Már az általános iskolában a tanulók szembesülnek a törtekkel. Aztán minden témában megjelennek. Ezekkel a számokkal nem lehet elfelejteni a cselekvéseket. Ezért minden információt tudnia kell a közönséges és tizedes törtekről. Ezek a fogalmak egyszerűek, a lényeg, hogy mindent sorrendben értsünk.
Miért van szükségünk törtekre?
A körülöttünk lévő világ egész tárgyakból áll. Ezért nincs szükség részvényekre. A mindennapi élet azonban folyamatosan arra készteti az embereket, hogy tárgyak és dolgok részeivel dolgozzanak.
Például a csokoládé több szeletből áll. Tekintsük azt a helyzetet, amikor a lapkáját tizenkét téglalap alkotja. Ha kettéosztod, akkor 6 részt kapsz. Jól lesz három részre osztva. De ötnek nem adható egész számú csokoládé.
Egyébként ezek a szeletek már töredékek. És további felosztásuk összetettebb számokhoz vezet.
Mi az a "tört"?
Ez egy szám egy részből áll. Külsőleg két szám választja el egymástólvízszintes vagy perjel. Ezt a tulajdonságot törtnek nevezik. A felül (balra) írt számot számlálónak nevezzük. Az alábbi (jobb oldali) a nevező.
Valójában a törtsáv osztásjelnek bizonyul. Vagyis a számlálót osztaléknak, a nevezőt pedig osztónak nevezhetjük.
Milyen törtek léteznek?
A matematikában csak két típus létezik: közönséges és tizedes törtek. Az iskolások az elsősökkel az általános osztályban ismerkednek meg, egyszerűen „törteknek” nevezik őket. A második az 5. osztályban tanul. Ekkor jelennek meg ezek a nevek.
Közönséges törtek – mindazok, amelyek két, oszloppal elválasztott számként vannak felírva. Például 4/7. A tizedes olyan szám, amelyben a tört résznek helymegjelölése van, és vesszővel van elválasztva az egész számtól. Például 4, 7. A tanulóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy a két példa teljesen eltérő szám.
Minden egyszerű tört tizedesjegyként írható fel. Ez az állítás majdnem mindig igaz fordítva is. Vannak szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy egy tizedes törtet közönséges törtként írjon.
Melyik altípusai vannak az ilyen típusú törteknek?
Jobb, ha időrendi sorrendben kezdi a tanulmányozást. A közönséges törtek az elsők. Közülük 5 alfaj különböztethető meg.
- Helyes. A számlálója mindig kisebb, mint a nevező.
- Rossz. A számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.
- Csökkenthető/nem csökkenthető. Lehet, hogy olyanjó és rossz. Egy másik dolog fontos, hogy a számlálónak és a nevezőnek van-e közös tényezője. Ha vannak, akkor a tört mindkét részét el kell osztani, azaz csökkenteni kell.
- Vegyes. Egy egész szám hozzá van rendelve a szokásos helyes (helytelen) törtrészéhez. És mindig a bal oldalon áll.
- Kompozit. Két, egymásra osztott frakcióból áll. Vagyis három tört jellemzőt tartalmaz egyszerre.
A tizedes törteknek csak két altípusa van:
- végleges, azaz olyan, amelynek töredéke korlátozott (vége van);
- végtelen - olyan szám, amelynek a tizedesvessző utáni számjegyei nem érnek véget (végtelenségig írhatók).
Hogyan lehet tizedesjegyet köztörté alakítani?
Ha ez egy véges szám, akkor a szabályon alapuló asszociáció kerül alkalmazásra - ahogy hallom, így írom. Azaz helyesen kell elolvasni és le kell írni, de vessző nélkül, de törtsorral.
A szükséges nevezőre vonatkozó tippként ne feledje, hogy az mindig egy és néhány nulla. Ez utóbbit annyi számjegyet kell beírni, ahány szám a szóban forgó szám törtrészében található.
Hogyan alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekre, ha hiányzik a teljes részük, vagyis egyenlő nullával? Például 0,9 vagy 0,05 A megadott szabály alkalmazása után kiderül, hogy nulla egész számot kell írnia. De nincs feltüntetve. Csak a töredékes részeket kell leírni. Az első számnála nevező 10 lesz, a másodiké 100. Vagyis a jelzett példákban számok lesznek a válaszok: 9/10, 5/100. Sőt, az utóbbi 5-tel csökkenthető. Ezért a rá vonatkozó eredményt 1/20-nak kell írni.
Hogyan készítsünk tizedesből közönséges törtet, ha annak egész része eltér nullától? Például 5, 23 vagy 13, 00108. Mindkét példa beolvassa az egész részt, és kiírja annak értékét. Az első esetben ez 5, a másodikban - 13. Ezután tovább kell lépnie a tört részre. Velük ugyanazt a műveletet kell végrehajtani. Az első szám 23/100, a második 108/100000. A második értéket ismét csökkenteni kell. A válasz vegyes törtek: 5 23/100 és 13 27/25000.
Hogyan lehet a végtelen tizedesjegyet köztörtté konvertálni?
Ha nem időszakos, akkor ilyen művelet nem hajtható végre. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy minden tizedes tört mindig végleges vagy periodikus törtté alakul.
Az egyetlen dolog, amit ilyen törttel tehetsz, az az, hogy kerekíted. De akkor a tizedesjegy megközelítőleg egyenlő lesz ezzel a végtelennel. Már közönségessé is alakítható. De a fordított folyamat: decimálisra konvertálás - soha nem adja meg a kezdeti értéket. Vagyis a végtelen nem periódusos törteket nem alakítjuk át közönséges törtekké. Erre érdemes emlékezni.
Hogyan írhatunk fel egy végtelen periodikus törtet köztörtként?
Ezekben a számokban a tizedesvessző után mindig egy vagy több számjegy jelenik meg, amelyek ismétlődnek. Ezeket nevezik periódusoknak. Például 03. (3) bekezdése alapján. Itt "3" az időszakban. Racionálisnak minősülnek, mert közönséges törtekké alakíthatók.
Azok, akik találkoztak periodikus törtekkel, tudják, hogy lehetnek tiszták vagy vegyesek. Az első esetben a pont közvetlenül a vesszőtől kezdődik. A másodikban a tört rész tetszőleges számmal kezdődik, majd az ismétlés kezdődik.
A szabály, amely szerint végtelen tizedesjegyet kell közönséges törtként írni, eltérő lesz e két számtípus esetében. Nagyon könnyű a tiszta periodikus törteket közönséges törtként írni. A végsőekhez hasonlóan ezeket is át kell alakítani: írja be a pontot a számlálóba, és a 9-es szám lesz a nevező, annyiszor ismétlődik, ahány számjegy van a pontban.
Például 0, (5). A számnak nincs egész része, ezért azonnal tovább kell lépnie a tört részre. A számlálóba írjon 5-öt, a nevezőbe pedig 9-et, vagyis a válasz az 5/9 tört lesz.
Az a szabály, hogy hogyan kell felírni egy kevert tizedes tört.
- Számolja meg a tört számjegyeket a pontig. A nevezőben lévő nullák számát jelzik.
- Az időszak hosszának megtekintése. Annyira 9-nek lesz nevezője.
- Írja fel a nevezőt: először kilenc, majd nulla.
- A számláló meghatározásához fel kell írni két szám különbségét. A tizedesvessző utáni összes számjegy csökken, a ponttal együtt. Kivonható – pont nélkül.
Például 0, 5(8) - írja be a periodikus tizedes törtet közönséges törtként. A periódus előtti tört rész azegy számjegy. Tehát a nulla egy lesz. A periódusban is csak egy számjegy van - 8. Vagyis csak egy kilences van. Vagyis a nevezőbe 90-et kell írni.
Az 58-ból a számláló meghatározásához ki kell vonni 5-öt. Kiderül, hogy 53. Például a választ 53/90-et kell írni.
Hogyan konvertálja a közönséges törteket tizedesjegyekké?
A legegyszerűbb lehetőség egy olyan szám, amelynek nevezője a 10, 100 és így tovább. Ezután a nevezőt egyszerűen eldobjuk, és vesszőt teszünk a tört és az egész rész közé.
Vannak helyzetek, amikor a nevezőből könnyen 10, 100 stb. alakul át. Például az 5, 20, 25 számok. Elegendő őket 2-vel, 5-tel és 4-gyel megszorozni. Csak a szorzásra van szükség nemcsak a nevezőnél, hanem a számlálónál is ugyanazzal a számmal.
Minden más esetben egy egyszerű szabály hasznos: ossza el a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben két választ kaphat: egy végső vagy egy periodikus tizedes törtet.
Műveletek közönséges törtekkel
Összeadás és kivonás
A diákok előbb ismerik meg őket, mint mások. És eleinte a törteknek ugyanaz a nevezője, majd más. Az általános szabályok erre a tervre szűkíthetők.
- Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét.
- Rögzítsen további tényezőket az összes gyakori törthez.
- Szorozza meg a számlálókat és a nevezőket a nekik meghatározott tényezőkkel.
- Adja hozzá (vonja ki) a törtek számlálóit, és hagyja a közös nevezőt anélkülváltozások.
- Ha a minuend számlálója kisebb, mint a részrész, akkor meg kell találnia, hogy vegyes számunk van, vagy megfelelő tört.
- Az első esetben az egész résznek egyet kell foglalnia. Adjunk hozzá egy nevezőt a tört számlálójához. Ezután végezze el a kivonást.
- A másodikban - alkalmazni kell a kisebb számból a nagyobbra való kivonás szabályát. Ez azt jelenti, hogy vonja ki a minuend modulusát a részrész modulusából, és tegye válaszul a „-” jelet.
- Óvatosan nézze meg az összeadás (kivonás) eredményét. Ha nem megfelelő törtet kap, akkor a teljes részt ki kell jelölnie. Vagyis ossza el a számlálót a nevezővel.
Szorzás és osztás
Végrehajtásukhoz a törteket nem kell közös nevezőre redukálni. Ez megkönnyíti a cselekvést. De továbbra is be kell tartaniuk a szabályokat.
- A közönséges törtek szorzásakor figyelembe kell venni a számlálóban és a nevezőben szereplő számokat. Ha bármely számlálónak és nevezőnek van közös tényezője, akkor csökkenthető.
- Számlálók szorzása.
- Szorozza meg a nevezőket.
- Ha az eredmény egy csökkentett tört, akkor azt ismét egyszerűsíteni kell.
- Osztáskor először az osztást szorzással, az osztót (második tört) pedig reciprokkal kell helyettesíteni (cserélje fel a számlálót és a nevezőt).
- Ezután járjon el úgy, mint a szorzásnál (az 1. lépéstől kezdve).
- Azokban a feladatokban, ahol szorozni (osztani) kell egész számmal, az utolsóhelytelen törtként kell írni. Azaz 1-es nevezővel. Ezután járjon el a fent leírtak szerint.
Tizedes mûveletek
Összeadás és kivonás
Természetesen a tizedesből mindig köztörtté alakítható. És cselekedjen a már leírt terv szerint. De néha kényelmesebb e fordítás nélkül cselekedni. Ekkor az összeadás és a kivonás szabályai pontosan ugyanazok lesznek.
- Egyenlítse ki a számjegyek számát a szám tört részében, azaz a tizedesvessző után. Rendelje hozzá a hiányzó nullák számát.
- Írjon törteket úgy, hogy a vessző a vessző alatt legyen.
- Hozzáadás (kivonás) természetes számokhoz hasonlóan.
- Távolítsa el a vesszőt.
Szorzás és osztás
Fontos, hogy ne írjon ide nullákat. A törteket úgy kell hagyni, ahogyan a példában megadtuk. És akkor haladj a terv szerint.
- Szorzáshoz írja a törteket egymás alá, figyelmen kívül hagyva a vesszőket.
- Szorzás természetes számokhoz hasonlóan.
- Tegyen vesszőt a válaszba, és a válasz jobb végétől számoljon annyi számjegyet, amennyi mindkét tényező törtrészében van.
- Az osztáshoz először át kell alakítani az osztót: legyen belőle természetes szám. Vagyis szorozza meg 10-zel, 100-zal stb., attól függően, hogy hány számjegy van az osztó törtrészében.
- Szorozza meg az osztalékot ugyanazzal a számmal.
- Ossza el a tizedesjegyet természetes számmal.
- Tegyen vesszőt a válaszba abban a pillanatban, amikor az egész rész felosztása véget ért.
Mi van, ha egy példában mindkét fajta tört szerepel?
Igen, a matematikában gyakran vannak olyan példák, amelyekben közönséges és tizedes törtekkel kell műveleteket végrehajtani. Ezekre a problémákra két lehetséges megoldás kínálkozik. Objektíven kell mérlegelnie a számokat, és ki kell választania a legjobbat.
Első mód: hagyományos tizedesjegyek ábrázolása
Alkalmas, ha az osztás vagy az átalakítás véges törteket eredményez. Ha legalább egy szám periodikus részt ad, akkor ez a technika tilos. Ezért még ha nem is szeret közönséges törtekkel dolgozni, meg kell számolnia azokat.
Második módszer: írjon tizedes törteket közönséges törtként
Ez a technika akkor kényelmes, ha 1-2 számjegy van a tizedesvessző után. Ha több van belőlük, nagyon nagy közönséges tört fordulhat elő, és a tizedesjegyek segítségével gyorsabban és könnyebben kiszámíthatja a feladatot. Ezért mindig józanul kell értékelni a feladatot, és a legegyszerűbb megoldási módot választani.
