A méretarányos változatban a modell egy bizonyos jelenség vagy folyamat egyfajta képe, diagramja, térképe, leírása, képe. Magát a jelenséget egy matematikai vagy gazdasági modell eredetijének nevezik.
Mi a modellkedés?
A modellezés valamilyen objektum, rendszer tanulmányozása. A megvalósításhoz egy modellt építenek és elemeznek.
A modellezés minden szakasza magában foglal egy tudományos kísérletet, amelynek tárgya egy absztrakt vagy alanyi modell. Kísérlet végzése során egy konkrét jelenséget egy séma vagy egy egyszerűsített modell (másolat) helyettesít. Egyes esetekben munkamodellt állítanak össze annak érdekében, hogy a példáján keresztül megértsék a munka mechanizmusát, elemezzék a tapasztalatok eredményeinek piacgazdaságba való bevezetésének gazdasági megvalósíthatóságát. Ugyanazt a jelenséget különböző modellek is figyelembe vehetik.
A kutatónak ki kell választania a modellezés szükséges szakaszait, azokat optimálisan kell használnia. A modellek alkalmazása olyan esetekben releváns, amikor valódi tárgy nem áll rendelkezésre, vagy a vele végzett kísérletek komoly környezeti problémákkal járnak. A jelenlegi modellt olyan helyzetekben is alkalmazzák, ahol valódi kísérlet történikjelentős anyagköltséggel jár.
A matematikai modellezés jellemzői
A matematikai modellek nélkülözhetetlenek a tudományban, valamint a hozzájuk tartozó eszközök – a matematikai fogalmak. Több évezred alatt felhalmozódtak és modernizálódtak. A modern matematikában vannak univerzális és hatékony kutatási módszerek. A "tudományok királynője" által tekintett bármely tárgy matematikai modell. A kiválasztott objektum részletes elemzéséhez a matematikai modellezés szakaszait választjuk ki. Segítségükkel megkülönböztetik a részleteket, jellemzőket, jellemző vonásokat, rendszerezik a kapott információkat, és teljes körű leírást készítenek a tárgyról.
A matematikai formalizálás magában foglalja a kutatás során speciális fogalmakkal való működést: mátrix, függvény, derivált, antiderivált, számok. A vizsgált objektumban az alkotóelemek és részletek között fellelhető kapcsolatokat, összefüggéseket matematikai relációk rögzítik: egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlőségek. Ennek eredményeként egy jelenség vagy folyamat matematikai leírását kapjuk, és ebből következően annak matematikai modelljét is.
A matematikai modell tanulmányozásának szabályai
Van egy bizonyos sorrend a modellezési lépéseknek, amelyek lehetővé teszik a hatások és az okok közötti kapcsolatok létrehozását. A rendszer tervezésének vagy tanulmányozásának központi szakasza egy teljes értékű matematikai modell felépítése. Ennek az objektumnak a további elemzése közvetlenül függ az elvégzett műveletek minőségétől. Épületa matematikai vagy gazdasági modell nem formális eljárás. Könnyen használhatónak, pontosnak kell lennie, hogy az elemzés eredményei ne torzuljanak.
A matematikai modellek osztályozásáról
Két változata van: determinisztikus és sztochasztikus modell. A determinisztikus modellek egy-egy megfeleltetés létrehozását jelentik a jelenség vagy objektum leírására használt változók között.
Ez a megközelítés az objektum működési elvére vonatkozó információkon alapul. A modellezett jelenség sok esetben összetett szerkezetű, megfejtése sok időt és tudást igényel. Ilyen helyzetekben olyan modellezési szakaszokat választanak ki, amelyek lehetővé teszik az eredetivel végzett kísérletek elvégzését, a kapott eredmények feldolgozását anélkül, hogy belemennénk az objektum elméleti jellemzőibe. Leggyakrabban használt statisztika és valószínűségszámítás. Az eredmény egy sztochasztikus modell. A változók között véletlenszerű kapcsolat van. Nagyon sok különböző tényező okoz egy véletlenszerű változóhalmazt, amely egy jelenséget vagy objektumot jellemzi.
A modern modellezési lépések a statikus és dinamikus modellekre vonatkoznak. Statikus nézetekben a létrehozott jelenség változói közötti kapcsolatok leírása nem jelenti a fő paraméterek időbeli változásának figyelembevételét. A dinamikus modelleknél a változók közötti kapcsolatok leírása az átmeneti változások figyelembevételével történik.
Modellváltozatok:
- folyamatos;
- diszkrét;
- vegyes
A matematikai modellezés különböző szakaszai lehetővé teszik az összefüggések és függvények leírását lineáris modellekben változók közvetlen összekapcsolásával.
Milyen követelmények vonatkoznak a modellekre?
- Sokoldalúság. A modellnek a valós objektumban rejlő összes tulajdonság teljes reprezentációjának kell lennie.
- Megfelelőség. Az objektum fontos jellemzői nem haladhatják meg a megadott hibát.
- Pontosság. A modell vizsgálata során kapott hasonló paraméterekkel a valóságban létező objektum jellemzőinek egybeesési fokát jellemzi.
- Gazdaság. A modellnek minimálisnak kell lennie az anyagköltségek tekintetében.
Modellezési lépések
Nézzük meg a matematikai modellezés főbb szakaszait.
Feladat kiválasztása. Kiválasztják a vizsgálat célját, kiválasztják a végrehajtási módszereket, és kidolgozzák a kísérleti stratégiát. Ez a szakasz komoly munkával jár. A szimuláció végeredménye a feladat helyességétől függ
- Elméleti alapok elemzése, az objektumról kapott információk összegzése. Ez a szakasz egy elmélet kiválasztását vagy létrehozását foglalja magában. A tárgyra vonatkozó elméleti ismeretek hiányában ok-okozati összefüggések jönnek létre a jelenség vagy tárgy leírására kiválasztott összes változó között. Ebben a szakaszban meghatározzák a kezdeti és a végső adatokat, és felállítanak egy hipotézist.
- Formalizálás. Megvalósítvaegy speciális jelölési rendszer kiválasztása, amely segít matematikai kifejezések formájában felírni a kérdéses objektum összetevői közötti kapcsolatot.
Hozzáadások az algoritmushoz
A modellparaméterek beállítása után egy bizonyos módszer vagy megoldási mód kerül kiválasztásra.
- A létrehozott modell megvalósítása. A rendszermodellezés szakaszainak kiválasztása után létrejön egy program, amelyet tesztelnek és alkalmaznak a probléma megoldására.
- Az összegyűjtött információk elemzése. Hasonlatot vonunk a feladat és a kapott megoldás között, és meghatározzuk a modellezési hibát.
- Annak ellenőrzése, hogy a modell megfelel-e a valós objektumnak. Ha jelentős különbség van köztük, új modellt fejlesztenek ki. Amíg a modell és a valódi megfelelője ideális egyezést meg nem kapunk, addig finomításra és a részletek megváltoztatására kerül sor.
Szimulációs jellemzők
A múlt század közepén a számítástechnika megjelent a modern ember életében, megnőtt a matematikai módszerek jelentősége a tárgyak és jelenségek tanulmányozásában. Megjelentek a jelenségek és tárgyak tanulmányozásával foglalkozó "matematikai kémia", "matematikai nyelvészet", "matematikai közgazdaságtan" rovatok, létrejöttek a modellezés főbb szakaszai.
Fő céljuk a tervezett megfigyelések előrejelzése, bizonyos objektumok tanulmányozása volt. Emellett a modellezés segítségével megismerheti a körülötte lévő világot, keresheti annak irányításának módjait. Számítógépes kísérletet kell végezni azokban az esetekben, amikoraz igazi nem működik. A vizsgált jelenség matematikai modelljének számítógépes grafika segítségével történő felépítése után tanulmányozható a nukleáris robbanások, pestisjárványok stb.
A szakemberek a matematikai modellezés három szakaszát különböztetik meg, és mindegyiknek megvannak a maga sajátosságai:
- Modell építése. Ez a szakasz magában foglalja a gazdasági terv, a természeti jelenségek, az építkezés, a termelési folyamat felállítását. Ebben az esetben nehéz egyértelműen leírni a helyzetet. Először meg kell határoznia a jelenség sajátosságait, meg kell határoznia a kapcsolatát más tárgyakkal. Ezután minden minőségi jellemzőt lefordítanak matematikai nyelvre, és felépítenek egy matematikai modellt. Ez a szakasz a legnehezebb az egész modellezési folyamatban.
- A matematikai probléma megoldásának szakasza algoritmusok, számítástechnikai problémamegoldó módszerek kidolgozásával, mérési hibák azonosításával.
- A kutatás során szerzett információk lefordítása annak a területnek a nyelvére, amelyen a kísérletet végezték.
A matematikai modellezés e három szakasza kiegészül az eredményül kapott modell megfelelőségének ellenőrzésével. Ellenőrizzük a kísérletben kapott eredmények és az elméleti ismeretek közötti megfelelést. Ha szükséges, módosítsa a létrehozott modellt. A kapott eredményektől függően bonyolult vagy egyszerűsített.
A gazdasági modellezés jellemzői
A matematikai modellezés 3 szakasza magában foglalja az algebrai differenciálrendszerek használatátegyenletek. Az összetett objektumok gráfelmélet segítségével épülnek fel. Ez a térben vagy egy síkon lévő pontok halmazát foglalja magában, amelyeket részben élek kötnek össze. A gazdasági modellezés fő szakaszai az erőforrások megválasztása, elosztása, a szállítás elszámolása, a hálózat tervezése. Melyik cselekvés nem modellezési lépés? Erre a kérdésre nehéz egyértelműen válaszolni, minden az adott helyzettől függ. A modellezési folyamat fő szakaszai közé tartozik a kutatás céljának és tárgyának megfogalmazása, a cél eléréséhez szükséges főbb jellemzők meghatározása, valamint a modelltöredékek közötti kapcsolat leírása. Ezután végezzen számításokat matematikai képletekkel.
Például a szolgáltatáselmélet a sorbanállási probléma. Fontos megtalálni az egyensúlyt az eszközök karbantartási költsége és a sorban állás költségei között. A modell formális leírásának elkészítése után számításokat végeznek számítási és analitikai technológiákkal. A modell kvalitatív összeállításával minden kérdésre választ találhat. Ha a modell rossz, lehetetlen megérteni, hogy melyik művelet nem modellezési lépés.
A gyakorlatiasság valódi kritérium egy jelenség vagy modell megfelelőségének értékeléséhez. A többszempontú modellek, beleértve az optimalizálási lehetőségeket is, célmeghatározást foglalnak magukban. A cél elérésének módja azonban más. A folyamat során felmerülő nehézségek közül ki kell emelnünk:
- egy összetett rendszerben több is léteziknyakkendők;
- valós rendszer elemzésekor nehéz minden véletlenszerű tényezőt figyelembe venni;
- problémás összehasonlítani a matematikai apparátust a kívánt eredményekkel
A sokrétű rendszerek tanulmányozása során felmerülő sok bonyolultság miatt a szimulációs modellezést fejlesztették ki. A számítástechnika speciális programjainak összessége alatt értendő, amely leírja a rendszer egyes elemeinek működését és a köztük lévő kapcsolatot. A valószínűségi változók használata a kísérletek ismételt megismétlését, az eredmények statisztikai feldolgozását jelenti. A szimulációs rendszerrel való munka egy kísérlet, amelyet számítástechnika segítségével hajtanak végre. Mik ennek a rendszernek az előnyei? Ezáltal nagyobb közelség érhető el az eredeti rendszerhez, ami matematikai modell esetén lehetetlen. A blokk elve segítségével elemezheti az egyes blokkokat, mielőtt azok egyetlen rendszerbe kerülnének. Ez az opció lehetővé teszi olyan összetett kapcsolatok használatát, amelyek nem írhatók le közönséges matematikai összefüggésekkel.
A szimulációs rendszer felépítésének hátrányai közül kiemeljük az idő- és erőforrásköltséget, valamint a modern számítástechnika használatának szükségességét.
A modellezés fejlődési szakaszai összevethetők a társadalomban végbemenő változásokkal. A felhasználási terület szerint minden modell képzési programokra, szimulátorokra, oktatási és vizuális segédeszközökre van felosztva. A kísérleti modellek valódi tárgyak (autók) kicsinyített másolatai lehetnek. Tudományos és műszaki lehetőségekelektronikus berendezések elemzésére készült standok. A szimulációs modellek nemcsak a valós valóságot tükrözik, hanem laboratóriumi egereken végzett tesztelést, oktatási rendszerben végzett kísérleteket is tartalmaznak. Az utánzást a próba és hiba módszerének tekintik.
Az összes modell fel van osztva a megjelenítési változat szerint. Az anyagmodelleket alanynak nevezzük. Az ilyen lehetőségek az eredeti geometriai és fizikai jellemzőivel vannak felruházva, és átültethetők a valóságba. Az információs modelleket kézzel nem lehet megérinteni. Jellemezik a vizsgált tárgy, jelenség, folyamat állapotát, tulajdonságait, kapcsolatukat a való világgal. A verbális lehetőségek olyan információs modelleket foglalnak magukban, amelyeket köznyelvi vagy mentális formában valósítanak meg. Az előjeles típusokat egy poliéderes matematikai nyelv bizonyos jeleinek alkalmazásával fejezzük ki.
Következtetés
A matematikai modellezés, mint a tudományos ismeretek módszere a magasabb matematika alapjaival egy időben jelent meg. Ebben a folyamatban fontos szerepet játszottak I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. A matematikai modelleket először P. Fermat, B. Pascal építette fel. V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie figyelmet fordítottak a matematikai modellezésre a termelésben és a közgazdaságtanban. Napjainkban különféle tevékenységi területeken alkalmaznak hasonló lehetőséget egy tárgy vagy jelenség tanulmányozására. A megtervezett rendszerek segítségével a mérnökök olyan jelenségeket és folyamatokat tárnak fel, amelyek valós körülmények között nem elemezhetők.
Tudományos kutatásmodellezéssel már az ókorban használták őket, és az idők folyamán különféle tudományos ismereteket ragadtak meg: építészet, tervezés, kémia, építőipar, fizika, biológia, ökológia, földrajz, valamint társadalomtudományok. Minden modellezési folyamatban három összetevőt használnak: alany, objektum, modell. Természetesen egy tárgy vagy jelenség tanulmányozása nem korlátozódik a modellezésre, vannak más módok is a szükséges információk megszerzésére.
