Szabályos ötszög: a szükséges minimális információ

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

Ozhegov magyarázó szótára kimondja, hogy az ötszög egy geometriai alakzat, amelyet öt egymást metsző egyenes határol, amelyek öt belső szöget alkotnak, valamint bármely hasonló alakú tárgy. Ha egy adott sokszögnek ugyanazok az oldalai és szögei, akkor szabályosnak (ötszögnek) nevezzük.

Mi az érdekes egy szabályos ötszögben?

Ebben a formában épült fel az Egyesült Államok Védelmi Minisztériumának jól ismert épülete. A terjedelmes szabályos poliéderek közül csak a dodekaédernek van ötszög alakú lapja. A természetben pedig teljesen hiányoznak a kristályok, amelyek lapjai egy szabályos ötszögre hasonlítanak. Ezenkívül ez az ábra egy olyan sokszög, amelynek minimális sarkai vannak, és amelyek nem használhatók terület csempézésére. Csak egy ötszögnek van annyi átlója, mint az oldalainak. Egyetértek, ez érdekes!

Alaptulajdonságok és képletek

A képletek használatáv altetszőleges szabályos sokszög esetén meghatározhatja az ötszög összes szükséges paraméterét.

• Középszög α=360 / n=360/5=72°.
• Belső szög β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Ennek megfelelően a belső szögek összege 540°.
• Az átló és az oldal aránya (1+√5) /2, azaz az "aranymetszet" (körülbelül 1,618).
• A szabályos ötszög oldalának hossza három képlet egyikével számítható ki attól függően, hogy melyik paraméter már ismert:
• ha egy kör van körülírva, és ismert az R sugara, akkor a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• abban az esetben, ha egy r sugarú kört szabályos ötszögbe írunk, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
• előfordul, hogy sugarak helyett a D átló értéke ismert, ekkor az old alt a következőképpen határozzuk meg: a ≈ D/1, 618.
• Egy szabályos ötszög területét ismét attól függően határozzuk meg, hogy milyen paramétert ismerünk:
• ha van beírt vagy körülírt kör, akkor két képlet egyikét kell használni:

S=(nar)/2=2, 5ar vagy S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

a terület úgy is meghatározható, hogy csak az a oldal hosszát ismerjük:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Szabályos ötszög: építés

Ez a geometriai alakzat többféleképpen is felépíthető. Például írd be egy adott sugarú körbe, vagy építsd meg egy adott oldaloldal alapján. A cselekvések sorrendjét Eukleidész Elemei című művében írták le Kr.e. 300 körül. Mindenesetre szükségünk van egy iránytűre és egy vonalzóra. Tekintsük az építési módot egy adott kör használatával.

1. Válasszon ki egy tetszőleges sugarat, és rajzoljon egy kört, középpontját O-val jelölve.

2. A körvonalon válasszunk ki egy pontot, amely ötszögünk egyik csúcsaként fog szolgálni. Legyen ez A pont. Kösd össze az O és A pontot egy egyenessel.

3. Rajzoljon egy egyenest az O ponton át merőlegesen az OA egyenesre. Jelölje ki ennek az egyenesnek a metszéspontját a kör vonalával B pontnak.

4. Az O és B pontok közötti távolság közepén építse fel a C pontot.

5. Most rajzoljon egy kört, amelynek középpontja a C pontban lesz, és amely áthalad az A ponton. Az OB egyenessel való metszéspontja (a legelső körön belül lesz) a D pont lesz.

6. Szerkesszünk meg egy D-n átmenő kört, amelynek középpontja A-ban lesz. Az eredeti körrel való metszéspontjait E és F pontokkal kell jelölni.

7. Most készítsen egy kört, amelynek középpontja E-ben lesz. Ezt úgy kell megtennie, hogy átmenjen A-n. Az eredeti kör másik metszéspontját a G pontnak kell jeleznie.

8. Végül rajzoljon egy kört A-n keresztül, amelynek középpontja az F pontban van. Jelölje meg az eredeti kör másik metszéspontját a H ponttal.

9. Most balracsak kösse össze az A, E, G, H, F csúcsokat. A szabályos ötszögünk elkészül!