Goldbach-probléma az egyik legrégebbi és legtöbbet felpörgetett probléma az egész matematika történetében.
Ez a sejtés igaznak bizonyult minden 4 × 1018-nál kisebb egész számra, de a matematikusok jelentős erőfeszítései ellenére továbbra sem bizonyított.
Szám
A Goldbach-szám egy pozitív páros egész szám, amely páratlan prímszámok összege. A Goldbach-sejtés másik formája, hogy minden négynél nagyobb páros egész Goldbach-szám.
Az ilyen számok elválasztását Goldbach-partíciónak (vagy partíciónak) nevezik. Az alábbiakban példákat láthat néhány páros szám hasonló szakaszára:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
A hipotézis felfedezése
Goldbachnak volt egy Euler nevű kollégája, aki szeretett számolni, összetett képleteket írni és megoldhatatlan elméleteket állítani. Ebben Goldbachhoz hasonlítottak. Euler hasonló matematikai rejtvényt fogalmazott meg még Goldbach előtt, akivel együttfolyamatos levelezés. Ezután egy második javaslatot javasolt kézirata margójára, amely szerint a 2-nél nagyobb egész szám felírható három prímszám összegeként. Az 1-et prímszámnak tekintette.
Ma már ismert, hogy a két hipotézis hasonló, de ez akkoriban nem tűnt problémának. A Goldbach-probléma modern változata kimondja, hogy minden 5-nél nagyobb egész szám felírható három prímszám összegeként. Euler 1742. június 30-án kelt levelében válaszolt, és emlékeztette Goldbachot egy korábbi beszélgetésükre ("… tehát az eredeti (és nem marginális) hipotézisről beszélünk, amely a következő kijelentésből fakad").
Euler-Goldbach probléma
2 és páros számai felírhatók két prímszám összegeként, ami szintén Goldbach sejtése. 1742. június 30-án kelt levelében Euler kijelentette, hogy minden páros egész két prímszám összeadásának eredménye, amit jól definiált tételnek tart, bár nem tudja bizonyítani.
Harmadik verzió
A Goldbach-probléma harmadik változata (egyenértékű a másik két változattal) az a forma, amelyben a sejtést ma általában adják. Más néven „erős”, „páros” vagy „bináris” Goldbach-sejtés, hogy megkülönböztesse a ma „gyenge”, „páratlan” vagy „hármas” Goldbach-sejtésként ismert gyengébb hipotézistől. A gyenge sejtés azt állítja, hogy minden 7-nél nagyobb páratlan szám három páratlan prím összege. A gyenge sejtés 2013-ban beigazolódott. A gyenge hipotézis azerős hipotézis következménye. A fordított következmény és az erős Goldbach-sejtés a mai napig nem bizonyított.
Ellenőrizze
Kis n értékei esetén a Goldbach-probléma (és így a Goldbach-sejtés) igazolható. Például Nils Pipping 1938-ban gondosan tesztelte a hipotézist n ≦ 105-ig. Az első számítógépek megjelenésével sokkal több n értéket számítottak ki.
Oliveira Silva elosztott számítógépes keresést végzett, amely 2013-ban megerősítette az n ≦ 4 × 1018 hipotézist (és kétszer ellenőrzött 4 × 1017-ig). A keresés egyik bejegyzése az, hogy a 3 325 581 707 333 960 528 a legkisebb szám, amely nem rendelkezik Goldbach-felosztással 9781 alatti prímszámmal.
Heurisztika
A Goldbach-sejtés erős formájának változata a következő: mivel a mennyiség n növekedésével a végtelenbe hajlik, arra számítunk, hogy minden nagy páros egész számnak több mint egy reprezentációja van két prímszám összegeként. De valójában nagyon sok ilyen ábrázolás létezik. Ki oldotta meg a Goldbach-problémát? Sajnos még mindig senki.
Ez a heurisztikus érv valójában kissé pontatlan, mivel azt feltételezi, hogy m statisztikailag független n-től. Például, ha m páratlan, akkor n - m is páratlan, és ha m páros, akkor n - m páros, és ez egy nem triviális (komplex) összefüggés, mert a 2-es számon kívül csak páratlan. a számok prímszámok is lehetnek. Hasonlóképpen, ha n osztható 3-mal, és m már 3-tól eltérő prím volt, akkor n - m is kölcsönösenprímszám 3-mal, így valószínűbb, hogy prímszám, nem pedig teljes szám. Ezt a fajta elemzést alaposabban végezve Hardy és Littlewood 1923-ban, híres Hardy-Littlewood egyszerű sorsejtésük részeként elvégezte az egész elmélet fenti finomítását. De ez eddig nem segített a probléma megoldásában.
Erős hipotézis
Az erős Goldbach-sejtés sokkal bonyolultabb, mint a gyenge Goldbach-sejtés. Shnirelman később bebizonyította, hogy minden 1-nél nagyobb természetes szám legfeljebb C prímszám összegeként írható fel, ahol C egy hatékonyan kiszámítható állandó. Sok matematikus próbálta megoldani, számokat számolt és szorzott, összetett képleteket kínált stb. De soha nem sikerült nekik, mert a hipotézis túl bonyolult. Egyetlen képlet sem segített.
De érdemes kicsit eltávolodni a Goldbach-probléma bizonyításának kérdésétől. A Shnirelman-állandó a legkisebb C-szám ezzel a tulajdonsággal. Maga Shnirelman kapott C <800 000-et. Ezt az eredményt később számos szerző kiegészítette, például Olivier Ramaret, aki 1995-ben kimutatta, hogy minden n ≧ 4 páros szám valójában legfeljebb hat prímszám összege. A leghíresebb eredmény, amelyet jelenleg Harald Helfgott Goldbach-elméletéhez kötnek.
További fejlesztés
1924-ben Hardy és Littlewood felváll alta G. R. H. kimutatta, hogy a páros számok száma X-ig, ami megsérti a bináris Goldbach-problémát, sokkal kevesebb, mint a kis c.
1973-ban Chen JingyunPróbáltam megoldani ezt a problémát, de nem ment. Ő is matematikus volt, ezért nagyon szeretett találós kérdések megfejtésével és tételek bebizonyításával.
1975-ben két amerikai matematikus kimutatta, hogy vannak c és C pozitív állandók – azok, amelyekhez N elég nagy. Különösen a páros egészek halmazának nulla sűrűsége. Mindez hasznos volt a hármas Goldbach-probléma megoldásán, amely a jövőben megvalósul.
1951-ben Linnik bebizonyította egy K konstans létezését úgy, hogy minden kellően nagy páros szám egy prímszám és egy másik prímszám összeadásának eredménye. Roger Heath-Brown és Jan-Christoph Schlage-Puchta 2002-ben megállapították, hogy a K=13 működik. Ez nagyon érdekes mindazok számára, akik szeretnek összeadni egymást, összeadni a különböző számokat, és látni, mi történik.
A Goldbach-probléma megoldása
A matematikában sok jól ismert sejtéshez hasonlóan a Goldbach-sejtésnek is számos állítólagos bizonyítéka van, amelyek közül egyiket sem fogadja el a matematikai közösség.
Bár Goldbach sejtése azt sugallja, hogy minden egynél nagyobb pozitív egész legfeljebb három prímszám összegeként írható fel, nem mindig lehet ilyen összeget találni olyan mohó algoritmussal, amely a lehető legnagyobb prímszámot használja. minden lépésnél. A Pillai sorozat nyomon követi a legtöbb prímszámot igénylő számokat mohó ábrázolásukban. Ezért a Goldbach-probléma megoldásamég kérdéses. Ennek ellenére előbb-utóbb nagy valószínűséggel megoldódik.
Léteznek a Goldbach-problémához hasonló elméletek, amelyekben a prímszámokat más speciális számhalmazokkal, például négyzetekkel helyettesítik.
Christian Goldbach
Christian Goldbach német matematikus volt, aki szintén jogot tanult. Ma a Goldbach-sejtés miatt emlékeznek rá.
Egész életében matematikusként dolgozott – nagyon szeretett számokat összeadni, új képleteket kitalálni. Több nyelvet is tudott, ezek mindegyikén vezette személyes naplóját. Ezek a nyelvek a német, a francia, az olasz és az orosz voltak. Ezenkívül egyes források szerint beszélt angolul és latinul. Élete során meglehetősen ismert matematikusként ismerték. Goldbach Oroszországhoz is nagyon szorosan kötődött, mert sok orosz kollégája volt, és a királyi család személyes kegyelme volt.
Az 1725-ben újonnan megnyílt Szentpétervári Tudományos Akadémián dolgozott tovább, mint matematikaprofesszor és az akadémia történésze. 1728-ban, amikor II. Péter Oroszország cárja lett, Goldbach lett a mentora. 1742-ben belépett az orosz külügyminisztériumba. Vagyis valójában hazánkban dolgozott. Abban az időben sok tudós, író, filozófus és katona érkezett Oroszországba, mert Oroszország akkoriban a lehetőségek országa volt, mint Amerika. Sokan csináltak itt karriert. És hősünk sem kivétel.
Christian Goldbach többnyelvű volt – naplót írt németül és latinul, leveleitnémetül, latinul, franciául és olaszul írták, a hivatalos dokumentumokhoz pedig oroszt, németet és latint használt.
1764. november 20-án h alt meg, 74 évesen Moszkvában. Az a nap, amikor Goldbach problémája megoldódik, méltó tisztelgés lesz az emléke előtt.
Következtetés
Goldbach nagyszerű matematikus volt, aki feltárta nekünk e tudomány egyik legnagyobb titkát. Nem tudni, hogy ez valaha is megoldódik-e vagy sem. Csak azt tudjuk, hogy feltételezett felbontása, mint Fermat tétele esetében, új távlatokat nyit a matematika számára. A matematikusok nagyon szeretik megoldani, elemezni. Heurisztikus szempontból nagyon érdekes és érdekes. Még a matematikusok is szeretik megoldani a Goldbach-feladatot. Hogyan másképp? Hiszen a fiatalokat folyamatosan vonzza minden fényes, ambiciózus és megoldatlan, mert a nehézségek leküzdésével az ember érvényesülhet. Reméljük, hogy ezt a problémát hamarosan megoldják a fiatal, ambiciózus, érdeklődő elmék.
