A matematikában az inverz függvények egymásnak megfelelő kifejezések, amelyek egymásba fordulnak. Annak megértéséhez, hogy ez mit jelent, érdemes egy konkrét példát megfontolni. Tegyük fel, hogy y=cos(x). Ha az argumentumból a koszinuszát vesszük, akkor megtaláljuk y értékét. Nyilván ehhez x-el kell rendelkeznie. De mi van akkor, ha a játékos kezdetben adott? Itt jut el a dolog lényegéhez. A probléma megoldásához inverz függvény használata szükséges. Esetünkben ez az ív koszinusz.
Az összes átalakítás után a következőt kapjuk: x=arccos(y).
Azaz ahhoz, hogy egy adott függvényt inverz módon találjunk meg, elég csak egy argumentumot kifejezni belőle. De ez csak akkor működik, ha az eredmény egyetlen értékű lesz (erről később).
Ez a tény általánosságban a következőképpen írható le: f(x)=y, g(y)=x.
Definíció
Legyen f olyan függvény, amelynek tartománya az X halmaz, ésaz értéktartomány az Y halmaz. Ekkor, ha létezik g, amelynek tartományai ellentétes feladatokat látnak el, akkor f megfordítható.
Emellett, ebben az esetben g egyedi, ami azt jelenti, hogy pontosan egy függvény elégíti ki ezt a tulajdonságot (nem több, nem kevesebb). Ekkor inverz függvénynek nevezzük, és írásban a következőképpen jelöljük: g(x)=f -1(x).
Más szóval, bináris relációnak tekinthetők. A visszafordíthatóság csak akkor következik be, ha a halmaz egyik eleme egy másik értéknek felel meg.
Nem mindig van inverz függvény. Ehhez minden y є Y elemnek legfeljebb egy x є X-nek kell megfelelnie. Ekkor f-et egy az egyhez vagy injekciónak nevezzük. Ha f -1 Y-hez tartozik, akkor ennek a halmaznak minden elemének meg kell felelnie valamilyen x ∈ X-nek. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező függvényeket szurjekcióknak nevezzük. Definíció szerint érvényes, ha Y egy f kép, de ez nem mindig van így. Ahhoz, hogy inverz legyen, egy függvénynek egyszerre kell lennie injekciónak és szurjekciónak is. Az ilyen kifejezéseket bijekcióknak nevezzük.
Példa: négyzet- és gyökfüggvények
A függvény a [0, ∞) ponton van definiálva, és az f (x)=x2.
képlettel adjuk meg
Akkor nem injektív, mert minden lehetséges Y eredmény (0 kivételével) két különböző X-nek felel meg - egy pozitív és egy negatív, tehát nem visszafordítható. Ebben az esetben lehetetlen lesz beszerezni a kezdeti adatokat a kapott adatokból, ami ennek ellentmondelméletek. Nem injekciós lesz.
Ha a definíciós tartomány feltételesen nem negatív értékekre korlátozódik, akkor minden úgy fog működni, mint korábban. Ekkor bijektív, és ennélfogva megfordítható. Az inverz függvényt itt pozitívnak nevezzük.
Megjegyzés a bejegyzéshez
Az f -1 (x) megjelölés megzavarhatja az embert, de semmi esetre sem szabad így használni: (f (x)) - 1 . Ez egy teljesen más matematikai fogalomra utal, és semmi köze az inverz függvényhez.
Általános szabály, hogy egyes szerzők olyan kifejezéseket használnak, mint sin-1 (x).
Más matematikusok azonban úgy vélik, hogy ez zavart okozhat. Az ilyen nehézségek elkerülése érdekében az inverz trigonometrikus függvényeket gyakran az "ív" előtaggal jelölik (a latin ívből). Esetünkben az arcszinuszról beszélünk. Időnként láthatja az "ar" vagy az "inv" előtagot is néhány más függvényhez.
