A gázok viselkedésének fizikában történő tanulmányozása során nagy figyelmet fordítanak az izofolyamatokra, vagyis a rendszer állapotai közötti olyan átmenetekre, amelyek során egy termodinamikai paraméter megmarad. Az állapotok között azonban van egy gázátmenet, ami nem izofolyamat, de fontos szerepet játszik a természetben és a technológiában. Ez egy adiabatikus folyamat. Ebben a cikkben részletesebben megvizsgáljuk, és arra összpontosítunk, hogy mi a gáz adiabatikus kitevője.
Adiabatikus folyamat
A termodinamikai definíció szerint adiabatikus folyamat alatt a rendszer kezdeti és végállapota közötti olyan átmenetet értjük, amelynek következtében a külső környezet és a vizsgált rendszer között nincs hőcsere. Egy ilyen folyamat a következő két feltétellel lehetséges:
- hővezetőképesség a külső környezet ésa rendszer ilyen vagy olyan okból alacsony;
- nagy a folyamat sebessége, így nincs ideje a hőcserének bekövetkezni.
A mérnöki tudományokban az adiabatikus átmenetet a gáz felmelegítésére használják annak éles kompressziója során, illetve hűtésére gyors táguláskor. A természetben a szóban forgó termodinamikai átmenet akkor nyilvánul meg, amikor egy légtömeg felemelkedik vagy leereszkedik egy domboldalról. Az ilyen hullámvölgyek a levegő harmatpontjának megváltozásához és a csapadékhoz vezetnek.
Poisson-egyenlet az adiabatikus ideális gázhoz
Az ideális gáz olyan rendszer, amelyben a részecskék véletlenszerűen, nagy sebességgel mozognak, nem lépnek kölcsönhatásba egymással és dimenzió nélküliek. Egy ilyen modell nagyon egyszerű a matematikai leírását tekintve.
Az adiabatikus folyamat definíciója szerint a következő kifejezés írható fel a termodinamika első főtételének megfelelően:
dU=-PdV.
Más szóval, egy gáz, tágulva vagy összehúzódva, a belső energiájában dU megfelelő változás miatt működik PdV.
Ideális gáz esetén, ha az állapotegyenletet használjuk (Clapeyron-Mengyelejev törvény), a következő kifejezést kaphatjuk:
PVγ=konst.
Ezt az egyenlőséget Poisson-egyenletnek nevezik. A gázfizikában jártas emberek észreveszik, hogy ha γ értéke egyenlő 1-gyel, akkor a Poisson-egyenlet bekerül a Boyle-Mariotte törvénybe (izotermfolyamat). Az egyenletek ilyen átalakítása azonban lehetetlen, mivel γ bármely típusú ideális gáz esetén nagyobb egynél. A γ (gamma) mennyiséget az ideális gáz adiabatikus indexének nevezzük. Nézzük meg közelebbről a fizikai jelentését.
Mi az adiabatikus kitevő?
A γ kitevő, amely az ideális gáz Poisson-egyenletében jelenik meg, az állandó nyomású hőkapacitás és az azonos érték, de már állandó térfogatú hőkapacitás aránya. A fizikában a hőkapacitás az a hőmennyiség, amelyet egy adott rendszerbe kell átadni vagy onnan el kell venni ahhoz, hogy az 1 Kelvinnel változtassa a hőmérsékletét. Az izobár hőkapacitást a CP, az izobár hőkapacitást pedig a CV szimbólummal jelöljük. Ekkor az egyenlőség érvényes γ:
γ=CP/CV.
Mivel γ mindig nagyobb egynél, ez azt mutatja meg, hogy a vizsgált gázrendszer izobár hőkapacitása hányszor haladja meg a hasonló izokhorikus karakterisztikát.
CP és CV hőkapacitásai
Az adiabatikus kitevő meghatározásához jól kell érteni a CP és CV mennyiségek jelentését. Ehhez a következő gondolatkísérletet hajtjuk végre: képzeljük el, hogy a gáz zárt rendszerben van egy szilárd falú edényben. Ha az edényt felfűtik, akkor az összes közölt hő ideális esetben a gáz belső energiájává alakul. Ilyen helyzetben az egyenlőség érvényes:
dU=CVdT.
ÉrtékCVmeghatározza azt a hőmennyiséget, amelyet át kell adni a rendszernek ahhoz, hogy az 1 K-el izokórosan felmelegedjen.
Most tegyük fel, hogy a gáz egy mozgó dugattyús edényben van. Az ilyen rendszer fűtése során a dugattyú elmozdul, biztosítva az állandó nyomás fenntartását. Mivel a rendszer entalpiája ebben az esetben egyenlő az izobár hőkapacitás és a hőmérsékletváltozás szorzatával, a termodinamika első főtétele a következő formában jelenik meg:
CPdT=CVdT + PdV.
Innen látható, hogy CP>CV, mivel izobár állapotváltozás esetén szükséges a hőt költenek nemcsak a rendszer hőmérsékletének és ezáltal belső energiájának növelésére, hanem a gáz által a tágulása során végzett munkára is.
γ értéke egy ideális egyatomos gázhoz
A legegyszerűbb gázrendszer egy egyatomos ideális gáz. Tegyük fel, hogy van 1 mol ilyen gázunk. Emlékezzünk vissza, hogy ha 1 mol gázt csak 1 Kelvinnel izobár hevítünk, akkor ez R-vel egyenlő. Ezt a szimbólumot általában az univerzális gázállandó jelölésére használják. Ez egyenlő 8,314 J / (molK). Az előző bekezdés utolsó kifejezését alkalmazva erre az esetre a következő egyenlőséget kapjuk:
CP=CV+ R.
Ahonnan meghatározható az izochor hőkapacitás értéke CV:
γ=CP/CV;
CV=R/(γ-1).
Ismert, hogy egy anyajegyreegyatomos gáz, az izochor hőkapacitás értéke:
CV=3/2R.
Az utolsó két egyenlőségből következik az adiabatikus kitevő értéke:
3/2R=R/(γ-1)=>
γ=5/3 ≈ 1, 67.
Ne feledje, hogy γ értéke kizárólag magának a gáznak a belső tulajdonságaitól függ (molekuláinak többatomos természetétől), és nem függ a rendszerben lévő anyag mennyiségétől.
γ függése a szabadságfokok számától
Egy monoatomos gáz izochor hőkapacitásának egyenletét fentebb leírtuk. A benne megjelenő 3/2 együttható az egy atom szabadságfokainak számával függ össze. Képes a tér három irányának csak az egyikében mozogni, vagyis csak transzlációs szabadságfokok vannak.
Ha a rendszert kétatomos molekulák alkotják, akkor a három transzlációs fokhoz hozzáadunk még két forgási fokot. Ezért a CV kifejezés a következőképpen alakul:
CV=5/2R.
Akkor γ értéke a következő lesz:
γ=7/5=1, 4.
Megjegyezzük, hogy a kétatomos molekulának valójában még egy rezgési szabadságfoka van, de több száz Kelvin hőmérsékleten nem aktiválódik, és nem járul hozzá a hőkapacitáshoz.
Ha a gázmolekulák kettőnél több atomból állnak, akkor 6 szabadsági fokuk lesz. Az adiabatikus kitevő ebben az esetben egyenlő lesz:
γ=4/3 ≈ 1, 33.
SzóvalÍgy a gázmolekulában lévő atomok számának növekedésével a γ értéke csökken. Ha felállít egy adiabatikus gráfot a P-V tengelyekben, akkor észre fogja venni, hogy egy monoatomos gáz görbéje élesebben fog viselkedni, mint egy többatomosé.
Adiabatikus kitevő gázkeverékre
A fentiekben bemutattuk, hogy γ értéke nem függ a gázrendszer kémiai összetételétől. Ez azonban a molekuláit alkotó atomok számától függ. Tegyük fel, hogy a rendszer N komponensből áll. Az i komponens atomfrakciója a keverékben ai. Ezután a keverék adiabatikus kitevőjének meghatározásához a következő kifejezést használhatja:
γ=∑i=1N(aiγ i).
Ahol γi az i-edik komponens γ értéke.
Ez a kifejezés például használható a levegő γ-jának meghatározására. Mivel 99%-ban kétatomos oxigén- és nitrogénmolekulákból áll, adiabatikus indexének nagyon közel kell lennie az 1,4-hez, amit ennek az értéknek a kísérleti meghatározása is megerősít.
