Az egyik legfontosabb tudomány, amelynek alkalmazása olyan tudományágakban is megfigyelhető, mint a kémia, a fizika, sőt a biológia is, a matematika. Ennek a tudománynak a tanulmányozása lehetővé teszi bizonyos mentális tulajdonságok fejlesztését, az absztrakt gondolkodás és a koncentrálóképesség javítását. A „Matematika” kurzus egyik témaköre, amely különös figyelmet érdemel, a törtek összeadása és kivonása. Sok diáknak nehézséget okoz a tanulás. Talán cikkünk segít a téma jobb megértésében.
Hogyan lehet kivonni az azonos nevezőjű törteket
A törtek ugyanazok a számok, amelyekkel különféle műveleteket hajthat végre. Az egész számoktól való eltérésük a nevező jelenlétében rejlik. Éppen ezért a törtekkel végzett műveletek során tanulmányoznia kell egyes jellemzőit és szabályait. A legegyszerűbb eset a közönséges törtek kivonása, amelyek nevezőit azonos számként ábrázoljuk. Nem lesz nehéz végrehajtani ezt a műveletet, ha ismer egy egyszerű szabályt:
Ahhoz, hogy egy törtből kivonjuk a másodikat, ki kell vonni a kivont tört számlálóját a csökkentett tört számlálójából. Ezbeírjuk a számot a különbség számlálójába, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: k/m – b/m=(k-b)/m
Példák az azonos nevezőkkel rendelkező törtek kivonására
Nézzük meg, hogyan néz ki egy példán:
7/19 - 3/19=(7-3)/19=4/19.
A csökkentett tört "7" számlálójából kivonjuk a kivont tört "3" számlálóját, így "4"-et kapunk. Ezt a számot a válasz számlálójába írjuk, a nevezőbe pedig ugyanazt a számot adjuk, mint ami az első és a második tört nevezőjében volt - „19”.
Az alábbi képen még néhány hasonló példa látható.
Vegyünk egy bonyolultabb példát, ahol az azonos nevezőjű törteket kivonjuk:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
A "29" csökkentett tört számlálójából úgy, hogy sorra kivonjuk az összes következő tört számlálóit - "3", "8", "2", "7". Ennek eredményeként a „9” eredményt kapjuk, amelyet a válasz számlálójába írunk, a nevezőbe pedig azt a számot, amely ezen törtek nevezőiben szerepel - „47”.
Azonos nevezővel rendelkező törtek hozzáadása
A közönséges törtek összeadása és kivonása ugyanazon elv szerint történik.
Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálókat. A kapott szám az összeg számlálója, a nevező pedig változatlan marad: k/m + b/m=(k + b)/m
Nézzük meg, hogyan néz ki egy példán:
1/4 + 2/4=3/4.
Ka tört első tagjának számlálója - "1" - adja hozzá a tört második tagjának számlálóját - "2". Az eredmény - "3" - az összeg számlálójába kerül, a nevező pedig megegyezik a törtekben szereplővel - "4".
Különböző nevezőjű törtek és kivonásuk
Az azonos nevezővel rendelkező törtekkel végzett műveletet már megvizsgáltuk. Mint látható, az egyszerű szabályok ismeretében az ilyen példák megoldása meglehetősen egyszerű. De mi van akkor, ha különböző nevezőkkel rendelkező törtekkel kell végrehajtania egy műveletet? Sok középiskolást megzavarnak az ilyen példák. De még itt is, ha ismeri a megoldás elvét, a példák már nem lesznek nehézek számodra. Itt is van egy szabály, amely nélkül az ilyen törtek megoldása egyszerűen lehetetlen.
-
A különböző nevezőjű törtek kivonásához ugyanarra a legkisebb nevezőre kell hozni őket.
különböző nevezőjű törtek kivonása
Bővebben beszélünk arról, hogyan kell ezt megtenni.
Tört tulajdona
Ahhoz, hogy több törtet ugyanarra a nevezőre redukáljon, a megoldásban a tört fő tulajdonságát kell használni: miután a számlálót és a nevezőt elosztjuk vagy megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor egy törtet kapunk, amely egyenlő adott egy.
Így például a 2/3 törtnek olyan nevezői lehetnek, mint "6", "9", "12" stb., azaz bármilyen számnak tűnhet, amely a " többszöröse" 3". Miután a számlálót és a nevezőt megszorozzuk"2", akkor a 4/6 törtet kapja. Miután az eredeti tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk "3-mal", 6/9-et kapunk, ha pedig hasonló műveletet hajtunk végre a "4" számmal, akkor 8/12-t kapunk. Az egyik egyenletben ez a következőképpen írható fel:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Hogyan hozhatunk több törtet ugyanarra a nevezőre
Nézzük meg, hogyan redukálhatunk több törtet ugyanarra a nevezőre. Vegyük például az alábbi képen látható törteket. Először meg kell határoznia, hogy melyik szám válhat mindegyik nevezőjévé. Az egyszerűség kedvéért tizedeljük a rendelkezésre álló nevezőket.
Az 1/2 tört és a 2/3 tört nevezője nem faktorálható. A 7/9 nevezőjének két tényezője van: 7/9=7/(3 x 3), a tört nevezője 5/6=5/(2 x 3). Most meg kell határoznia, hogy mely tényezők lesznek a legkisebbek mind a négy tört esetében. Mivel az első tört nevezőjében a „2” szám szerepel, ez azt jelenti, hogy minden nevezőben jelen kell lennie, a 7/9-es törtben két hármas van, ami azt jelenti, hogy a nevezőben is jelen kell lenniük. A fentiek alapján megállapítjuk, hogy a nevező három tényezőből áll: 3, 2, 3, és egyenlő: 3 x 2 x 3=18.
Tekintsük az első törtet - 1/2. A nevezője „2”-t tartalmaz, de nincs egyetlen „3”, hanem kettőnek kell lennie. Ehhez megszorozzuk a nevezőt két hármasával, de a tört tulajdonságának megfelelően a számlálót meg kell szorozni két hármasával:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
Hasonlóan a maradékkal is végrehajtunk műveletekettörtek.
-
2/3 – a nevezőből hiányzik egy három és egy kettő:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 vagy 7/(3 x 3) – a nevezőből hiányzik egy nevező:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 vagy 5/(2 x 3) – a nevezőből hiányzik egy hármas:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Egyébként így néz ki:
Hogyan lehet kivonni és összeadni különböző nevezőjű törteket
Amint fentebb említettük, a különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához azokat ugyanarra a nevezőre kell hozni, majd alkalmazni kell az azonos nevezőjű törtek kivonására vonatkozó, már leírt szabályokat.
Vegyük ezt példának: 4/18 – 3/15.
Keresse meg a 18 és 15 többszörösét:
- A 18-as szám 3 x 2 x 3.
- A 15-ös szám 5 x 3-ból áll.
- A közös többszörös a következő tényezőkből áll: 5 x 3 x 3 x 2=90.
A nevező megtalálása után ki kell számítani azt a szorzót, amely törtenként eltérő lesz, vagyis azt a számot, amellyel nem csak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni. Ehhez elosztjuk a talált számot (közös többszöröst) annak a törtnek a nevezőjével, amelyhez további tényezőket kell meghatározni.
- 90 osztva 15-tel. A kapott „6” szám a 3/15 szorzója.
- 90 osztva 18-cal. A kapott „5” szám a 4/18 szorzója.
Döntésünk következő lépéseminden tört "90" nevezőre hozása.
Hogyan készült, azt már elmondtuk. Fontolja meg, hogyan van ez megírva a példában:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Ha kis számokat tartalmazó törtek, akkor meghatározhatja a közös nevezőt az alábbi képen látható példa szerint.
Hasonlóan történik a különböző nevezőjű törtek összeadása.
Egész részeket tartalmazó törtek kivonása és összeadása
A törtek kivonása és összeadása, már részletesen elemeztük. De hogyan kell kivonni, ha a törtnek egész része van? Ismét használjunk néhány szabályt:
- Fordítsa le az összes egész részt tartalmazó törtet helytelenre. Egyszerű szavakkal, távolítsa el az egész részt. Ehhez az egész rész számát megszorozzuk a tört nevezőjével, a kapott szorzatot hozzáadjuk a számlálóhoz. Az ezen műveletek után kapott szám egy helytelen tört számlálója. A nevező változatlan marad.
- Ha a törteknek különböző nevezői vannak, akkor azokat ugyanarra kell csökkenteni.
- Hozzáadás vagy kivonás ugyanazokkal a nevezőkkel.
- Nem megfelelő tört fogadásakor válassza ki az egész részt.
Van egy másik módszer is, amellyel egész részeket tartalmazó törteket adhat hozzá és vonhat ki. Ehhez a műveleteket külön-külön egész részekkel, külön törtekkel hajtják végre, és az eredményeket együtt rögzítik.
A fenti példa azonos nevezővel rendelkező törtekből áll. Abban az esetben, ha a nevezők különböznek, akkor azokat azonosra kell csökkenteni, majd a példában látható lépéseket kell követni.
Törtek kivonása egész számokból
A törtekkel végzett műveletek másik típusa az az eset, amikor egy törtet ki kell vonni egy természetes számból. Első pillantásra egy ilyen példa nehezen megoldhatónak tűnik. Itt azonban minden nagyon egyszerű. Megoldásához egy egész számot törtté kell alakítani, és olyan nevezővel, ami a kivonandó törtben van. Ezután a kivonáshoz hasonló kivonást hajtunk végre ugyanazokkal a nevezőkkel. Egy példában ez így néz ki:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
A jelen cikkben bemutatott törtek kivonása (6. osztály) az alapja a bonyolultabb példák megoldásának, amelyeket a következő osztályokban tárgyalunk. A témakör ismereteit a későbbiekben függvények, deriváltak stb. megoldására használjuk fel. Ezért nagyon fontos megérteni és megérteni a fent tárgy alt törtekkel végzett műveleteket.
