Az iskolai geometriatanfolyamon rengeteg időt fordítanak a háromszögek tanulmányozására. A tanulók szögeket számolnak, felezőket és magasságokat építenek, megtudják, hogy az alakzatok miben térnek el egymástól, és hogyan találhatják meg legegyszerűbben területüket és kerületüket. Úgy tűnik, ez semmiképpen sem hasznos az életben, de néha mégis hasznos tudni, hogy például hogyan határozható meg, hogy egy háromszög egyenlő oldalú vagy tompaszögű. Hogyan kell csinálni?
Háromszögek típusai
Három pont, amely nem ugyanazon az egyenesen fekszik, és az ezeket összekötő szakaszok. Úgy tűnik, hogy ez a szám a legegyszerűbb. Milyenek lehetnek a háromszögek, ha csak három oldaluk van? Valójában meglehetősen sok lehetőség létezik, és ezek egy része kiemelt figyelmet szentel az iskolai geometria tanfolyam részeként. Az egyenlő oldalú háromszög egyenlő oldalú, vagyis minden szöge és oldala egyenlő. Számos figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkezik, amelyekről később lesz szó.
Az egyenlő szárnak csak két egyenlő oldala van, és ez is elég érdekes. A derékszögű és a tompaszögű háromszögekben, ahogy sejthető, az egyik szög derékszögű vagy tompaszögű. Nál nélez egyenlő szárú is lehet.
Létezik egy különleges háromszög, az egyiptomi. Oldalai 3, 4 és 5 egységesek. Ez azonban téglalap alakú. Úgy gondolják, hogy egy ilyen háromszöget az egyiptomi földmérők és építészek aktívan használtak derékszögek építésére. Úgy tartják, hogy a híres piramisok is ennek segítségével épültek.
És mégis, a háromszög összes csúcsa egy egyenesen feküdhet. Ebben az esetben degeneráltnak nevezzük, míg az összes többit nem degeneráltnak. Ezek a geometria tanulmányozásának egyik tárgya.
Egyenlő oldalú háromszög
Természetesen mindig a helyes számadatok a legérdekesebbek. Tökéletesebbnek, kecsesebbnek tűnnek. A jellemzőik kiszámítására szolgáló képletek gyakran egyszerűbbek és rövidebbek, mint a hagyományos ábrák esetében. Ez vonatkozik a háromszögekre is. Nem meglepő, hogy a geometria tanulmányozása során nagy figyelmet fordítanak rájuk: az iskolásokat megtanítják megkülönböztetni a szabályos alakzatokat a többitől, és beszélni néhány érdekes jellemzőjükről.
Jelek és tulajdonságok
Ahogy a névből sejthető, egy egyenlő oldalú háromszög mindkét oldala egyenlő a másik kettővel. Ezen kívül számos funkcióval rendelkezik, amelyeknek köszönhetően megállapítható, hogy az ábra helyes-e vagy sem.
- minden szöge egyenlő, értékük 60 fok;
- az egyes csúcsokból húzott felezők, magasságok és mediánok azonosak;
- a szabályos háromszögnek 3 szimmetriatengelye vannem változik 120 fokkal elforgatva.
- a beírt kör középpontja egyben a körülírt kör középpontja és a mediánok, felezők, magasságok és merőleges felezők metszéspontja is.
Ha a fenti jelek közül legalább az egyik megfigyelhető, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Normál ábra esetén a fenti állítások mindegyike igaz.
Minden háromszögnek számos figyelemre méltó tulajdonsága van. Először is, a középső vonal, vagyis a két old alt kettéosztó és a harmadikkal párhuzamos szakasz egyenlő az alap felével. Másodszor, ennek a számnak az összes szögének összege mindig 180 fokkal egyenlő. Ezen kívül van még egy érdekes kapcsolat a háromszögekben. Tehát a nagyobb oldallal szemben egy nagyobb szög van, és fordítva. De ennek természetesen semmi köze egy egyenlő oldalú háromszöghez, mert minden szöge egyenlő.
Beírt és körülírt körök
Nem ritka, hogy a geometria kurzuson részt vevő hallgatók azt is megtanulják, hogyan hatnak egymásra az alakzatok. Különösen a sokszögekbe írt vagy körülöttük leírt köröket tanulmányozzák. Miről van szó?
A beírt kör olyan kör, amelyre a sokszög minden oldala érintőleges. Leírva - az, amelynek minden sarokkal érintkezési pontja van. Minden háromszöghez mindig meg lehet építeni az első és a második kört is, de mindegyik típusból csak egyet. Bizonyíték erre a kettőre
tételek megadvaiskolai geometria tanfolyam.
A háromszögek paramétereinek kiszámításán túl egyes feladatok magukban foglalják e körök sugarának kiszámítását is. És az egyenlő oldalú háromszög képlete így néz ki:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
ahol r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, a a háromszög oldalának hossza.
Magasság, kerület és terület kiszámítása
A fő paraméterek, amelyeket az iskolások a geometria tanulása közben számítanak ki, szinte minden szám esetében változatlanok maradnak. Ezek a kerület, a terület és a magasság. A számítás megkönnyítése érdekében különféle képletek állnak rendelkezésre.
Tehát a kerületet, vagyis az összes oldal hosszát a következő módon számítjuk ki:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, ahol a egy szabályos háromszög oldala, R a körülírt kör sugara, r a beírt kör.
Magasság:
h=(√ ̅3/2)a, ahol a az oldal hossza.
Végül az egyenlő oldalú háromszög területének képlete a standard képletből származik, azaz az alap felének és magasságának szorzatából.
S=(√ ̅3/4)a2, ahol a az oldal hossza.
Ez az érték a körülírt vagy beírt kör paraméterein keresztül is kiszámítható. Erre is vannak speciális képletek:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, ahol r és R a ráírt és körülírt körök sugarai.
Épület
Még egyEgy érdekes feladattípus, beleértve a háromszögeket, kapcsolódik ahhoz, hogy egy vagy másik alakzatot kell rajzolni a minimális készlettel
eszközök: iránytű és vonalzó osztás nélkül.
Néhány lépést vesz igénybe egy megfelelő háromszög felépítése ezekkel az eszközökkel.
- Kört kell rajzolnia tetszőleges sugarú és tetszőleges A pontban középre. Ezt meg kell jelölni.
- Ezután egy egyenes vonalat kell húznia ezen a ponton.
- A kör és az egyenes metszéspontjait B-vel és C-vel kell jelölni. Minden építkezést a lehető legnagyobb pontossággal kell végrehajtani.
- Ezután egy másik, azonos sugarú és középpontú kört kell felépítenie a C pontban vagy egy ívet a megfelelő paraméterekkel. A kereszteződések D és F jelzéssel lesznek megjelölve.
- A B, F, D pontokat szegmensekkel kell összekötni. Egy egyenlő oldalú háromszög készül.
Az ilyen problémák megoldása általában problémát jelent az iskolásoknak, de ez a készség hasznos lehet a mindennapi életben.
