A geometria azért szép, mert az algebrával ellentétben, ahol nem mindig világos, hogy mit gondolsz és miért, láthatóságot ad az objektumnak. A különféle testekből álló csodálatos világot szabályos poliéderek díszítik.
Általános információ a normál poliéderekről
Sokak szerint a szabályos poliédereknek vagy más néven platóni testeknek egyedi tulajdonságaik vannak. Számos tudományos hipotézis kapcsolódik ezekhez a tárgyakhoz. Amikor elkezdi tanulmányozni ezeket a geometriai testeket, megérti, hogy gyakorlatilag semmit sem tud az olyan fogalomról, mint a szabályos poliéder. Ezeknek a tárgyaknak az iskolában való bemutatása nem mindig érdekes, ezért sokan nem is emlékeznek rá, hogy hívják őket. A legtöbb ember csak a kockára emlékszik. A geometriában egyetlen test sem olyan tökéletes, mint a szabályos poliéder. Ezeknek a geometriai testeknek az összes neve az ókori Görögországból származik. Az oldalak számát jelentik: tetraéder - négyoldalú, hexaéder - hatoldalú, oktaéder - oktaéder, dodekaéder - tizenkét oldalú, ikozaéder - húszoldalú. Mindezek a geometriai testekfontos helyet fogl alt el Platón világegyetem-felfogásában. Négyen személyesítették meg az elemeket vagy entitásokat: a tetraéder – tűz, az ikozaéder – a víz, a kocka – a föld, az oktaéder – a levegő. A dodekaéder mindent megtestesített, ami létezik. Ezt tekintették a főnek, mert az univerzum szimbóluma volt.
A poliéder fogalmának általánosítása
A poliéder véges számú sokszög gyűjteménye úgy, hogy:
- bármelyik sokszög mindegyik oldala egyidejűleg csak egy másik sokszög oldala ugyanazon az oldalon;
- minden sokszögből a szomszédos sokszögek mentén haladva juthat el a többihez.
A sokszögek, amelyek egy poliédert alkotnak, annak lapjai, oldalaik pedig élek. A poliéderek csúcsai a sokszögek csúcsai. Ha a sokszög fogalmát lapos zárt szaggatott vonalként értjük, akkor a poliéder egy definíciójához jutunk. Abban az esetben, ha ez a fogalom a sík szaggatott vonallal határolt részét jelenti, akkor sokszögű darabokból álló felületet kell érteni. A konvex poliéder egy olyan test, amely egy sík egyik oldalán fekszik, a lapjával szomszédos.
A poliéder és elemeinek egy másik meghatározása
A poliéder sokszögekből álló felület, amely egy geometriai testet határol. Ezek:
- nem konvex;
- domború (helyes és helytelen).
A szabályos poliéder maximális szimmetriájú konvex poliéder. A szabályos poliéder elemei:
- tetraéder: 6 él, 4 lap, 5 csúcs;
- hexaéder (kocka): 12, 6, 8;
- dodekaéder: 30, 12, 20;
- oktaéder: 12, 8, 6;
- ikozaéder: 30, 20, 12.
Euler-tétel
Kapcsolatot hoz létre azon élek, csúcsok és lapok száma között, amelyek topológiailag ekvivalensek egy gömbnek. Különböző szabályos poliéderek csúcsainak és lapjainak (B + D) összeadásával és az élek számával összevetve egy mintát lehet megállapítani: a lapok és csúcsok számának összege megegyezik a megnövelt élek számával (P). 2. Levezethet egy egyszerű képletet:
B + D=R + 2
Ez a képlet minden konvex poliéderre igaz.
Alapvető definíciók
A szabályos poliéder fogalma nem írható le egy mondatban. Értelmesebb és terjedelmesebb. Ahhoz, hogy egy testet ilyennek ismerjenek el, számos definíciónak kell megfelelnie. Tehát egy geometriai test szabályos poliéder lesz, ha a következő feltételek teljesülnek:
- domború;
- ugyanannyi él konvergál minden csúcsánál;
- minden lapja szabályos sokszög, egyenlő egymással;
- minden diéderszöge egyenlő.
Szabályos poliéder tulajdonságai
Öt különböző típusú szabályos poliéder létezik:
- Kocka (hexaéder) – lapos szöge felül 90°.3 oldalú szöge van. A felső lapos szögek összege 270°.
- Tetraéder – lapos szög felül – 60°. 3 oldalú szöge van. A felső lapos szögek összege 180°.
- Oktaéder – lapos csúcsszög – 60°. 4 oldalú sarka van. A lapos szögek összege felül 240°.
- Dodekaéder – lapos szög a csúcsnál 108°. 3 oldalú szöge van. A felső lapos szögek összege 324°.
- Ikozaéder – lapos szöge van felül – 60°. 5 oldalú szöge van. A felső lapos szögek összege 300°.
Szabályos poliéderek területe
E geometriai testek felületét (S) úgy számítjuk ki, hogy egy szabályos sokszög területét megszorozzuk lapjai számával (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Egy szabályos poliéder térfogata
Ezt az értéket úgy számítjuk ki, hogy egy szabályos gúla térfogatát, amelynek alapjában szabályos sokszög található, megszorozzuk a lapok számával, magassága pedig a beírt gömb sugara (r):
V=1: 3rS
Szabályos poliéderek térfogatai
Mint minden más geometriai testhez hasonlóan a szabályos poliéderek is eltérő térfogatúak. Az alábbiakban találhatók a képletek, amelyekkel kiszámíthatja őket:
- tetraéder: α x 3√2: 12;
- oktaéder: α x 3√2: 3;
- ikozaéder; α x 3;
- hexaéder (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaéder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Szabályos poliéder elemei
A hexaéder és az oktaéder kettős geometriai testek. Más szóval, akkor kaphatók meg egymástól, ha az egyik lapjának súlypontját a másik csúcsának vesszük, és fordítva. Az ikozaéder és a dodekaéder is kettős. Csak a tetraéder kettős önmagával. Az eukleidészi módszer szerint egy hexaéderből dodekaédert kaphatunk úgy, hogy egy kocka lapjaira "tetőket" építünk. A tetraéder csúcsai a kocka tetszőleges 4 csúcsa, amelyek nem páronként szomszédosak egy él mentén. A hexaéderből (kockából) más szabályos poliédereket is kaphatunk. Annak ellenére, hogy számtalan szabályos sokszög létezik, csak 5 szabályos poliéder létezik.
Szabályos sokszögek sugara
Ezekhez a geometriai testekhez 3 koncentrikus gömb tartozik:
- leírva, áthaladva a csúcsain;
- beírva, megérintve annak minden oldalát a közepén;
- medián, középen minden élt érintve.
A leírt gömb sugarát a következő képlettel számítjuk ki:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Egy beírt gömb sugarát a következő képlet számítja ki:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
ahol θ a szomszédos lapok közötti diéderszög.
A középső gömb sugara a következő képlettel számítható ki:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
ahol h érték=4, 6, 6, 10 vagy 10. A körülírt és beírt sugarak aránya szimmetrikus p és q vonatkozásában. Azta következő képlettel számítjuk ki:
R/r=tg π/p x tg π/q
A poliéderek szimmetriája
A szabályos poliéderek szimmetriája okozza a fő érdeklődést ezekben a geometriai testekben. Ez alatt a test olyan mozgását értjük a térben, amely ugyanannyi csúcsot, old alt és élt hagy el. Más szavakkal, a szimmetria-transzformáció hatására egy él, csúcs, lap vagy megtartja eredeti helyzetét, vagy egy másik él, csúcs vagy lap eredeti pozíciójába kerül.
A szabályos poliéderek szimmetriaelemei az ilyen geometriai testek minden típusára jellemzőek. Itt egy azonos transzformációról beszélünk, amely bármelyik pontot az eredeti helyén hagyja. Tehát ha sokszögű prizmát forgat, több szimmetriát kaphat. Bármelyikük ábrázolható a reflexiók termékeként. Azt a szimmetriát, amely páros számú visszaverődés szorzata, egyenesnek nevezzük. Ha páratlan számú visszaverődés szorzata, akkor inverznek nevezzük. Így minden egyenes körüli elforgatás közvetlen szimmetria. A poliéder bármely visszaverődése fordított szimmetria.
A szabályos poliéderek szimmetriaelemeinek jobb megértéséhez vegyünk egy tetraéder példáját. Bármely egyenes, amely átmegy ennek a geometriai alakzatnak az egyik csúcsán és a középpontján, átmegy a vele szemben lévő lap közepén is. A vonal körüli 120°-os és 240°-os fordulatok mindegyike többes szám.a tetraéder szimmetriája. Mivel 4 csúcsa és 4 lapja van, csak nyolc közvetlen szimmetria van. A perem közepén és ennek a testnek a közepén áthaladó vonalak bármelyike átmegy a szemközti él közepén. Bármilyen 180°-os elforgatás, amelyet fél fordulatnak neveznek, egy egyenes körül szimmetria. Mivel a tetraédernek három élpárja van, van még három közvetlen szimmetria. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy a közvetlen szimmetriák teljes száma az azonos transzformációval együtt eléri a tizenkettőt. A tetraédernek nincs más közvetlen szimmetriája, de van 12 inverz szimmetriája. Ezért a tetraédert összesen 24 szimmetria jellemzi. Az egyértelműség kedvéért megépíthet egy szabályos tetraéder modelljét kartonból, és megbizonyosodhat arról, hogy ennek a geometriai testnek valóban csak 24 szimmetriája van.
A dodekaéder és az ikozaéder van a legközelebb a test gömbjéhez. Az ikozaédernek van a legtöbb lapja, a legnagyobb a kétszögű, és a legszorosabban rányomható egy beírt gömbre. A dodekaédernek van a legkisebb szöghibája, a csúcsnál a legnagyobb térszög. Maximálisan ki tudja tölteni a leírt szféráját.
Söprő poliéder
A szokásos csomagolatlan poliédereknek, amelyeket gyermekkorunkban mindannyian összeragasztottunk, sok fogalma van. Ha van olyan sokszöggyűjtemény, amelynek minden oldala a poliédernek csak az egyik oldalával azonosítható, akkor az oldalak azonosításának két feltételnek kell megfelelnie:
- minden sokszögből átléphet olyan sokszögekre, amelyek rendelkeznekazonosított oldal;
- az azonosított oldalaknak azonos hosszúságúaknak kell lenniük.
Ezt a sokszögek azon halmazát, amelyek kielégítik ezeket a feltételeket, a poliéder fejlődésének nevezzük. Ezen testek mindegyikében több is van. Így például egy kockában 11 van.
