Az anyag elolvasása után az olvasó megérti, hogy a planimetria egyáltalán nem nehéz. A cikk a legfontosabb elméleti tudnivalókat és a konkrét problémák megoldásához szükséges képleteket tartalmazza. Az ábrák fontos állításai és tulajdonságai a polcokra kerülnek.
Definíció és fontos tények
A planimetria a geometriának egy olyan ága, amely sík, kétdimenziós felületen lévő objektumokat vesz figyelembe. Meghatározható néhány megfelelő példa: négyzet, kör, rombusz.
Egyebek mellett érdemes kiemelni egy pontot és egy vonalat. Ez a planimetria két alapfogalma.
Minden más már rájuk épül, például:
- A szakasz egy két pont által határolt egyenes része.
- A sugár egy szegmenshez hasonló objektum, azonban csak az egyik oldalon van szegélye.
- Olyan szög, amely két, ugyanabból a pontból kijövő sugárból áll.
Axiómák és tételek
Nézzük meg közelebbről az axiómákat. A planimetriában ezek a legfontosabb szabályok, amelyek szerint minden tudomány működik. Igen, és nem csak benne. Általdefiníció szerint ezek olyan állítások, amelyekhez nincs szükség bizonyításra.
Az alábbiakban tárgyalandó axiómák az úgynevezett euklideszi geometria részét képezik.
- Két pont van. Egyetlen vonal mindig húzható rajtuk.
- Ha létezik egy egyenes, akkor vannak olyan pontok, amelyek rajta fekszenek, és vannak olyan pontok, amelyek nem.
Ezt a 2 állítást a tagság axiómáinak nevezzük, és a következőek sorrendje:
- Ha három pont van egy egyenesen, akkor az egyiknek a másik kettő között kell lennie.
- Egy síkot bármely egyenes két részre osztja. Ha a szegmens végei az egyik felén fekszenek, akkor az egész objektum ehhez tartozik. Ellenkező esetben az eredeti egyenesnek és szakasznak van metszéspontja.
Mértékek axiómái:
- Minden szegmens nullától eltérő hosszúságú. Ha a pont több részre bontja, akkor ezek összege megegyezik az objektum teljes hosszával.
- Minden szögnek van egy bizonyos mértéke, amely nem egyenlő nullával. Ha egy gerendával felosztja, akkor a kezdeti szög egyenlő lesz a kialakult szögek összegével.
Párhuzamos:
Egyenes vonal van a síkon. Bármely ponton keresztül, amely nem tartozik hozzá, csak egy egyenes húzható párhuzamosan a megadottal
A planimetriában a tételek már nem egészen alapvető állítások. Általában tényként fogadják el, de mindegyiknek van a fent említett alapfogalmakra épülő bizonyítéka. Ráadásul nagyon sok van belőlük. Elég nehéz lesz mindent szétszedni, de a bemutatott anyag tartalmaz majd valamennyitközülük.
A következő kettőt érdemes korán megnézni:
- A szomszédos szögek összege 180 fok.
- A függőleges szögek értéke azonos.
Ez a két tétel hasznos lehet az n-szögekkel kapcsolatos geometriai problémák megoldásában. Nagyon egyszerűek és intuitívak. Érdemes emlékezni rájuk.
Háromszögek
A háromszög egy geometriai alakzat, amely három egymást követő szakaszból áll. Több szempont szerint vannak besorolva.
Az oldalakon (az arányok a nevekből derülnek ki):
- Egyenlő oldalú.
- Egyenlőszárúak – a két oldal és a szemközti szögek egyenlőek.
- Sokoldalú.
A sarkokon:
- élesszögű;
- téglalap alakú;
- tompa.
A helyzettől függetlenül két sarok mindig éles lesz, a harmadikat pedig a szó első része határozza meg. Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszög egyik szöge 90 fokkal egyenlő.
Tulajdonságok:
- Minél nagyobb a szög, annál nagyobb a szemközti oldal.
- Az összes szög összege 180 fok.
- A terület a következő képlettel számítható ki: S=½ ⋅ h ⋅ a, ahol a az oldal, h a hozzá húzott magasság.
- Mindig beírhat egy kört egy háromszögbe, vagy körülírhatja.
A planimetria egyik alapképlete a Pitagorasz-tétel. Kizárólag derékszögű háromszögre működik, és így hangzik: négyzeta hipotenuzus egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: AB2 =AC2 + BC2.
A hipotenusz a 90°-os szöggel ellentétes oldal, a lábak pedig a szomszédos oldalak.
Négyszögek
Rengeteg információ van erről a témáról. Az alábbiakban csak a legfontosabbakat soroljuk fel.
Néhány fajta:
- Paralelogramma – a szemközti oldalak egyenlőek és páronként párhuzamosak.
- A rombusz egy paralelogramma, amelynek oldalai azonos hosszúak.
- Téglalap – négy derékszögű paralelogramma
- A négyzet egyben rombusz és téglalap is.
- Trapéz – csak két szemközti oldal párhuzamos.
Tulajdonságok:
- A belső szögek összege 360 fok.
- A területet mindig a következő képlettel lehet kiszámítani: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), ahol p a kerület fele, a, b, c, d a kerület oldalai. ábra.
- Ha egy kör leírható egy négyszög körül, akkor konvexnek nevezem, ha nem - nem konvexnek.
