A matematikai elemzés egyik alapvető része az integrálszámítás. Az objektumok legszélesebb körét fedi le, ahol az első a határozatlan integrál. Érdemes kulcsként pozícionálni, ami már a középiskolában is egyre több olyan perspektívát és lehetőséget tár fel, amit a felsőbb matematika leír.
Megjelenés
Első pillantásra az integrál teljesen modernnek, relevánsnak tűnik, de a gyakorlatban kiderül, hogy már ie 1800-ban megjelent. Egyiptomot hivatalosan szülőföldnek tekintik, mivel létezésének korábbi bizonyítékai nem jutottak el hozzánk. Ő, információhiány miatt, mindezt az időt egyszerűen jelenségként pozícionálta. Ismét megerősítette a tudomány fejlettségi szintjét az akkori népek körében. Végül megtalálták az ókori görög matematikusok munkáit, amelyek az ie 4. századból származnak. Leírtak egy módszert, ahol határozatlan integrált használtak, aminek a lényege egy görbe alak (háromdimenziós) térfogatának vagy területének megtalálása volt.illetve kétdimenziós síkok). A számítási elv azon alapult, hogy az eredeti ábrát végtelenül kicsi komponensekre osztottuk, feltéve, hogy ezek térfogata (területe) már ismert. Az idő múlásával a módszer nőtt, Arkhimédész arra használta, hogy megtalálja a parabola területét. Hasonló számításokat végeztek ugyanabban az időben az ókori Kína tudósai, és ezek teljesen függetlenek voltak a tudomány görög társaitól.
Fejlesztés
A következő áttörést a Kr.u. 11. században az arab tudós-"univerzális" Abu Ali al-Basri munkája jelentette, aki kitágította a már ismert határait, és az összegek kiszámításához az integrál alapján képleteket vezetett le. sorok és a hatványok összegei az elsőtől a negyedikig, ehhez alkalmazva az általunk ismert matematikai indukciós módszert.
A modern idők elméje csodálja, hogy az ókori egyiptomiak miként hoztak létre csodálatos építészeti emlékeket minden különleges eszköz nélkül, kivéve talán a kezüket, de vajon nem kisebb csoda-e az akkori tudósok elméjének ereje? A maihoz képest szinte primitívnek tűnik az életük, de a határozatlan integrálok megoldását mindenhol levezették és a gyakorlatban is alkalmazták a továbbfejlesztéshez.
A következő lépésre a 16. században került sor, amikor Cavalieri olasz matematikus kidolgozta az oszthatatlanok módszerét, amelyet Pierre Fermat is átvett. Ez a két személyiség alapozta meg a jelenleg ismert modern integrálszámítást. Összekötötték a differenciálás és az integráció fogalmait, amelyek korábban is voltakautonóm egységként kezelik. Nagyjából az akkori matematika töredezett volt, a következtetések részecskéi önmagukban léteztek, korlátozott hatókörrel. Az egyesülés és a közös pontkeresés útja volt akkoriban az egyetlen igaz, aminek köszönhetően a modern matematikai elemzés lehetőséget kapott a növekedésre és a fejlődésre.
Az idők során minden megváltozott, beleértve az integrál jelölését is. A tudósok nagyjából minden eszközzel jelölték, például Newton egy négyzet alakú ikont használt, amelyben egy integrálható függvényt helyezett el, vagy egyszerűen mellé tette.
Ez a következetlenség egészen a 17. századig tartott, amikor is Gottfried Leibniz tudós, a matematikai elemzés egész elméletének mérföldköve, bevezette a számunkra oly ismerős szimbólumot. A hosszúkás "S" valóban a latin ábécé ezen betűjén alapul, mivel az antiderivatívek összegét jelöli. Az integrál nevét Jacob Bernoullinak köszönheti 15 évvel később.
Formális meghatározás
A határozatlan integrál közvetlenül függ az antiderivált definíciójától, ezért először nézzük meg.
Az antiderivált egy függvény, amely a derivált inverze, a gyakorlatban primitívnek is nevezik. Ellenkező esetben: egy d függvény antideriváltja egy olyan D függvény, amelynek deriváltja v V'=v. Az antiderivált keresése a határozatlan integrál számítása, és ezt a folyamatot magát integrációnak nevezik.
Példa:
Az s(y) függvény=y3, és az antideriváltja S(y)=(y4/4).
A vizsgált függvény összes antideriváltjának halmaza a határozatlan integrál, amelyet a következőképpen jelölünk: ∫v(x)dx.
Tekintettel arra, hogy V(x) csak egy antideriváltja az eredeti függvénynek, a kifejezés így történik: ∫v(x)dx=V(x) + C, ahol C egy állandó. Tetszőleges állandó bármely állandó, mivel deriváltja nulla.
Tulajdonságok
A határozatlan integrál tulajdonságai a fő definíción és a deriváltak tulajdonságain alapulnak.
Lássuk a legfontosabb pontokat:
- az antiderivált származékából származó integrál maga az antiderivált, plusz egy tetszőleges állandó С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- a függvényintegrál deriváltja az eredeti függvény (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstans kikerült a ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx integráljel alól, ahol k tetszőleges;
- az összegből vett integrál azonos a ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy integrálok összegével.
Az utolsó két tulajdonságból arra következtethetünk, hogy a határozatlan integrál lineáris. Ennek köszönhetően a következőket kapjuk: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
A konszolidációhoz vegyünk példákat határozatlan integrálok megoldására.
Meg kell találni a ∫(3sinx + 4cosx)dx integrált:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3 (-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx ++ C
A példából arra következtethetünk:nem tudja, hogyan kell megoldani a határozatlan integrálokat? Csak találd meg az összes primitívet! De a keresés alapelveit az alábbiakban tárgyaljuk.
Módszerek és példák
Az integrál megoldásához a következő módszereket használhatja:
- használja az elkészített táblázatot;
- részenként integrál;
- integrálás a változó megváltoztatásával;
- különbözeti jel alá hozzuk.
Táblázatok
A legegyszerűbb és legélvezetesebb módja. Jelenleg a matematikai elemzés meglehetősen kiterjedt táblázatokkal büszkélkedhet, amelyekbe a határozatlan integrálok alapképleteit írják. Más szóval, vannak olyan sablonok, amelyeket Ön előtt fejlesztettek ki, és az Ön számára, csak használni kell őket. Itt van egy lista a fő táblapozíciókról, amelyekre szinte minden olyan példát levezethet, amelyiknek van megoldása:
- ∫0dy=C, ahol C egy állandó;
- ∫dy=y + C, ahol C egy állandó;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, ahol C egy állandó és n – nem egy szám;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, ahol C egy állandó;
- ∫eydy=ey + C, ahol C egy állandó;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, ahol C konstans;
- ∫cosydy=siny + C, ahol C egy állandó;
- ∫sinydy=-cosy + C, ahol C egy állandó;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, ahol C egy állandó;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, ahol C egy állandó;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, ahol C egy állandó;
- ∫chydy=félénk + C, ahol C -állandó;
- ∫shydy=chy + C, ahol C egy állandó.
Ha szükséges, tegyen néhány lépést, hozza az integrandust táblázatos formába, és élvezze a győzelmet. Példa: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
A megoldás szerint jól látható, hogy a táblázatos példánál az integrandusból hiányzik az 5-ös tényező. Ezt úgy adjuk hozzá, hogy párhuzamosan megszorozzuk 1/5-tel, hogy az általános kifejezés ne változzon.
Integráció részenként
Tekintsünk két függvényt - z(y) és x(y). Folyamatosan differenciálhatónak kell lenniük a teljes definíciós tartományban. Az egyik differenciálási tulajdonság szerint a következőket kapjuk: d(xz)=xdz + zdx. Az egyenlet mindkét részét integrálva a következőt kapjuk: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Az eredményül kapott egyenlőséget átírva egy képletet kapunk, amely leírja a részenkénti integrálás módját: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Miért van rá szükség? A lényeg az, hogy néhány példa leegyszerűsíthető, feltételesen lecsökkentve ∫zdx-et ∫xdz-re, ha az utóbbi közel áll a táblázatos alakhoz. Ezenkívül ez a képlet többször is alkalmazható az optimális eredmény elérése érdekében.
Hogyan lehet így megoldani a határozatlan integrálokat:
ki kell számolni ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
ki kell számolni ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Változó helyettesítése
A határozatlan integrálok megoldásának ez az elve nem kevésbé igényes, mint az előző két, bár bonyolultabb. A módszer a következő: legyen V(x) valamilyen v(x) függvény integrálja. Abban az esetben, ha a példában maga az integrál összetettnek tűnik, nagy a valószínűsége annak, hogy összezavarodunk, és rossz megoldási utat választunk. Ennek elkerülése érdekében az x változóról a z-re való átmenetet gyakorolják, amelyben az általános kifejezés vizuálisan leegyszerűsödik, miközben megtartja z x-től való függését.
Matematikailag így néz ki: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), ahol x=y(z) helyettesítés. És természetesen a z=y-1(x) inverz függvény teljes mértékben leírja a változók függőségét és kapcsolatát. Fontos megjegyzés: a dx differenciált szükségszerűen egy új dz differenciál váltja fel, mivel a határozatlan integrálban lévő változó cseréje azt jelenti, hogy mindenhol le kell cserélni, nem csak az integrandusban.
Példa:
meg kell találni ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Alkalmazza a z=(s+1)/(s2+2s-5) helyettesítést. Ekkor dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Ennek eredményeként a következő kifejezést kapjuk, amelyet nagyon könnyű kiszámítani:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
meg kell találni az integrált∫2sesdx
A megoldáshoz átírjuk a kifejezést a következő formában:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Jelölje a=2e-vel (ez a lépés nem helyettesíti az argumentumot, mégis s), a látszólag összetett integrálunkat egy elemi táblázatos alakba hozzuk:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Különböző jel alá hozni
A határozatlan integráloknak ez a módszere nagyjából a változóváltás elvének ikertestvére, de vannak eltérések a tervezési folyamatban. Nézzük meg közelebbről.
Ha ∫v(x)dx=V(x) + C és y=z(x), akkor ∫v(y)dy=V(y) + C.
Ebben az esetben nem szabad megfeledkezni a triviális integráltranszformációkról, amelyek között:
- dx=d(x + a), ahol a bármely állandó;
- dx=(1 / a)d(ax + b), ahol a ismét egy állandó, de nem egyenlő nullával;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ha figyelembe vesszük az általános esetet a határozatlan integrál kiszámításakor, a példákat a w'(x)dx=dw(x) általános képletben összegezhetjük.
Példák:
meg kell találni ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online súgó
Bizonyos esetekben, aminek a hibája lehet lustaság vagy sürgős szükség, használhat online tippeket, vagy inkább a határozatlan integrálszámítógépet. Az integrálok látszólagos bonyolultsága és vitathatósága ellenére megoldásukra egy bizonyos algoritmus vonatkozik, amely a "ha nem …, akkor …" elven alapul.
Természetesen egy ilyen számológép nem tud különösebben bonyolult példákat elsajátítani, hiszen vannak esetek, amikor a megoldást mesterségesen, bizonyos elemeket "erőszakkal" kell bevezetni a folyamatba, mert nyilvánvalóan nem érhető el az eredmény. módokon. Ez az állítás minden ellentmondása ellenére igaz, hiszen a matematika elvileg elvont tudomány, és a lehetőségek határainak kitágításának szükségességét tekinti elsődleges feladatának. Valójában rendkívül nehéz feljebb lépni és fejlődni a sima, bejáratott elméletek szerint, ezért nem szabad azt feltételezni, hogy a határozatlan integrálok megoldásának általunk megadott példái a lehetőségek magaslatát jelentik. De térjünk vissza a dolgok technikai oldalához. Legalább a számítások ellenőrzéséhez használhatja azokat a szolgáltatásokat, amelyekben mindent megírtak előttünk. Ha egy összetett kifejezés automatikus kiszámítására van szükség, akkor ezektől nem lehet eltekinteni, komolyabb szoftverhez kell folyamodnia. Érdemes elsősorban a MatLab környezetre figyelni.
Alkalmazás
A határozatlan integrálok megoldása első pillantásra teljesen elszakadt a valóságtól, mivel nehéz átlátni a nyilvánvaló alkalmazási területeket. Valójában közvetlenül nem használhatók sehol, de a gyakorlatban használt megoldások levezetésének folyamatában szükséges köztes elemnek tekintik. Tehát az integráció fordítottja a differenciálásnak, aminek köszönhetően aktívan részt vesz az egyenletek megoldási folyamatában.
Ezek az egyenletek viszont közvetlen hatással vannak a mechanikai problémák megoldására, a pályák és a hővezetőképesség kiszámítására – egyszóval mindenre, ami a jelent alkotja és a jövőt alakítja. A határozatlan integrál, amelynek példáit fentebb megvizsgáltuk, csak első pillantásra triviális, hiszen ez az alapja az újabb és újabb felfedezéseknek.
