A poliéderek nemcsak a geometriában foglalnak el kiemelkedő helyet, hanem minden ember mindennapi életében is előfordulnak. Nem is beszélve a mesterségesen létrehozott háztartási cikkekről különböző sokszögek formájában, kezdve a gyufásdobozsal és az építészeti elemekkel, a kocka formájú kristályokkal (só), prizmával (kristály), piramissal (scheelit), oktaéderrel (gyémánt), stb. e.
A poliéder fogalma, a poliéderek típusai a geometriában
A geometria mint tudomány a sztereometria egy részét tartalmazza, amely a háromdimenziós alakzatok jellemzőit és tulajdonságait vizsgálja. Azokat a geometriai testeket, amelyek oldalait a háromdimenziós térben korlátozott síkok (lapok) alkotják, "poliédereknek" nevezik. A poliédertípusok több mint egy tucat képviselőt tartalmaznak, amelyek az arcok számában és alakjában különböznek egymástól.
Azonban minden poliédernek vannak közös tulajdonságai:
- Mindegyiknek 3 alapvető összetevője van: az arc(sokszög felülete), csúcs (lapok találkozásánál kialakított sarkok), él (egy alak vagy egy szegmens oldala két lap találkozásánál).
- Minden sokszög él két, és csak két, egymással szomszédos felületet köt össze.
- A domborúság azt jelenti, hogy a test teljes egészében annak a síknak az egyik oldalán helyezkedik el, amelyen az egyik lap található. A szabály a poliéder minden lapjára vonatkozik. Az ilyen geometriai alakzatokat a sztereometriában konvex poliédereknek nevezzük. Ez alól kivételt képeznek a csillag alakú poliéderek, amelyek szabályos poliéder geometriai testek származékai.
A poliéderek feltételesen feloszthatók:
- A konvex poliéderek típusai, amelyek a következő osztályokból állnak: közönséges vagy klasszikus (prizma, gúla, paralelepipedon), szabályos (más néven platóni testek), félszabályos (második név - arkhimédeszi testek).
- Nem domború poliéder (csillag alakú).
Prizma és tulajdonságai
A sztereometria, mint a geometria ága, a háromdimenziós alakzatok tulajdonságait, a poliédertípusokat vizsgálja (az egyik a prizma). A prizma olyan geometriai test, amelynek szükségszerűen két teljesen azonos lapja (ezeket alapoknak is nevezik), amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, és az oldallapok n-edik száma paralelogramma formájában. A prizmának viszont több fajtája is van, beleértve az alábbi típusú poliédereket:
- Párhuzamos csövek - akkor jön létre, ha az alap paralelogramma -sokszög 2 pár egyenlő ellentétes szöggel és 2 pár egybevágó szemközti oldallal.
- Egy egyenes prizma élei merőlegesek az alapra.
- A döntött prizmára jellemző, hogy a lapok és az alap között nem derékszögek vannak (90-tól eltérő).
- A szabályos prizmát egy szabályos sokszög formájú, egyenlő oldallapokkal rendelkező alapok jellemzik.
A prizma alapvető tulajdonságai:
- Egybevágó alapok.
- A prizma minden éle egyenlő és párhuzamos egymással.
- Minden oldallap paralelogramma alakú.
Piramis
A piramis egy geometriai test, amely egy alapból és n-edik számú háromszöglapból áll, amelyek egy pontban – a tetején – kapcsolódnak össze. Meg kell jegyezni, hogy ha a piramis oldallapjait szükségszerűen háromszögek ábrázolják, akkor az alap lehet háromszög alakú sokszög, négyszög vagy ötszög, és így tovább a végtelenségig. Ebben az esetben a piramis neve az alján lévő sokszögnek felel meg. Például, ha egy háromszög egy piramis alján fekszik, akkor az háromszög alakú, a négyszög négyszög alakú stb.
A piramisok kúpszerű poliéderek. E csoport poliédertípusai a fent felsoroltakon kívül a következő képviselőket is tartalmazzák:
- Egy szabályos piramis alapjában szabályos sokszög van, és a magassága a középpontba van vetítveaz alapba írt vagy körülírt kör.
- Téglalap alakú gúla jön létre, amikor az egyik oldalél derékszögben metszi az alaplapot. Ebben az esetben is helyes ezt az élt a piramis magasságának nevezni.
Piramis tulajdonságai:
- Ha a piramis minden oldaléle egybevágó (azonos magasságú), akkor mindegyik azonos szögben metszi az alaplapot, és az alap köré egy kört rajzolhat, amelynek középpontja egybeesik a a piramis teteje.
- Ha a piramis alapja szabályos sokszög, akkor minden oldalél egybevágó, a lapok pedig egyenlő szárú háromszögek.
Szabályos poliéder: a poliéderek típusai és tulajdonságai
A sztereometriában különleges helyet foglalnak el az abszolút egyenlő lappal rendelkező geometriai testek, amelyek csúcsaiban ugyanannyi él kapcsolódik. Ezeket a testeket platóni szilárdtesteknek vagy szabályos poliédereknek nevezzük. Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező poliédertípusoknak csak öt alakja van:
- Tetraéder.
- Hexaéder.
- Oktaéder.
- Dodekaéder.
- Icosahedron.
A szabályos poliéderek az ókori görög filozófusnak, Platónnak köszönhetik nevüket, aki ezeket a geometriai testeket leírta írásaiban, és összekapcsolta őket a természeti elemekkel: földdel, vízzel, tűzzel, levegővel. Az ötödik figura az univerzum szerkezetével való hasonlóságot kapta. Véleménye szerint a természetes elemek atomjai alakjukban a szabályos poliéderek típusaihoz hasonlítanak. Legizgalmasabb tulajdonsága miatt -A szimmetria miatt ezek a geometriai testek nemcsak az ókori matematikusok és filozófusok, hanem mindenkori építészek, művészek és szobrászok számára is nagy érdeklődést mutattak. Mindössze 5 fajta abszolút szimmetriájú poliéder jelenléte alapvető felfedezésnek számított, sőt az isteni princípiumhoz való kapcsolódást is elismerték.
Hexaéder és tulajdonságai
A hatszög alakjában Platón utódai hasonlóságot feltételeztek a Föld atomjainak szerkezetével. Természetesen jelenleg ez a hipotézis teljesen megcáfolt, ami azonban nem akadályozza meg, hogy a figurák a modern időkben esztétikájukkal vonzzák a híres alakok figyelmét.
A geometriában a hexaéder, más néven kocka a paralelepipedon speciális esetének tekinthető, amely viszont egyfajta prizma. Ennek megfelelően a kocka tulajdonságai összefüggenek a prizma tulajdonságaival, azzal a különbséggel, hogy a kocka minden lapja és sarka egyenlő egymással. Ebből a következő tulajdonságok következnek:
- A kocka minden éle egybevágó, és egymással párhuzamos síkban fekszik.
- Minden lap egybevágó négyzet (egy kockában összesen 6 van), amelyek bármelyike alapnak tekinthető.
- Minden interfész szöge 90.
- Minden csúcsból egyenlő számú él származik, nevezetesen 3.
- A kockának 9 szimmetriatengelye van, amelyek mindegyike a hexaéder átlóinak metszéspontjában metszi egymást, amit szimmetriaközéppontnak neveznek.
Tetraéder
A tetraéder egy tetraéder, amelynek egyenlő lapjai háromszögek formájában vannak, amelyek mindegyik csúcsahárom lap találkozási pontja.
Szabályos tetraéder tulajdonságai:
- A tetraéder minden lapja egyenlő oldalú háromszög, ami azt jelenti, hogy a tetraéder minden lapja egybevágó.
- Mivel az alapot szabályos geometriai alakzat ábrázolja, vagyis egyenlő oldalai vannak, ezért a tetraéder lapjai ugyanabban a szögben konvergálnak, vagyis minden szög egyenlő.
- A lapos szögek összege mindegyik csúcsnál 180, mivel minden szög egyenlő, akkor egy szabályos tetraéder bármely szöge 60.
- Mindegyik csúcsot a szemközti (ortocentrum) lap magasságainak metszéspontjába vetítjük.
Az oktaéder és tulajdonságai
A szabályos poliéderek típusait leírva nem szabad figyelmen kívül hagyni egy olyan objektumot, mint egy oktaéder, amely vizuálisan ábrázolható két, alapokkal összeragasztott négyszögletű szabályos piramisként.
Az oktaéder tulajdonságai:
- A geometriai testnek már a neve is utal a lapjainak számára. Az oktaéder 8 egybevágó egyenlő oldalú háromszögből áll, amelyek mindegyik csúcsában azonos számú lap fut össze, nevezetesen 4.
- Mivel egy oktaéder minden lapja egyenlő, a határfelületi szögei is egyenlőek, amelyek mindegyike egyenlő 60-nal, és így bármelyik csúcs síkszögeinek összege 240.
Dodekaéder
Ha azt képzeljük, hogy egy geometriai test minden lapja szabályos ötszög, akkor kapunk egy dodekaédert -12 sokszögből álló alakzat.
A dodekaéder tulajdonságai:
- Három lap metszi egymást minden csúcsban.
- Minden lap egyenlő, élük hossza és területe azonos.
- A dodekaédernek 15 tengelye és szimmetriasíkja van, és ezek bármelyike átmegy a lap csúcsán és a szemközti él közepén.
Icosahedron
Nem kevésbé érdekes, mint a dodekaéder, az ikozaéder alakja egy háromdimenziós geometriai test, 20 egyenlő lappal. A szabályos húszéder tulajdonságai közül a következőket jegyezhetjük meg:
- Az ikozaéder minden lapja egyenlő szárú háromszög.
- Öt lap konvergál a poliéder minden csúcsánál, és a csúcs szomszédos szögeinek összege 300.
- Az ikozaédernek, akárcsak a dodekaédernek, 15 tengelye és szimmetriasíkja van, amelyek átmennek a szemközti lapok felezőpontjain.
Félszabályos sokszögek
A platóni testek mellett a konvex poliéderek csoportjába tartoznak az arkhimédeszi testek is, amelyek csonka szabályos poliéderek. Az ebbe a csoportba tartozó poliéderek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
- A geometriai testeknek több típusa páronként egyenlő lapja van, például egy csonka tetraédernek 8 lapja van, mint egy szabályos tetraédernek, de egy arkhimédeszi test esetében 4 lap háromszög, 4 pedig hatszögletű lesz.
- Egy csúcs minden szöge egybevágó.
Csillag poliéder
A geometriai testek nem térfogati típusainak képviselői a stell alt poliéderek, amelyek lapjai metszik egymást. Két szabályos 3D-s szilárdtest összevonásával vagy lapjuk meghosszabbításával alakíthatók ki.
Így az ilyen csillag alakú poliéderek a következők: az oktaéder, dodekaéder, ikozaéder, kuboktaéder, ikozododekaéder csillagozott formái.
