A közönséges törtek egy rész és egy egész arányának jelzésére szolgálnak. Például egy tortát öt gyerek között osztottak meg, így mindegyiknek jutott a torta egyötöde (1/5).
A közönséges törtek a/b alakú jelölések, ahol a és b bármely természetes szám. A számláló az első vagy a felső szám, a nevező pedig a második vagy az alsó szám. A nevező a részek számát jelzi, amellyel az egészet felosztották, a számláló pedig a felvett részek számát.
A közönséges törtek története
A törteket először a 8. századi kéziratok említik, jóval később - a 17. században - "tört számoknak" nevezik őket. Ezek a számok az ókori Indiából kerültek hozzánk, majd az arabok használták őket, és a 12. századra már az európaiaknál is megjelentek.
A közönséges törtek kezdetben a következő formájúak voltak: 1/2, 1/3, 1/4 stb. Azokat a törteket, amelyeknek a számlálóban egy egység volt, és amelyek egy egész törtjeit jelölték, alaptörteknek nevezték. Sok évszázaddal későbba görögök és utánuk az indiánok más törteket kezdtek használni, amelyek részei bármilyen természetes számból állhattak.
A közönséges törtek osztályozása
Vannak helyes és helytelen törtek. A helyesek azok, amelyekben a nevező nagyobb, mint a számláló, a rosszak pedig fordítva.
Minden tört hányados eredménye, így a törtvonal nyugodtan helyettesíthető osztásjellel. Az ilyen típusú rögzítést akkor használják, ha az osztás nem hajtható végre teljesen. A cikk elején található példára hivatkozva mondjuk azt, hogy a gyerek a torta egy részét kapja, nem az egész csemegét.
Ha egy számnak olyan összetett jelölése van, mint 2 3/5 (két egész szám és három ötöd), akkor vegyes, mivel a természetes számnak is van tört része. Minden helytelen tört szabadon átváltható vegyes számmá, ha a számlálót teljesen elosztjuk a nevezővel (így a teljes részt lefoglaljuk), a maradékot a számláló helyére írjuk feltételes nevezővel. Példaként vegyük a 77/15 törtet. A 77-et elosztva 15-tel, megkapjuk az 5-ös egész részt, a maradék 2-t. Így az 5 2/15 vegyes számot kapjuk (öt egész és két tizenötöd).
Fordított műveletet is végrehajthat – minden kevert szám könnyen hibásra konvertálható. A természetes számot (egész részt) megszorozzuk a nevezővel és összeadjuk a tört rész számlálójával. Végezzük el a fentieket az 5 2/15 törttel. Az 5-öt megszorozzuk 15-tel, 75-öt kapunk. Ezután a kapott számhoz hozzáadunk 2-t, így 77-et kapunk. A nevezőt meghagyjuk, és itt van a kívánt típus törtrésze - 77/15.
A közönséges csökkentésetörtek
Mit jelent a törtek csökkentésének művelete? A számlálót és a nevezőt el kell osztani egy nem nulla számmal, amely a közös osztó lesz. Egy példában ez így néz ki: 5/10 csökkenthető 5-tel. A számlálót és a nevezőt teljesen elosztjuk az 5-tel, és megkapjuk az 1/2 tört. Ha lehetetlen egy tört redukálása, akkor azt irreducibilisnek nevezzük.
Ahhoz, hogy az m/n és p/q alakú törtek egyenlőek legyenek, a következő egyenlőségnek kell teljesülnie: mq=np. Ennek megfelelően a törtek nem lesznek egyenlőek, ha az egyenlőség nem teljesül. A törteket is összehasonlítják. Az egyenlő nevezőjű törtek közül a nagyobb számlálójú a nagyobb. Ezzel szemben az egyenlő számlálójú törtek között a nagyobb nevező kisebb. Sajnos így nem lehet minden törtet összehasonlítani. A törtek összehasonlításához gyakran a legkisebb közös nevezőre (LCD) kell megadni őket.
NOZ
Vegyük ezt egy példával: össze kell hasonlítanunk az 1/3 és az 5/12 törteket. A 3-as és a 12-12 számok legkisebb közös többszörösével (LCM) nevezőkkel dolgozunk. Ezután térjünk rá a számlálókra. Az LCM-et elosztjuk az első nevezővel, megkapjuk a 4-es számot (ez egy további tényező). Ezután a 4-et megszorozzuk az első tört számlálójával, így egy új tört 4/12 jelent meg. Továbbá egyszerű alapszabályok alapján könnyen összehasonlíthatjuk a törteket: 4/12 < 5/12, ami azt jelenti, hogy 1/3 < 5/12.
Ne feledje: ha a számláló nulla, akkor a teljes tört nulla. De a nevező soha nem lehet egyenlő nullával, mivel nem lehet nullával osztani. Mikora nevező egyenlő eggyel, akkor az egész tört értéke egyenlő a számlálóval. Kiderült, hogy bármely szám szabadon ábrázolható az egység számlálójaként és nevezőjeként: 5/1, 4/1 és így tovább.
Aritmetikai műveletek törtekkel
A törtek összehasonlítását fentebb tárgy altuk. Térjünk rá az összeg, a különbözet, a szorzat és a résztörtek meghatározására:
Az összeadás vagy kivonás csak a törtek NOZ-ra csökkentése után hajtható végre. Ezt követően a számlálókat összeadjuk vagy kivonjuk, és a nevező változatlan marad: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7
- A törtek szorzása némileg eltérő: külön működnek a számlálókkal, majd a nevezőkkel: 5/71/7=(51) / (77)=5/49.
- A törtek felosztásához meg kell szoroznia az elsőt a második reciprokával (a reciprok 5/7 és 7/5). Így: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Tudnia kell, hogy ha vegyes számokkal dolgozik, a műveleteket külön hajtja végre az egész részekkel és külön a tört részekkel: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (nyolc egész szám és hat heted). Ebben az esetben hozzáadtunk 5-öt és 3-at, majd 5/7-et 1/7-tel. Szorzáshoz vagy osztáshoz fordítsa le a vegyes számokat, és dolgozzon helytelen törtekkel.
Valószínűleg a cikk elolvasása után mindent megtudott a közönséges törtekről, az előfordulásuk történetétől az aritmetikai műveletekig. Reméljük, hogy minden kérdése megoldódott.
