Síkegyenletek. Szög két sík között

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A sík a ponttal és az egyenessel együtt alapvető geometriai elem. Használatával számos térgeometriai figura épül fel. Ebben a cikkben részletesebben megvizsgáljuk a két sík közötti szög meghatározásának kérdését.

Koncepció

Mielőtt két sík szögéről beszélünk, jól meg kell értened, hogy a geometriában melyik elemről beszélünk. Értsük meg a terminológiát. A sík a térben lévő pontok végtelen gyűjteménye, amelyeket összekapcsolva vektorokat kapunk. Ez utóbbi merőleges lesz valamelyik vektorra. Általában a sík normáljának nevezik.

A fenti ábra egy síkot és két normálvektort mutat be. Látható, hogy mindkét vektor ugyanazon az egyenesen fekszik. A köztük lévő szög 180°o.

Egyenletek

A két sík közötti szög meghatározható, ha ismerjük a vizsgált geometriai elem matematikai egyenletét. Többféle ilyen egyenlet létezik,akiknek a nevei az alábbiakban találhatók:

• általános típus;
• vektor;
• szegmensekben.

Ez a három típus a legkényelmesebb különféle problémák megoldására, ezért ezeket használják a leggyakrabban.

Egy általános típusú egyenlet így néz ki:

Ax + By + Cz + D=0.

Itt x, y, z az adott síkhoz tartozó tetszőleges pont koordinátái. Az A, B, C és D paraméterek számok. Ennek a jelölésnek a kényelme abban rejlik, hogy az A, B, C számok a síkra merőleges vektor koordinátái.

A sík vektorformája a következőképpen ábrázolható:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Itt (a₂, b₂, c₂) és (a ₁, b₁, c₁) - két koordinátavektor paraméterei, amelyek a vizsgált síkhoz tartoznak. A pont (x₀, y₀, z_{0) is ebben a síkban található. Az α és β paraméterek független és tetszőleges értéket vehetnek fel.}

Végül a sík szakaszos egyenlete a következő matematikai formában jelenik meg:

x/p + y/q + z/l=1.

Itt p, q, l konkrét számok (beleértve a negatívakat is). Ez a fajta egyenlet akkor hasznos, ha egy síkot derékszögű koordinátarendszerben kell ábrázolni, mivel a p, q, l számok az x, y és z tengelyek metszéspontjait mutatják.repülőgép.

Ne feledje, hogy minden egyenlettípus egyszerű matematikai műveletekkel konvertálható bármely más egyenletté.

Két sík közötti szög képlete

Most fontolja meg a következő árnyalatot. A háromdimenziós térben két sík csak kétféleképpen helyezhető el. Vagy metszik egymást, vagy párhuzamosak. Két sík között a szög az, ami a vezetővektoraik között van (normál). 2 vektor metszi egymást, 2 szöget alkot (általános esetben hegyes és tompaszög). A síkok közötti szöget hegyesnek tekintjük. Tekintsük az egyenletet.

A két sík közötti szög képlete:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Könnyű kitalálni, hogy ez a kifejezés az n₁¯ és n₂ normálvektorok skaláris szorzatának közvetlen következménye. ¯ a figyelembe vett síkokhoz. A pontszorzat modulusa a számlálóban azt jelzi, hogy a θ szög csak 0^o és 90^{o értékeket vesz fel. A normálvektorok modulusainak szorzata a nevezőben a hosszuk szorzatát jelenti.}

Megjegyzés: ha (n₁¯n_{2¯)=0, akkor a síkok derékszögben metszik egymást.}

Példaprobléma

Miután kitaláltuk, hogy mit nevezünk két sík közötti szögnek, megoldjuk a következő problémát. Mint például. Tehát ki kell számítani az ilyen síkok közötti szöget:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

A feladat megoldásához ismerni kell a síkok irányvektorait. Az első síkra a normálvektor: n₁¯=(2, -3, 0). A második sík normálvektorának megtalálásához meg kell szorozni az α és β paraméterek utáni vektorokat. Az eredmény egy vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

A θ szög meghatározásához az előző bekezdés képletét használjuk. Ezt kapjuk:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

A radiánban számított szög 31.26^o. Így a feladat feltételének síkjai 31-es szögben metszik egymást, 26^o.