A fizika és a matematika nem nélkülözheti a "vektormennyiség" fogalmát. Ismerni és felismerni kell, valamint tudni kell vele operálni. Ezt mindenképpen meg kell tanulnod, nehogy összezavarodj, és ne kövess el hülye hibákat.
Hogyan lehet megkülönböztetni a skaláris értéket a vektormennyiségtől?
Az elsőnek mindig csak egy jellemzője van. Ez a számértéke. A legtöbb skalár pozitív és negatív értékeket is felvehet. Ilyen például az elektromos töltés, a munkavégzés vagy a hőmérséklet. De vannak olyan skalárok, amelyek nem lehetnek negatívak, például a hosszúság és a tömeg.
A vektormennyiséget a számszerű mennyiségen kívül, amelyet mindig modulo-ban veszünk, egy irány is jellemez. Ezért ábrázolható grafikusan, azaz nyíl formájában, amelynek hossza megegyezik az adott irányba irányított érték modulusával.
Íráskor az egyes vektormennyiségeket nyíljel jelzi a betűn. Ha számértékről beszélünk, akkor a nyíl nincs írva, vagy modulo veszi.
Melyek a leggyakrabban végrehajtott vektoros műveletek?
Először is egy összehasonlítás. Lehetnek egyenlőek, de lehet, hogy nem. Az első esetben a moduljaik megegyeznek. De nem ez az egyetlen feltétel. Ugyanolyan vagy ellentétes irányúnak kell lenniük. Az első esetben egyenlő vektoroknak kell nevezni őket. A másodikban ellentétesek. Ha a megadott feltételek közül legalább egy nem teljesül, akkor a vektorok nem egyenlőek.
Ezután jön az összeadás. Ez két szabály szerint történhet: háromszög vagy paralelogramma. Az első előírja, hogy először egy vektort kell elhalasztani, majd a végétől a másodikat. Az összeadás eredménye az lesz, amelyet az első elejétől a második végéig kell húzni.
A paralelogramma szabály akkor használható, ha vektormennyiségeket kell hozzáadnia a fizikában. Az első szabállyal ellentétben itt egy pontról el kell halasztani. Majd építsd fel őket paralelogrammává. A művelet eredményét az ugyanabból a pontból rajzolt paralelogramma átlójának kell tekinteni.
Ha egy vektormennyiséget kivonunk egy másikból, akkor ismét egy pontból ábrázoljuk őket. Csak az eredmény lesz egy olyan vektor, amely megegyezik a második végétől az első végéig tartó vektorral.
Milyen vektorokat tanulmányoznak a fizikában?
Ahány skalár, annyi van. Egyszerűen emlékezhet arra, hogy milyen vektormennyiségek léteznek a fizikában. Vagy ismerje meg azokat az előjeleket, amelyek alapján kiszámíthatók. Azok számára, akik az első lehetőséget részesítik előnyben, egy ilyen asztal jól jön. Ez tartalmazza a fő vektor fizikai mennyiségeket.
| Megjelölés a képletben | Név |
| v | sebesség |
| r | mozgás |
| a | gyorsítás |
| F | erő |
| r | impulzus |
| E | elektromos térerősség |
| B | mágneses indukció |
| M | erő pillanata |
Most egy kicsit többet ezekről a mennyiségekről.
Az első érték a sebesség
Érdemes elkezdeni belőle példákat hozni a vektormennyiségekre. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az elsők között tanulmányozzák.
A sebesség a test térbeli mozgásának jellemzője. Számértéket és irányt ad meg. Ezért a sebesség vektormennyiség. Emellett szokás típusokra bontani. Az első a lineáris sebesség. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás figyelembe vételekor kerül bevezetésre. Ugyanakkor egyenlőnek bizonyul a test által megtett út és a mozgási idő arányával.
Ugyanez a képlet használható egyenetlen mozgás esetén is. Csak akkor lesz átlagos. Ezenkívül a választandó időintervallumnak szükségszerűen a lehető legrövidebbnek kell lennie. Amikor az időintervallum nullára hajlik, a sebességérték már pillanatnyi.
Ha egy tetszőleges mozgást veszünk figyelembe, akkor itt a sebesség mindig vektormennyiség. Hiszen minden, a koordinátavonalakat irányító vektor mentén komponensekre kell bontani. Ezenkívül a sugárvektor deriváltjaként van meghatározva, az idő függvényében.
A második érték az erő
Meghatározza a más testek vagy mezők által a testre gyakorolt hatás intenzitásának mértékét. Mivel az erő vektormennyiség, szükségszerűen megvan a maga modulo értéke és iránya. Mivel a testre hat, az is fontos, hogy melyik pontra érvényesül az erő. Ha vizuális képet szeretne kapni az erővektorokról, tekintse meg a következő táblázatot.
| Tápellátás | Alkalmazási pont | Irány |
| gravitáció | testközpont | a Föld középpontjába |
| gravitáció | testközpont | egy másik test közepére |
| rugalmasság | érintkezési pont a kölcsönható testek között | külső befolyás ellen |
| súrlódás | érintő felületek között | a mozgással ellentétes irányban |
Az eredő erő is vektormennyiség. Ez a testre ható összes mechanikai erő összege. Meghatározásához összeadást kell végrehajtani a háromszögszabály elve szerint. Csak el kell halasztani a vektorokat az előző végéről. Az eredmény az lesz, amely összeköti az első elejét az utolsó végével.
Harmadik érték – eltolás
A mozgás során a test egy bizonyos vonalat ír le. Ezt hívják pályának. Ez a vonal teljesen más lehet. Nem a megjelenése a fontosabb, hanem a mozgás kezdő- és végpontja. Összekötnekszegmens, amelyet eltolásnak nevezünk. Ez is egy vektormennyiség. Sőt, mindig a mozgás elejétől arra a pontra irányul, ahol a mozgás leállt. Szokásos latin r betűvel jelölni.
Itt megjelenhet a kérdés: "Az útvonal vektormennyiség?". Általában véve ez az állítás nem igaz. Az út egyenlő a pálya hosszával, és nincs határozott iránya. Kivételt képez az a helyzet, amikor egy irányú egyenes vonalú mozgást vesznek figyelembe. Ekkor az eltolási vektor modulusa értékben egybeesik az úttal, és az irányuk megegyezik. Ezért, ha egy egyenes mentén történő mozgást veszünk figyelembe anélkül, hogy megváltoztatnánk a mozgás irányát, akkor az útvonalat a vektormennyiségek példáiba is beilleszthetjük.
A negyedik érték a gyorsulás
A sebesség változási sebességének jellemzője. Ráadásul a gyorsulásnak lehetnek pozitív és negatív értékei is. Egyenes irányú mozgásnál a nagyobb sebesség irányába irányul. Ha a mozgás görbe vonalú pálya mentén történik, akkor annak gyorsulási vektora két komponensre bomlik, amelyek közül az egyik a sugár mentén a görbületi középpont felé irányul.
Válassza szét a gyorsulás átlagos és pillanatnyi értékét. Az elsőt úgy kell kiszámítani, mint a sebesség változásának egy bizonyos időtartamon belüli és ehhez az időhöz viszonyított arányát. Amikor a figyelembe vett időintervallum nullára hajlik, akkor pillanatnyi gyorsulásról beszélünk.
Az ötödik nagyságrend a lendület
Ez máslendületnek is nevezik. A lendület vektormennyiség, mivel közvetlenül összefügg a testre ható sebességgel és erővel. Mindkettőnek van iránya, és azt adják a lendületnek.
Definíció szerint ez utóbbi egyenlő a testtömeg és a sebesség szorzatával. A test impulzusának fogalmát használva másképpen is megírhatjuk a jól ismert Newton-törvényt. Kiderült, hogy a lendület változása egyenlő az erő és az idő szorzatával.
A fizikában fontos szerepet játszik az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy a testek zárt rendszerében a teljes lendülete állandó.
Nagyon röviden felsoroltuk, hogy milyen mennyiségeket (vektorokat) vizsgálunk a fizika során.
Rugalmas ütési probléma
Állapot. A síneken fix platform található. Egy autó 4 m/s sebességgel közeledik felé. A peron és a kocsi tömege 10, illetve 40 tonna. Az autó nekiütközik a platformnak, automatikus csatolás történik. Ki kell számítani a kocsi-peron rendszer sebességét az ütközés után.
Döntés. Először is meg kell adnia a jelölést: az autó sebessége ütközés előtt - v1, az autó a platformmal a csatlakozás után - v, az autó tömege m 1, a platform - m 2. A probléma feltételének megfelelően meg kell találni a sebesség értékét v.
Az ilyen feladatok megoldásának szabályai megkövetelik a rendszer sematikus ábrázolását az interakció előtt és után. Célszerű az OX tengelyét a sínek mentén a kocsi mozgásának irányába irányítani.
Ezen feltételek mellett a kocsirendszer zártnak tekinthető. Ezt az a tény határozza meg, hogy a külsőaz erők figyelmen kívül hagyhatók. A gravitációs erő és a támasz reakciója kiegyensúlyozott, a sínek súrlódását nem veszik figyelembe.
Az impulzus megmaradásának törvénye szerint a vektorösszegük az autó és a platform kölcsönhatása előtt megegyezik a tengelykapcsoló összértékével az ütközés után. Eleinte az emelvény nem mozdult, így a lendülete nulla volt. Csak az autó mozgott, lendülete m1 és v1.
Mivel az ütközés rugalmatlan volt, vagyis a kocsi megbirkózott a platformmal, majd elkezdett együtt gurulni ugyanabba az irányba, a rendszer lendülete nem változtatott irányt. De a jelentése megváltozott. Mégpedig a kocsi platós tömege és a szükséges sebesség összegének szorzata.
Írhatja ezt az egyenlőséget: m1v1=(m1 + m2)v. Ez igaz lesz az impulzusvektorok kiválasztott tengelyre vetítésére. Ebből könnyen levezethető a szükséges sebesség kiszámításához szükséges egyenlőség: v=m1v1 / (m 1 + m2).
A szabályok szerint a tömegértékeket tonnáról kilogrammra kell konvertálni. Ezért, amikor behelyettesíti őket a képletbe, először meg kell szoroznia az ismert értékeket ezerrel. Az egyszerű számítások 0,75 m/s számot adnak.
Válasz. A kocsi sebessége a platformmal 0,75 m/s.
Probléma a test részekre osztásával
Állapot. A repülő gránát sebessége 20 m/s. Két részre szakad. Az első tömege 1,8 kg. Továbbra is abba az irányba halad, amerre a gránát 50 m/s sebességgel repült. A második töredék tömege 1,2 kg. Mekkora a sebessége?
Döntés. Jelöljük a töredéktömegeket m1 és m2 betűkkel. A sebességük rendre v1 és v2 lesz. A gránát kezdeti sebessége v. A feladatban ki kell számítani a v2. értéket
Ahhoz, hogy a nagyobb töredék ugyanabban az irányban haladjon tovább, mint az egész gránát, a másodiknak az ellenkező irányba kell repülnie. Ha a tengely irányát a kiindulási impulzus irányának választjuk, akkor a törés után egy nagy töredék a tengely mentén, egy kis töredék pedig a tengely mentén repül.
Ebben a feladatban megengedett az impulzus megmaradásának törvénye, mivel a gránát felrobbanása azonnal bekövetkezik. Ezért annak ellenére, hogy a gravitáció hat a gránátra és annak részeire, nincs ideje hatni, és modulo értékével megváltoztatni az impulzusvektor irányát.
A gránátkitörés utáni lendület vektorértékeinek összege megegyezik az előtte lévővel. Ha felírjuk a test lendületmaradásának törvényét az OX tengelyre vetítésben, akkor ez így fog kinézni: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. Könnyen kifejezhető belőle a kívánt sebesség. A képlet határozza meg: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. A számértékek és a számítások helyettesítése után 25 m/s-ot kapunk.
Válasz. Egy kis töredék sebessége 25 m/s.
Probléma a szögből történő fényképezéssel kapcsolatban
Állapot. Egy szerszámot M tömegű platformra szerelnek fel. Egy m tömegű lövedéket lövik ki belőle. α -hoz szögben repül kihorizont v sebességgel (a talajhoz képest megadva). A lövés után meg kell találni a peron sebességének értékét.
Döntés. Ebben a feladatban használhatja az impulzusmegmaradás törvényét az OX tengelyre történő vetítésben. De csak abban az esetben, ha a külső eredő erők vetülete nulla.
Az OX tengely irányához ki kell választani azt az old alt, ahol a lövedék repül, és párhuzamosan a vízszintes vonallal. Ebben az esetben a gravitációs erők vetületei és a támasz OX-re adott reakciója nulla lesz.
A probléma általánosan fog megoldódni, mivel az ismert mennyiségekre nincsenek konkrét adatok. A válasz a képlet.
A rendszer lendülete a lövés előtt nulla volt, mivel a platform és a lövedék álló helyzetben volt. Jelölje a peron kívánt sebességét latin u betűvel. Ekkor a lövés utáni lendületet a tömeg és a sebesség vetületének szorzataként határozzuk meg. Mivel a platform visszagurul (az OX tengely irányával szemben), az impulzusérték mínusz lesz.
Egy lövedék lendülete tömegének és sebességének az OX tengelyre való vetületének a szorzata. Tekintettel arra, hogy a sebesség a horizonthoz képest szöget zár be, vetülete megegyezik a sebesség szorozva a szög koszinuszával. A szó szerinti egyenlőségben ez így fog kinézni: 0=- Mu + mvcos α. Ebből egyszerű transzformációkkal megkapjuk a válaszképletet: u=(mvcos α) / M.
Válasz. A platform sebességét a következő képlet határozza meg: u=(mvcos α) / M.
Folyó átkelés probléma
Állapot. A folyó szélessége teljes hosszában azonos és egyenlő l-lel, a partjaipárhuzamosak. Ismerjük a víz áramlási sebességét a folyóban v1 és a hajó saját sebességét v2. egy). Átkeléskor a csónak orra szigorúan a szemközti partra irányul. Meddig s szállítják lefelé? 2). Milyen α szögbe kell irányítani a csónak orrát, hogy a kiindulási pontra szigorúan merőlegesen érje el a szemközti partot? Mennyi időbe telne egy ilyen átkelés?
Döntés. egy). A hajó teljes sebessége a két mennyiség vektorösszege. Ezek közül az első a folyó folyása, amely a partok mentén halad. A második a csónak saját sebessége, merőleges a partokra. A rajzon két hasonló háromszög látható. Az elsőt a folyó szélessége és a hajó által szállított távolság alkotja. A második - sebességvektorokkal.
A következő bejegyzés következik belőlük: s / l=v1 / v2. A transzformáció után megkapjuk a kívánt érték képletét: s=l(v1 / v2).
2). A feladatnak ebben a változatában a teljes sebességvektor merőleges a partokra. Ez egyenlő a v1 és v2 vektorösszegével. Annak a szögnek a szinusza, amellyel a saját sebességvektornak el kell térnie, egyenlő a v1 és v2 modulok arányával. Az utazási idő kiszámításához el kell osztania a folyó szélességét a kiszámított teljes sebességgel. Ez utóbbi értékét a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki.
v=√(v22 – v1 2), majd t=l / (√(v22 – v1 2)).
Válasz. egy). s=l(v1 / v2), 2). sin α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
