A matematika lényegében elvont tudomány, ha eltávolodunk az elemi fogalmaktól. Így néhány almán vizuálisan ábrázolhatja a matematika alapját képező alapvető műveleteket, de amint a tevékenységi sík kitágul, ezek az objektumok elégtelenné válnak. Valaki próbált már végtelen halmazokon műveleteket ábrázolni almán? Ez a lényeg, nem. Minél összetettebbé váltak azok a fogalmak, amelyekkel a matematika ítéleteiben operál, annál problematikusabbnak tűnt a vizuális kifejezésük, amely a megértést hivatott elősegíteni. Mindazonáltal mind a modern hallgatók, mind a tudomány boldogsága érdekében Euler-körök származnak, amelyekre az alábbiakban példákat és lehetőségeket fogunk figyelembe venni.
Egy kis történelem
1707. április 17-én a világ átadta a tudománynak Leonhard Eulert, egy figyelemre méltó tudóst, akinek a matematikához, fizikához, hajóépítéshez és még a zeneelmélethez való hozzájárulását sem lehet túlbecsülni.
Munkásait a mai napig elismerik és keresik szerte a világon, annak ellenére, hogy a tudomány nem áll meg. Külön érdekesség, hogy Euler úr közvetlenül részt vett az orosz felsőbb matematikai iskola kialakításában, annál is inkább, mert a sors akaratából kétszer is visszatért államunkba. A tudós egyedülálló képességgel rendelkezett, hogy olyan algoritmusokat hozzon létre, amelyek logikájukban átláthatóak voltak, levágtak mindent, ami felesleges, és a lehető legrövidebb időn belül az általánostól a konkrét felé haladva. Nem fogjuk felsorolni az összes érdemét, mivel ez jelentős időt vesz igénybe, és közvetlenül a cikk témájára térünk ki. Ő javasolta a halmazokon végzett műveletek grafikus ábrázolását. Az Euler-körök bármilyen, még a legösszetettebb probléma megoldását is képesek megjeleníteni.
Mi a lényeg?
A gyakorlatban az Euler-körök, amelyek sémája az alábbiakban látható, nem csak a matematikában használhatók, mivel a „halmaz” fogalma nem csak ebben a tudományágban rejlik. Tehát sikeresen alkalmazzák őket a menedzsmentben.
A fenti diagram az A (irracionális számok), B (racionális számok) és C (természetes számok) halmazok összefüggéseit mutatja. A körök azt mutatják, hogy a C halmaz benne van a B halmazban, míg az A halmaz semmilyen módon nem metszi őket. A példa a legegyszerűbb, de világosan megmagyarázza a "halmazok kapcsolatainak" sajátosságait, amelyek túlságosan elvontok a valódi összehasonlításhoz, már csak a végtelenségük miatt is.
Logikai algebra
Ez a területa matematikai logika olyan állításokkal operál, amelyek igazak és hamisak is lehetnek. Például az elemiből: a 625-ös szám osztható 25-tel, a 625-ös szám osztható 5-tel, a 625-ös szám prímszám. Az első és a második állítás igaz, míg az utolsó hamis. Természetesen a gyakorlatban minden bonyolultabb, de a lényeg világosan látható. És természetesen az Euler-körök ismét részt vesznek a megoldásban, a példák a használatukkal túl kényelmesek és vizuálisak ahhoz, hogy figyelmen kívül hagyjuk.
Egy kis elmélet:
- Legyenek A és B halmazok, és ne legyenek üresek, akkor a következő metszés-, unió- és tagadási műveletek vannak meghatározva számukra.
- Az A és B halmazok metszéspontja olyan elemekből áll, amelyek egyszerre tartoznak az A és B halmazhoz.
- Az A és B halmazok uniója az A vagy B halmazhoz tartozó elemekből áll.
- Az A halmaz negációja olyan halmaz, amely olyan elemekből áll, amelyek nem tartoznak az A halmazhoz.
Mindezt az Euler-körök ismét leírják a logikában, hiszen segítségükkel minden feladat – a bonyolultság mértékétől függetlenül – nyilvánvalóvá és vizuálissá válik.
A logikai algebra axiómái
Tegyük fel, hogy 1 és 0 létezik, és az A halmazban vannak meghatározva, akkor:
- A halmaz tagadásának tagadása A halmaz;
- az A halmaz egyesítése nem_A-val 1;
- az A halmaz egyesítése 1-gyel: 1;
- az A halmaz egyesítése önmagával az A halmaz;
- A halmaz egyesítése0-val van egy A;
- az A halmaz metszéspontja a not_A-val 0;
- az A halmaz metszéspontja önmagával A halmaz;
- A halmaz metszéspontja 0-val 0;
- az A halmaz metszéspontja 1-gyel az A.
halmaz
A logikai algebra alapvető tulajdonságai
Létezzen A és B halmaz, és ne legyen üres, akkor:
- A és B halmazok metszéspontjára és egyesítésére a kommutatív törvény érvényes;
- a kombinációs törvény az A és B halmazok metszéspontjára és egyesítésére vonatkozik;
- az A és B halmazok metszéspontjára és egyesítésére az elosztási törvény vonatkozik;
- A és B halmazok metszéspontjának tagadása az A és B halmazok tagadásának metszéspontja;
- A és B halmaz uniójának tagadása az A és B halmaz tagadásának uniója.
A következőkben Euler-körök láthatók, példák az A, B és C halmazok metszéspontjaira és egyesítésére.
Lehetőségek
Leonhard Euler műveit méltán tekintik a modern matematika alapjának, de ma már sikeresen alkalmazzák azokat az emberi tevékenység olyan területein, amelyek viszonylag nemrégiben jelentek meg, vegyük például a vállalatirányítást: Euler körei, példái és grafikonjai leírják az emberi tevékenység mechanizmusait. fejlesztési modellek, legyen az orosz vagy angol-amerikai verzió.
