A négyszögek, mint a sokszögek speciális esetei, nagyon fontos téma az iskolai geometria tanfolyamon. A modern program magában foglalja ennek az anyagnak a megismerését a nyolcadik osztályban. Az oktatás keretében csak a konvex négyszögeket veszik figyelembe. A többit felsőoktatási intézmények szintjén tanulják.
A négyszögek tanulmányozása nem azonos a geometria tanulmányozására szolgáló különböző programokban. A fogalom bevezetésének sorrendje attól függ, hogy milyen sorrendben kerül bemutatásra a sokszögekről szóló anyag.
A négyszögek tanulmányozásának sorrendje
Egyik esetben a négyszöget egy sokszög speciális esetének tekintjük, a másikban pedig metszéspontjukon elhelyezkedő szakaszok és pontok halmazát, szám szerint négyet. Ebben az esetben meg kell felelni annak a feltételnek, hogy e három pont egyike ne tartozzon egy egyeneshez, és a metszéspontok hiánya, kivéve a csúcsokat.
A legtöbb iskolaA négyszögeket a nyolcadik osztályban tanulják. Miután először az egyenesek párhuzamosságát, majd a sokszög szögösszegére vonatkozó tételt tanulmányoztuk, átmennek egy paralelogrammára. A jellemzőit mérlegelve és a hozzájuk kapcsolódó tételek bizonyítását követően áttérnek a többi speciális esetre, és választ kapnak a kérdésekre: melyik négyszöget nevezzük négyzetnek, rombusznak, téglalapnak és különféle trapéztípusoknak.
Egy másik megközelítés a négyszögek tanulmányozása a hasonló alakzatok témakörének mérlegelésekor. Itt a négyszögeket szekvenciálisan is tanulmányozzuk, egy paralelogrammával kezdve. Meghatározzuk, hogy melyik négyszöget nevezzük téglalapnak, trapéznek. És természetesen részletesen mérlegeljük, hogy milyen más négyszögek lehetnek.
Négy sarkú figurák osztályozása
Melyik négyszöget nevezzük négyzetnek? Megtudhatja, ha sorban megvizsgálja az ehhez kapcsolódó összes ábrát. Az első tárgyat, amelyre figyelmünkbe jut, paralelogrammának nevezzük. Négy, páronként párhuzamos és egymást metsző egyenes alkotja. Külön meg kell határozni azokat az eseteket, amikor ez kilencven fokos szögben történik, és azokat, amelyekben az ilyen metszéspontok által alkotott összes szakasz azonos hosszúságú. Végül nézzük meg, melyik négyszöget nevezzük trapéznek.
konvexnek nevezett négyszögek
Lakozzunk a konvex és a nem konvex négyszögek fogalmainál. Ez a megkülönböztetés nagyon fontos, mivel ezek közül csak az elsőt tanulják az iskolai tantervben.
Micsoda négyszögkonvexnek nevezik? Ennek szekvenciális megértéséhez egyenes vonalakat húzunk az ábra minden oldalára. Ha a teljes négyszög minden esetben az ezen egyenes által alkotott két félsík valamelyikében fekszik, akkor konvex. Egyébként nem konvex.
Szabályos paralelogramma
Most nézzük meg a konvex négyszögek fő típusait. Kezdjük egy paralelogrammával. Fentebb megadtuk ennek az ábrának a definícióját. A definíción kívül érdemes megjegyezni ennek a konvex sokszögnek számos tulajdonságát.
A paralelogramma egymással szemben lévő oldalai egyenlőek. A szemközti szögek is egyenlőek egymással.
Az átlóknak nevezett szakaszok metszéspontja kilencven fokos szöget zár be. Ha összeadja a hosszuk négyzeteit, akkor ezek az ábra lapjainak négyzeteinek összege lesznek. Minden ilyen szakasz két egyforma háromszöget és négy egyenlő háromszöget alkot.
Bármely két szomszédos szög összeadódik száznyolcvan fokban.
Amikor kijelentjük, hogy egy geometriai alakzat rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, akkor vitatható, hogy paralelogramma. Így megkapjuk ennek a négyszögnek a jeleit, amelyek meghatározzák, hogy az ábra ebbe az osztályba tartozik-e.
A terület kétféleképpen is megtalálható. Az első a szög szinuszának és a vele szomszédos oldalak hosszának szorzatának keresése lesz. A második módszer az, hogy meghatározzuk az eredményt a magasság és a vele szemben lévő lap hosszának megszorzásával.
Gyémánt
Melyik négyszöget nevezzük rombusznak? Olyan, amelyben az azt alkotó összes oldal egyenlő egymással. Ez a geometriai ábra a paralelogramma összes tulajdonságával és jellemzőivel rendelkezik. Egy másik tulajdonság az a tény, hogy ebbe az ábrába mindig kör van írva.
Azt a paralelogrammát, amelynek szomszédos oldalai egyenlőek, rombuszként határozzuk meg. A terület kiszámítható az oldal négyzetének és az egyik szög szinuszának szorzataként.
Téglalap
Melyik négyszöget nevezzük téglalapnak? Olyat, amelynek kilencven fokos szöge van. Mivel ez is paralelogramma, ezért ennek a négyszögnek a tulajdonságai és jellemzői érvényesek rá. A téglalapról a következőket is mondhatja:
- Ennek az ábrának az átlói azonos hosszúságúak.
- A területet úgy határozzuk meg, hogy az oldalakat megszorozzuk egymással.
- Abban az esetben, ha a paralelogramma szöge kilencven fok, akkor azt lehet állítani, hogy téglalapról van szó.
négyzet
A következő kérdés azoktól, akikkel ebben a kiadványban foglalkozunk, az, hogy milyen négyszöget nevezünk négyzetnek? Ez az ábra egyenlő oldalakkal és kilencven fokos szöggel. A fenti paraméterek alapján ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a téglalap és a rombusz. Ennek megfelelően ennek is megvannak a jelei.
Egy négyzet jellemzői közé tartoznak az őt összekötő vonalak egyedi tulajdonságaiellentétes csúcsok, és átlóknak nevezzük. Egyforma hosszúak, és derékszögben metszik egymást.
A négyzet alkalmazott értékét nehéz túlbecsülni. Sokoldalúsága, könnyű terület- és méretmeghatározása miatt ezt az ábrát széles körben használják referenciamértékként. A második hatványra emelt számot a matematikusok következetesen négyzetnek nevezik. Négyzetegységek segítségével megmérjük a területet, elvégezzük a méretek integrálását és általános közelítését a síkon. Ezt a geometriai koncepciót széles körben használják az építészetben és a tájtervezésben.
Trapéz
Ezután fontolja meg, hogy melyik négyszöget nevezzük trapéznek. Ez egy olyan alakzat lesz, amelynek oldalai párhuzamosak egymással, amelyeket alapoknak neveznek, és nem párhuzamos oldalai, amelyeket oldalak határoznak meg. Négy lapból és ugyanannyi sarokból áll. Ha ezek a nem párhuzamos szakaszok egyenlőek, a trapéz egyenlő szárú. Ha az ábra szöge kilencven fok, akkor a rendszer téglalap alakúnak tekinti.
Egy ilyen négyszögnek, amelyet trapéznek neveznek, van még egy különleges eleme. Az oldalak középpontját összekötő vonalat középvonalnak nevezzük. A hosszát úgy határozhatjuk meg, hogy az oldalak hosszának összeadásával kapott eredmény felét, az ábra alapjaként definiáljuk.
Egy egyenlő szárú trapéz, mint egy egyenlő szárú háromszög, azonos átlóhosszúságú, valamint az oldalak és az alapok közötti szögek azonosak.
Egy ilyen trapéz körül mindig lehetséges egy kör leírása.
Egy ilyen alakba egy kör illeszkedik, amelynek oldalai hosszának összege megegyezik az alapjainak összeadásával.
Általános következtetések a témában
Végezetül elmondhatjuk, hogy a geometria során ez meglehetősen hozzáférhető, és részletesen megvizsgáljuk, melyik négyszöget nevezzük négyzetnek. Annak ellenére, hogy a különböző tankönyvekben találhatunk némi eltérést a fent jelzett témák bemutatási sorrendjében, ezek mindegyike átfogóan lefedi a négyszögek témakörét.
