Pitagorasz-tétel: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzetének összegével

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

Minden tanuló tudja, hogy a hipotenusz négyzete mindig egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes. Ezt az állítást Pitagorasz-tételnek nevezzük. Ez az egyik leghíresebb tétel a trigonometriában és általában a matematikában. Fontolja meg részletesebben.

A derékszögű háromszög fogalma

Mielőtt megvizsgálnánk a Pitagorasz-tételt, amelyben a hipotenuzusz négyzete egyenlő a négyzetbe helyezett lábak összegével, meg kell vizsgálnunk a derékszögű háromszög fogalmát és tulajdonságait, amelyre a tétel érvényes.

A háromszög egy lapos alak, három szöggel és három oldallal. A derékszögű háromszögnek, ahogy a neve is sugallja, egy derékszöge van, vagyis ez a szög 90o.

Az összes háromszög általános tulajdonságaiból ismert, hogy ennek az ábrának mindhárom szögének összege 180^o, ami azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögnél a háromszög összege két nem megfelelő szög 180^o -90^o=90^o. Az utolsó tény azt jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármely szöge, amely nem derékszög, mindig kisebb lesz 90-nél^o.

A derékszöggel szemben lévő old alt hipotenusznak nevezzük. A másik két oldal a háromszög lábai, lehetnek egyenlőek egymással, vagy eltérhetnek egymástól. A trigonometriából ismert, hogy minél nagyobb a szög, amellyel egy háromszög egy oldal bezárul, annál nagyobb ennek az oldalnak a hossza. Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó (a 90^o szöggel szemben fekszik) mindig nagyobb lesz, mint bármelyik szár (a < 90^{o szögekkel szemben helyezkedik el)).}

A Pitagorasz-tétel matematikai jelölése

Ez a tétel azt mondja, hogy a hipotenúzus négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyikét előzőleg négyzetre vetették. Ennek a megfogalmazásnak a matematikai felírásához tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyben az a, b és c oldalak a két szár, illetve a befogó. Ebben az esetben azt a tételt, amely a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következő képlettel ábrázolhatjuk: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Innen további, a gyakorlás szempontjából fontos képletek is előállíthatók: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) és c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Megjegyzendő, hogy derékszögű egyenlő oldalú háromszög esetén, azaz a=b, a képlet: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyikenégyzetes, matematikailag így írva: c²=a² + b²=2a ^{2, ami az egyenlőséget jelenti: c=a√2.}

Történelmi háttér

A Pitagorasz-tételt, amely szerint a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetes lábak összegével, már jóval azelőtt ismert volt, hogy a híres görög filozófus figyelmet szentelt volna rá. Az ókori Egyiptom sok papirusza, valamint a babilóniaiak agyagtáblája megerősíti, hogy ezek a népek egy derékszögű háromszög oldalainak említett tulajdonságát használták. Például az egyik első egyiptomi piramis, a Khafre piramis, melynek építése a Kr.e. 26. századra nyúlik vissza (2000 évvel Pitagorasz élete előtt), a képarány ismerete alapján épült egy 3x4x5-ös derékszögű háromszögben.

Akkor miért nevezték el a tételt most egy görögről? A válasz egyszerű: Pythagoras az első, aki matematikailag bizonyítja ezt a tételt. A fennmaradt babiloni és egyiptomi írások csak említést tesznek a használatáról, de matematikai bizonyítékkal nem szolgálnak.

Úgy véljük, Pitagorasz a vizsgált tételt hasonló háromszögek tulajdonságainak felhasználásával igazolta, amelyet úgy kapott, hogy egy derékszögű háromszögben egy magasságot rajzolt a 90o-ig terjedő szögből. a hypotenus.

Példa a Pitagorasz-tétel használatára

Vegyünk egy egyszerű problémát: meg kell határozni egy L ferde lépcső hosszát, ha tudjuk, hogy magassága H=3méter, és a f altól való távolság, amelyen a létra felfekszik a lábáig, P=2,5 méter.

Ebben az esetben H és P a lábak, L pedig a hipotenusz. Mivel a befogó hossza megegyezik a lábak négyzeteinek összegével, a következőket kapjuk: L²=H² + P 2^{, ahonnan L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 méter vagy 3 méter és 90,5 cm.}