A matematika egyik legnehezebb része a mai napig a törtek. A törtek története több mint egy évezredre nyúlik vissza. Az ókori Egyiptom és Babilon területén felmerült az a képesség, hogy az egészet részekre osztják. Az évek során a törtekkel végzett műveletek bonyolultabbá váltak, felvételük formája megváltozott. Az ókori világ minden állapotának megvoltak a sajátosságai a matematika e részéhez fűződő „kapcsolatban”.
Mi az a tört?
Amikor szükségessé vált az egészet külön erőfeszítés nélkül részekre osztani, akkor megjelentek a törtek. A törtek története elválaszthatatlanul összefügg a haszonelvű problémák megoldásával. Maga a "töredék" kifejezés arab gyökerű, és egy olyan szóból származik, amely "törés, felosztás" jelentésű. Az ókor óta ebben az értelemben kevés változás történt. A modern definíció a következő: a tört egy egység része vagy részeinek összege. Ennek megfelelően a törteket tartalmazó példák a számok törteivel végzett matematikai műveletek szekvenciális végrehajtását jelentik.
Ma kettő vanrögzítésük módja. A közönséges és a tizedes törtek különböző időpontokban keletkeztek: az előbbiek ősibbek.
Emléktelen idők óta jöttél
Először Egyiptom és Babilon területén kezdtek el frakciókkal operálni. A két állam matematikusainak szemlélete jelentős eltéréseket mutatott. A kezdet azonban ott-ott ugyanaz volt. Az első töredék fele vagy 1/2 volt. Aztán jött egy negyed, egy harmadik és így tovább. A régészeti ásatások szerint a töredékek megjelenésének története körülbelül 5 ezer éves. Először találhatók egy szám töredékei az egyiptomi papiruszokban és babiloni agyagtáblákon.
Ókori Egyiptom
A közönséges törtek típusai közé tartoznak ma az úgynevezett egyiptomiak. Ezek több 1/n alakú tag összege. A számláló mindig egy, a nevező pedig egy természetes szám. Az ilyen törtek megjelentek, bármennyire is nehéz kitalálni, az ókori Egyiptomban. Az összes részesedés kiszámításakor igyekeztek ezeket ilyen összegek formájában leírni (például 1/2 + 1/4 + 1/8). Csak a 2/3 és a 3/4 törtnek volt külön megnevezése, a többit tagokra osztották. Voltak speciális táblázatok, amelyekben egy szám törtrészei összegként szerepeltek.
Az ilyen rendszerre vonatkozó legrégebbi ismert utalás a Rhindi matematikai papiruszban található, amely a Kr.e. második évezred elejére datálható. Tartalmaz egy táblázatot a törtekről és a matematikai feladatokról, a megoldásokkal és válaszokkal törtösszegként. Az egyiptomiak tudták, hogyan kell egy szám törtjeit összeadni, osztani és szorozni. Lövések a Nílus völgyébenhieroglifákkal írták.
A szám törtrészének az ókori Egyiptomra jellemző, 1/n alakú tagok összegeként való ábrázolását a matematikusok nem csak ebben az országban használták. A középkorig az egyiptomi frakciókat Görögországban és más államokban használták.
A matematika fejlődése Babilonban
A matematika másképp nézett ki a babiloni királyságban. A törtek megjelenésének története itt közvetlenül összefügg az ókori állam által elődjétől, a sumér-akkád civilizációtól örökölt számrendszer sajátosságaival. A számítástechnika Babilonban kényelmesebb és tökéletesebb volt, mint Egyiptomban. A matematika ebben az országban sokkal szélesebb körű problémákat oldott meg.
A babiloniak mai teljesítményét a fennmaradt, ékírással töltött agyagtáblák alapján ítélheti meg. Az anyag sajátosságaiból adódóan nagy számban érkeztek hozzánk. Egyes tudósok szerint a babiloni matematikusok Pitagorasz előtt fedeztek fel egy jól ismert tételt, amely kétségtelenül a tudomány fejlődését jelzi ebben az ősi államban.
Törtek: a törtek története Babilonban
Babilonban a számrendszer hatszázalékos volt. Minden új kategória 60-al különbözött az előzőtől. A modern világban megmaradt egy ilyen rendszer az idő és a szögek jelzésére. A töredékek szintén hatszázalékosak voltak. A felvételhez speciális ikonokat használtak. Egyiptomhoz hasonlóan a törtpéldák külön szimbólumokat tartalmaztak az 1/2, 1/3 és 2/3 számára.
babilonia rendszer nem tűnt el az állammal együtt. A 60. rendszerben írt törteket az ókori és arab csillagászok és matematikusok használták.
Ókori Görögország
A közönséges törtek története nem sokat gazdagodott az ókori Görögországban. Hellas lakói úgy gondolták, hogy a matematikának csak egész számokkal kell működnie. Ezért az ókori görög traktátusok oldalain a törteket tartalmazó kifejezések gyakorlatilag nem fordultak elő. A püthagoreusok azonban bizonyos mértékben hozzájárultak a matematikának ehhez az ágához. A törteket aránynak vagy aránynak értették, és az egységet is oszthatatlannak tartották. Pythagoras és tanítványai felépítették a törtek általános elméletét, megtanulták, hogyan kell mind a négy számtani műveletet végrehajtani, valamint hogyan lehet a törteket egy közös nevezőre redukálni.
Szent Római Birodalom
A római törtrendszert a "szamárnak" nevezett tömegmértékkel társították. 12 részvényre oszlott. 1/12 assa-t unciának hívták. 18 név volt a törteknek. Íme néhány közülük:
- félig - félsegg;
- sextante - az ac hatoda;
- féluncia – fél uncia vagy 1/24 ász.
Egy ilyen rendszer kellemetlensége az volt, hogy nem lehetett egy számot törtként ábrázolni 10-es vagy 100-as nevezővel. A római matematikusok a százalékok használatával oldották meg a nehézséget.
Közönséges törtek írása
Az ókorban a törteket már ismerős módon írták: egyik szám a másik fölé. Volt azonban egy lényeges különbség. A számlálót megtaláltáka nevező alatt. A törteket először az ókori Indiában kezdték ilyen módon írni. Az arabok a modern módot kezdték használni számunkra. De egyik nép sem használt vízszintes vonalat a számláló és a nevező elválasztására. Először Pisai Leonardo, ismertebb nevén Fibonacci írásaiban jelenik meg 1202-ben.
Kína
Ha a közönséges törtek története Egyiptomban kezdődött, akkor a tizedesjegyek először Kínában jelentek meg. Az Égi Birodalomban a Kr.e. 3. századtól kezdték használni. A tizedesjegyek története Liu Hui kínai matematikussal kezdődött, aki javasolta a tizedesjegyek használatát négyzetgyökök kinyerésére.
Az i.sz. III. században Kínában a tizedes törteket kezdték használni a tömeg és térfogat kiszámítására. Fokozatosan egyre mélyebbre kezdtek behatolni a matematikába. Európában azonban a tizedesjegyeket jóval később kezdték el használni.
Al-Kashi Szamarkandból
A kínai elődöktől függetlenül a tizedes törteket al-Kashi csillagász fedezte fel Szamarkand ősi városából. A XV. században élt és alkotott. A tudós elméletét az 1427-ben megjelent "A számtan kulcsa" című értekezésében vázolta fel. Al-Kashi új jelölési formát javasolt a törtekhez. Az egész és a tört részek most egy sorba kerültek. A szamarkandi csillagász nem használt vesszőt az elválasztásukra. Az egész számot és a tört részt különböző színekkel, fekete és piros tintával írta. Al-Kashi néha függőleges sávot is használt ezek elválasztására.
Tizedesjegyek Európában
A 13. századtól kezdődően újfajta törtek jelentek meg az európai matematikusok munkáiban. Meg kell jegyezni, hogy nem ismerték sem al-Kashi műveit, sem a kínaiak találmányát. A tizedes törtek Jordan Nemorarius írásaiban jelentek meg. Aztán már a 16. században használta Francois Viet. A francia tudós megírta a „matematikai kánont”, amely trigonometrikus táblázatokat tartalmazott. Ezekben Viet tizedes törteket használt. Az egész és a tört részek elkülönítésére a tudós függőleges vonalat, valamint eltérő betűméretet használt.
Ezek azonban csak speciális tudományos felhasználási esetek voltak. A mindennapi problémák megoldására a tizedestörteket Európában valamivel később kezdték használni. Ez Simon Stevin holland tudósnak köszönhető a 16. század végén. 1585-ben adta ki a Tizedik című matematikai munkát. Ebben a tudós felvázolta a tizedes törtek számtani és monetáris rendszerben való használatának elméletét, valamint a mértékek és súlyok meghatározását.
Pott, pont, vessző
Stevin sem használt vesszőt. A tört két részét karikázott nullával választotta el.
A vessző először csak 1592-ben választotta el a tizedes tört két részét. Angliában azonban helyette a pontot használták. Az Egyesült Államokban a tizedes törteket még mindig így írják.
John Napier skót matematikus volt az egyik kezdeményezője annak, hogy mindkét írásjelet az egész és a tört részek elkülönítésére használják. Javaslatát 1616-1617-ben tette meg. vesszőt használnakés Johannes Kepler német tudós.
Frakciók Oroszországban
Orosz földön Kirik novgorodi szerzetes volt az első matematikus, aki felvázolta az egész részekre osztását. 1136-ban írt egy munkát, amelyben felvázolta az "évszámítás" módszerét. Kirik a kronológia és a naptár kérdéseivel foglalkozott. Munkájában az óra részekre osztását is idézte: ötödik, huszonötödik stb.
Az egész részekre bontását a XV-XVII. századi adó összegének kiszámításakor használták. Összeadás, kivonás, osztás és szorzás törtrészekkel végzett műveleteket használtunk.
A „töredék” szó a VIII. században jelent meg Oroszországban. Az "összetörni, részekre osztani" igéből származik. Őseink speciális szavakat használtak a törtek elnevezésére. Például az 1/2 fél vagy fél, 1/4 - négy, 1/8 - fél óra, 1/16 - fél óra és így tovább.
A törtek teljes elméletét, amely nem sokban különbözik a moderntől, az első aritmetikai tankönyvben mutatták be, amelyet 1701-ben Leonty Filippovich Magnyitsky írt. Az „aritmetika” több részből állt. A szerző részletesen beszél a törtekről a „Szaggatott vonalak számáról vagy törtekkel” című részben. Magnyitszkij műveleteket ad meg "tört" számokkal, azok különböző jelöléseivel.
Ma a törtek még mindig a matematika legnehezebb részei közé tartoznak. A törtek története sem volt egyszerű. Különböző népek, hol egymástól függetlenül, hol elődeik tapasztalatait kölcsönözve, jutottak arra az igényre, hogy bemutassák, elsajátítsák és felhasználják a számtörteket. A törtek tana mindig is gyakorlati megfigyelésekből és a vitálisnak köszönhetően nőtt kiproblémákat. Kellett kenyeret osztani, egyenlő parcellákat kijelölni, adót számolni, időt mérni stb. A törtek használatának jellemzői és a velük végzett matematikai műveletek az állam számrendszerétől és a matematika általános fejlettségi szintjétől függtek. Így vagy úgy, több mint ezer évet leküzdve, kialakult, fejlődött az algebra számtörteknek szentelt szakasza, és ma már sikeresen alkalmazzák a legkülönfélébb gyakorlati és elméleti igényekre.
