmodulus az abszolút értéke, newtonban kifejezve. Geometria szempontjából a modulus az irányított szakasz hossza.
Mire vonatkozik az erő vetületetengely?
A legkényelmesebb az irányított szakaszok koordinátatengelyekre és síkokra való vetületeiről beszélni, ha először a megfelelő vektort az origóba, azaz a (0; 0; 0) pontba helyezzük. Tegyük fel, hogy van valami F¯ erővektorunk. Tegyük a kezdetét a (0; 0; 0) pontba, majd a vektor koordinátáit a következőképpen írhatjuk fel:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
F¯ vektor az erő irányát mutatja a térben az adott koordinátarendszerben. Most rajzoljunk merőleges szakaszokat F¯ végétől mindegyik tengelyre. A merőlegesnek a megfelelő tengellyel való metszéspontjától az origóig terjedő távolságot az erő tengelyre vetületének nevezzük. Nem nehéz kitalálni, hogy az F¯ erő esetén a vetületei az x, y és z tengelyekre x1, y1 és z 1, rendre. Vegye figyelembe, hogy ezek a koordináták az erővetületek moduljait (a szakaszok hosszát) mutatják.
Szögek az erő és a koordináta tengelyeken lévő vetületei között
E szögek kiszámítása nem nehéz. A megoldáshoz csak a trigonometrikus függvények tulajdonságainak ismerete és a Pitagorasz-tétel alkalmazásának képessége szükséges.
Például határozzuk meg az erő iránya és az x tengelyre való vetülete közötti szöget. A megfelelő derékszögű háromszöget a befogó (F¯ vektor) és a láb (x1 szegmens) alkotja. A második láb az F¯ vektor vége és az x tengely távolsága. Az F¯ és az x tengely közötti α szöget a következő képlettel számítjuk ki:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Amint látja, a tengely és a vektor közötti szög meghatározásához szükséges és elegendő ismerni az irányított szakasz végének koordinátáit.
Más tengelyű szögeknél (y és z) hasonló kifejezéseket írhat:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Ne feledje, hogy minden képletben vannak modulok a számlálókban, ami kiküszöböli a tompa sarkok megjelenését. Az erő és a tengelyirányú vetületei között a szögek mindig kisebbek vagy egyenlőek 90o.
Erő és vetületei a koordinátasíkon
A síkra történő erővetítés definíciója megegyezik a tengelyéval, csak ebben az esetben a merőlegest nem a tengelyre, hanem a síkra kell leengedni.
Térbeli derékszögű koordinátarendszer esetén három egymásra merőleges sík van: xy (vízszintes), yz (frontális függőleges), xz (oldalirányú függőleges). A vektor végéről a megnevezett síkokba ejtett merőlegesek metszéspontjai:
(x1; y1; 0) xy-hoz;
(x1; 0; z1) xz;
(0; y1; z1) zy.
Ha a megjelölt pontok mindegyike kapcsolódik az origóhoz, akkor megkapjuk az F¯ erő vetületét a megfelelő síkra. Mi az erőmodulus, tudjuk. Az egyes vetületek modulusának meghatározásához alkalmazni kell a Pitagorasz-tételt. Jelöljük a síkon a vetületeket Fxy, Fxz és Fzy. Ekkor az egyenlőségek érvényesek lesznek a moduljaikra:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
A síkra való vetületek és az erővektor közötti szögek
A fenti bekezdésben képleteket adtak meg a vizsgált F¯ vektor síkjára vetítések moduljaihoz. Ezek a vetületek az F¯ szakasszal és a vége és a sík távolságával együtt derékszögű háromszögeket alkotnak. Ezért, akárcsak a tengelyre vetítések esetében, a szóban forgó szögek kiszámításához a trigonometrikus függvények definícióját használhatja. A következő egyenlőségeket írhatja fel:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Fontos megérteni, hogy az F¯ erő iránya és a síkra vonatkozó vetülete közötti szög egyenlő az F¯ és a sík közötti szöggel. Ha ezt a problémát a geometria szempontjából vizsgáljuk, akkor azt mondhatjuk, hogy az F¯ irányított szakasz ferde az xy, xz és zy síkokhoz képest.
Hol használják az erőkivetítéseket?
A fenti képletek a koordinátatengelyekre és a síkra vonatkozó erővetítésekre nem csak elméleti szempontból érdekesek. Gyakran használják fizikai problémák megoldására. A vetületek megtalálásának folyamatát az erő összetevőire való felbomlásának nevezzük. Ez utóbbiak vektorok, amelyek összege adja az eredeti erővektort. Általános esetben az erő tetszőleges komponensekre bontható, azonban a feladatok megoldásához célszerű merőleges tengelyekre és síkokra vetítéseket használni.
Az erőkivetítés fogalmát alkalmazó problémák nagyon eltérőek lehetnek. Például ugyanaz a Newton második törvénye feltételezi, hogy a testre ható F¯ külső erőt ugyanúgy kell irányítani, mint a v¯ sebességvektort. Ha irányaik valamilyen szögben eltérnek, akkor ahhoz, hogy az egyenlőség érvényben maradjon, nem magát az F¯ erőt, hanem annak v¯ irányra való vetületét kell behelyettesíteni.
Ezután hozunk pár példát, ahol megmutatjuk, hogyan kell használni a rögzítettképletek.
A síkon és a koordinátatengelyeken lévő erővetületek meghatározásának feladata
Tegyük fel, hogy van valami F¯ erő, amelyet a következő vég- és kezdőkoordinátákkal rendelkező vektor reprezentál:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Meg kell határozni az erő modulusát, valamint minden vetületét a koordinátatengelyekre és síkokra, valamint az F¯ és az egyes vetületei közötti szögeket.
Kezdjük a feladat megoldását az F¯ vektor koordinátáinak kiszámításával. Nálunk:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Akkor az erőmodulus a következő lesz:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
A koordinátatengelyekre vonatkozó vetítések megegyeznek az F¯ vektor megfelelő koordinátáival. Számítsuk ki a köztük és az F¯ irány közötti szögeket. Nálunk:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Mivel az F¯ vektor koordinátái ismertek, lehetséges a koordinátasíkon lévő erővetületek moduljainak kiszámítása. A fenti képletekkel a következőt kapjuk:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Végül hátra van a síkon talált vetületek és az erővektor közötti szögek kiszámítása. Nálunk:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Így az F¯ vektor van a legközelebb az xy koordinátasíkhoz.
Probléma a csúszó rúddal ferde síkban
Most oldjunk meg egy fizikai problémát, ahol az erővetítés fogalmát kell alkalmazni. Legyen adott egy fa ferde sík. A horizonthoz viszonyított dőlésszöge 45o. A gépen egy 3 kg tömegű fahasáb található. Meg kell határozni, hogy ez a rúd mekkora gyorsulással mozog lefelé a síkban, ha ismert, hogy a csúszósúrlódási együttható 0,7.
Először is készítsük el a test mozgásegyenletét. Mivel csak két erő hat rá (a gravitáció síkra vetítése és a súrlódási erő), az egyenlet a következőképpen alakul:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Itt Fg, Ff a gravitáció, illetve a súrlódás vetülete. Vagyis a feladat az értékük kiszámítására korlátozódik.
Mivel a sík szöge a horizonthoz képest 45o, könnyen kimutatható, hogy a gravitáció vetülete Fga sík felülete mentén egyenlő lesz:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Ez az erőkivetítés nyugtalanítani akarfahasáb, és gyorsítsd.
A definíció szerint a csúszósúrlódási erő:
Ff=ΜN
Ahol Μ=0, 7 (lásd a feladat feltételét). Az N támasz reakcióereje egyenlő a gravitációs erő vetületével a ferde síkra merőleges tengelyre, azaz:
N=mgcos(45o)
Akkor a súrlódási erő:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
A talált erőket behelyettesítjük a mozgásegyenletbe, így kapjuk:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
Így a blokk lefelé halad a ferde síkban, másodpercenként 2,08 m/s-al növelve sebességét.
