Mik azok az irracionális számok? Miért hívják így? Hol használják és mik azok? Ezekre a kérdésekre kevesen tudnak habozás nélkül válaszolni. Valójában azonban a válaszok meglehetősen egyszerűek, bár nem mindenkinek van rájuk szüksége, és nagyon ritka helyzetekben
Lényeg és megnevezés
Az irracionális számok végtelen, nem periodikus tizedes törtek. A fogalom bevezetésének szükségessége abból adódik, hogy a korábban létező valós vagy valós, egész, természetes és racionális számok fogalma már nem volt elegendő az új felmerülő problémák megoldásához. Például annak kiszámításához, hogy mekkora a 2 négyzete, nem ismétlődő végtelen tizedesjegyeket kell használnia. Ráadásul a legegyszerűbb egyenleteknek sincs megoldása az irracionális szám fogalmának bevezetése nélkül.
Ezt a halmazt I-vel jelöljük. És amint az már világos, ezeket az értékeket nem lehet egyszerű törtként ábrázolni, amelynek számlálójában egy egész szám lesz, a nevezőben pedig egy természetes szám.
Előszöregyébként az indiai matematikusok a Kr.e. 7. században találkoztak ezzel a jelenséggel, amikor kiderült, hogy egyes mennyiségek négyzetgyöke nem jelezhető egyértelműen. És az ilyen számok létezésének első bizonyítéka a Pythagorean Hippasusnak tulajdonítható, aki ezt egy egyenlő szárú derékszögű háromszög tanulmányozása során tette. Ennek a készletnek a tanulmányozásához komolyan hozzájárultak néhány más korszakunk előtti tudós is. Az irracionális számok fogalmának bevezetése a meglévő matematikai rendszer felülvizsgálatát vonja maga után, ezért olyan fontosak.
A név eredete
Ha az arány latinul "tört", "arányt" jelent, akkor az "ir"
előtag az ellenkező jelentést adja ennek a szónak. E számok halmazának neve tehát azt jelzi, hogy nem korrelálhatók egész számmal vagy törttel, külön helyük van. Ez következik a lényegükből.
Helye az összesített besorolásban
Az irracionális számok a racionális számokkal együtt a valós vagy valós számok csoportjába tartoznak, amelyek viszont a komplex számokhoz tartoznak. Nincsenek részhalmazok, vannak azonban algebrai és transzcendentális változatok, amelyekről az alábbiakban lesz szó.
Tulajdonságok
Mivel az irracionális számok a valós számok halmazának részét képezik, minden aritmetikailag vizsgált tulajdonságuk (ezeket alapvető algebrai törvényeknek is nevezik) vonatkozik rájuk.
a + b=b + a (kommutativitás);
(a + b) + c=a + (b + c)(asszociativitás);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (az ellenkező szám létezése);
ab=ba (elmozdulás törvénye);
(ab)c=a(bc) (eloszlás);
a(b+c)=ab + ac (eloszlási törvény);
a x 1=a
a x 1/a=1 (egy inverz szám létezése);
Az összehasonlítás is az általános törvények és elvek szerint történik:
Ha a > b és b > c, akkor a > c (az arány tranzitivitása) és. stb.
Természetesen az összes irracionális szám átalakítható az alapvető aritmetika segítségével. Erre nincsenek speciális szabályok.
Emellett Archimedes axiómája az irracionális számokra is vonatkozik. Azt mondja, hogy bármely két a és b mennyiségre igaz az az állítás, hogy ha elégszer veszed a tagot, meghaladhatod b-t.
Használja
Annak ellenére, hogy a hétköznapi életben nem kell gyakran foglalkozni velük, az irracionális számokat nem lehet megszámolni. Nagyon sok van belőlük, de szinte láthatatlanok. Irracionális számok vesznek körül minket mindenhol. Mindenki számára ismert példa a pi szám, amely egyenlő 3-mal, 1415926 …, vagy e, ami lényegében a természetes logaritmus alapja, 2, 718281828 … Az algebrában, trigonometriában és geometriában ezeket folyamatosan használni kell.. Egyébként az "aranymetszet" híres értéke, vagyis a nagyobb rész aránya a kisebbhez és fordítva is
ehhez a halmazhoz tartozik. Kevésbé ismert "ezüst" is.
Nagyon sűrűn helyezkednek el a számegyenesen, így a racionálisak halmazához kapcsolódó bármely két érték között biztosan előfordul egy irracionális.
Még mindig sok megoldatlan probléma van ezzel a készlettel kapcsolatban. Vannak olyan kritériumok, mint az irracionalitás mértéke és a szám normalitása. A matematikusok továbbra is vizsgálják az egyik vagy másik csoporthoz való tartozásuk legjelentősebb példáit. Például úgy gondolják, hogy e egy normál szám, vagyis annak a valószínűsége, hogy a rekordjában különböző számjegyek jelennek meg, azonos. Ami a pi-t illeti, még folynak a kutatások ezzel kapcsolatban. Az irracionalitás mértékét olyan értéknek is nevezik, amely megmutatja, hogy ez vagy az a szám mennyire közelíthető racionális számokkal.
Algebrai és transzcendentális
Amint már említettük, az irracionális számokat feltételesen algebrai és transzcendentális számokra osztjuk. Feltételesen, mivel szigorúan véve ez az osztályozás a C halmaz felosztására szolgál.
Ez a megjelölés olyan komplex számokat rejt, amelyek valós vagy valós számokat is tartalmaznak.
Tehát, az algebrai érték olyan érték, amely egy olyan polinom gyöke, amely nem azonos nullával. Például a 2 négyzetgyöke ebbe a kategóriába tartozik, mert ez az x2 - 2=0.
egyenlet megoldása.
Az összes többi valós számot, amely nem felel meg ennek a feltételnek, transzcendentálisnak nevezzük. Erre a fajtáratartalmazza a leghíresebb és már említett példákat - a pi számot és a természetes logaritmus alapját e.
Érdekes módon eredetileg sem az egyiket, sem a másodikat nem ebben a minőségben vezették le a matematikusok, irracionalitásukat és transzcendenciájukat sok évvel a felfedezésük után igazolták. A pi esetében a bizonyítást 1882-ben adták meg, 1894-ben pedig egyszerűsítették, ami véget vetett a kör négyzetre emelésének problémájával kapcsolatos 2500 éves vitának. Még mindig nem teljesen érthető, így a modern matematikusoknak van min dolgozniuk. Ennek az értéknek az első kellően pontos számítását egyébként Archimedes végezte. Előtte minden számítás túl közelítő volt.
Az e-re (az Euler- vagy Napier-számokra) 1873-ban találtak bizonyítékot a transzcendenciájára. Logaritmikus egyenletek megoldására használják.
További példák a szinusz, koszinusz és tangens értékei bármely algebrai nullától eltérő értékhez.
