Az axiomatikus módszer a már megalapozott tudományos elméletek felépítésének módja. Érvekre, tényekre, állításokra épül, amelyek nem igényelnek bizonyítást vagy cáfolást. Valójában a tudásnak ez a változata deduktív struktúra formájában jelenik meg, amely kezdetben a tartalom logikai alátámasztását tartalmazza az alapok - axiómák - alapján.
Ez a módszer nem lehet felfedezés, hanem csak osztályozó fogalom. Tanításra alkalmasabb. Az alap tartalmazza a kezdeti rendelkezéseket, a többi információ pedig logikus következményként következik. Hol van az elméletalkotás axiomatikus módszere? Ez a legtöbb modern és megalapozott tudomány magja.
Az axiomatikus módszer fogalmának kialakulása, fejlődése, a szó meghatározása
Először is, ez a fogalom az ókori Görögországban merült fel Eukleidésznek köszönhetően. Ő lett az axiomatikus módszer megalapítója a geometriában. Ma már minden tudományban általános, de leginkább a matematikában. Ezt a módszert megállapított állítások alapján alakítják ki, és az ezt követő elméleteket logikai konstrukcióval vezetik le.
Ez a következőképpen magyarázható: vannak olyan szavak és fogalmak, amelyekmás fogalmak határozzák meg. Ennek eredményeként a kutatók arra a következtetésre jutottak, hogy vannak olyan elemi következtetések, amelyek indokoltak és állandóak - alapvető, azaz axiómák. Például egy tétel bizonyításakor általában olyan tényekre támaszkodnak, amelyek már jól megalapozottak, és nem igényelnek cáfolatokat.
Előtte azonban ezeket alá kellett támasztani. A folyamat során kiderül, hogy egy indokolatlan állítást axiómának tekintünk. Konstans fogalmak halmaza alapján más tételek is bizonyításra kerülnek. Ezek képezik a planimetria alapját és a geometria logikai szerkezetét. Ebben a tudományban a megállapított axiómákat bármilyen természetű objektumként határozzák meg. Ezeknek viszont vannak olyan tulajdonságaik, amelyeket konstans fogalmak határoznak meg.
Az axiómák további feltárása
A módszert a tizenkilencedik századig ideálisnak tartották. Az alapfogalmak keresésének logikai eszközeit akkoriban nem tanulmányozták, de az Eukleidész-rendszerben megfigyelhető az axiomatikus módszerből származó értelmes konzekvenciák levonásának szerkezete. A tudós kutatása megmutatta azt az ötletet, hogyan lehet egy tisztán deduktív úton alapuló teljes geometriai tudásrendszert megszerezni. Viszonylag kis számú állítólagos axiómát ajánlottak fel nekik, amelyek bizonyíthatóan igazak.
Az ókori görög elmék érdeme
Eukleidész számos koncepciót bebizonyított, és ezek egy része igazolt is. A többség azonban Pythagorasnak, Démokritosznak és Hippokratésznek tulajdonítja ezeket az érdemeket. Utóbbi a geometria teljes tanfolyamát állította össze. Igaz, később Alexandriában került elő"Kezdet" gyűjtemény, amelynek szerzője Eukleidész volt. Ezután átnevezték "Elementary Geometry"-re. Egy idő után néhány indok alapján kritizálni kezdték:
- minden érték csak vonalzóval és iránytűvel készült;
- a geometriát és az aritmetikát elválasztottuk, és érvényes számokkal és fogalmakkal igazoltuk;
- axiómák, némelyikük, különösen az ötödik posztulátum, azt javasolták, hogy töröljék az általános listáról.
Ennek eredményeként a 19. században megjelenik a nem euklideszi geometria, amelyben nincs objektíven igaz posztulátum. Ez az akció lendületet adott a geometriai rendszer továbbfejlesztésének. Így a matematikai kutatók eljutottak a deduktív konstrukciós módszerekig.
Matematikai ismeretek fejlesztése axiómák alapján
Amikor a geometria új rendszere kezdett kialakulni, az axiomatikus módszer is megváltozott. A matematikában gyakrabban kezdtek a tisztán deduktív elméleti konstrukció felé fordulni. Ennek eredményeként a modern numerikus logikában, amely minden tudomány fő része, a bizonyítások egész rendszere jött létre. A matematikai szerkezetben kezdte megérteni az igazolás szükségességét.
Így a század végére világos feladatok és összetett fogalmak felépítése alakult ki, amelyek egy összetett tételből a legegyszerűbb logikai kijelentésre redukálódtak. Így a nemeuklideszi geometria szilárd alapot serkentett az axiomatikus módszer további létéhez, valamint általános jellegű problémák megoldásához.matematikai konstrukciók:
- konzisztencia;
- teljesség;
- függetlenség.
A folyamat során egy értelmezési módszer jelent meg és sikeresen kidolgozásra került. Ezt a módszert a következőképpen írjuk le: az elméletben minden kimeneti koncepcióhoz beállítunk egy matematikai objektumot, amelynek összességét mezőnek nevezzük. A megadott elemekre vonatkozó állítás lehet hamis vagy igaz. Ennek eredményeként az állításokat a következtetések függvényében nevezik el.
Az értelmezéselmélet jellemzői
A matematikai rendszerben általában a mezőt és a tulajdonságokat is figyelembe veszik, és ez axiomatikussá válhat. Az értelmezés olyan állításokat bizonyít, amelyekben viszonylagos konzisztencia van. Egy további lehetőség számos tény, amelyekben az elmélet ellentmondásossá válik.
Tény, hogy a feltétel bizonyos esetekben teljesül. Ennek eredményeként kiderül, hogy ha az egyik állítás állításaiban két hamis vagy igaz fogalom található, akkor az negatívnak vagy pozitívnak minősül. Ezzel a módszerrel igazolták Euklidész geometriája konzisztenciáját. Az interpretációs módszerrel megoldható az axiómarendszerek függetlenségének kérdése. Ha bármelyik elméletet meg kell cáfolni, akkor elég bebizonyítani, hogy az egyik fogalom nem a másikból származik, és hibás.
A sikeres kijelentések mellett azonban a módszernek vannak gyengeségei is. Az axiómarendszerek következetességét és függetlenségét olyan kérdésekként oldják meg, amelyek relatív eredményeket kapnak. Az értelmezés egyetlen fontos vívmánya azaz aritmetika szerepének felfedezése olyan struktúraként, amelyben a következetesség kérdése számos más tudományra redukálódik.
Az axiomatikus matematika modern fejlesztése
Gilbert munkásságában kezdett kialakulni az axiomatikus módszer. Iskolájában maga az elmélet és a formális rendszer fogalma is tisztázódott. Ennek eredményeként egy általános rendszer alakult ki, és a matematikai objektumok precízek lettek. Emellett lehetővé vált az indoklás kérdéseinek megoldása is. Így egy formális rendszert egy egzakt osztály alkot, amely képletek és tételek alrendszereit tartalmazza.
E szerkezet felépítéséhez csak a technikai kényelem kell vezérelnie, mert nincs szemantikai terhelésük. Jelekkel, szimbólumokkal írhatók fel. Vagyis maga a rendszer úgy van felépítve, hogy a formális elmélet megfelelően és maradéktalanul alkalmazható legyen.
Ennek eredményeként egy konkrét matematikai cél vagy feladat tényszerű tartalomra vagy deduktív érvelésre épülő elméletbe kerül. A numerikus tudomány nyelve átkerül egy formális rendszerbe, a folyamat során minden konkrét és értelmes kifejezést a képlet határoz meg.
Formalizálási módszer
A dolgok természetes állapotában egy ilyen módszer képes lesz olyan globális problémák megoldására, mint a következetesség, valamint a matematikai elméletek pozitív esszenciáját építeni a származtatott képletek alapján. És alapvetően mindezt egy bevált állításokon alapuló formális rendszer fogja megoldani. A matematikai elméleteket folyamatosan bonyolították az igazolások, illGilbert azt javasolta, hogy véges módszerekkel vizsgálják ezt a szerkezetet. De ez a program kudarcot vallott. Gödel eredményei már a huszadik században a következő következtetésekhez vezettek:
- a természetes következetesség lehetetlen, mivel a formalizált aritmetika vagy más hasonló tudomány ebből a rendszerből hiányos lesz;
- megoldhatatlan képletek jelentek meg;
- az állítások bizonyíthatatlanok.
A valódi ítéletek és az ésszerű véges kidolgozás formalizálhatónak tekinthető. Ezt szem előtt tartva az axiomatikus módszernek bizonyos és világos határai és lehetőségei vannak ezen az elméleten belül.
Axiómák fejlesztésének eredményei a matematikusok munkáiban
Annak ellenére, hogy egyes ítéleteket megcáfoltak és nem megfelelően dolgoztak ki, a konstans fogalmak módszere jelentős szerepet játszik a matematika alapjainak kialakításában. Ezenkívül az értelmezés és az axiomatikus módszer a tudományban feltárta a konzisztencia, a választási állítások és hipotézisek függetlenségének alapvető eredményeit a többszörös elméletben.
A konzisztencia kérdésének kezelésében a lényeg az, hogy ne csak a kialakult fogalmakat alkalmazzuk. Ezeket is ki kell egészíteni a véges kikészítés ötleteivel, koncepcióival és eszközeivel. Ebben az esetben különféle nézeteket, módszereket, elméleteket vesznek figyelembe, amelyeknek figyelembe kell venniük a logikai jelentést és az indoklást.
A formális rendszer konzisztenciája az aritmetika hasonló befejezését jelzi, amely indukción, számláláson, transzfinit számon alapul. Tudományos területen az axiomatizálás a legfontosabbolyan eszköz, amely megcáfolhatatlan fogalmakat és kijelentéseket tartalmaz, amelyeket alapul vesznek.
A kezdeti állítások lényege és szerepük az elméletekben
Egy axiomatikus módszer értékelése azt jelzi, hogy valamilyen struktúra a lényegében rejlik. Ez a rendszer a mögöttes fogalom azonosításából és az alapvető állításokból épül fel, amelyek nem definiáltak. Ugyanez történik az eredetinek tekintett és bizonyítás nélkül elfogadott tételekkel is. A természettudományokban az ilyen állításokat szabályok, feltételezések, törvények támasztják alá.
Ezután megtörténik a kialakult érvelési alapok rögzítésének folyamata. Általában azonnal jelzik, hogy egy másik pozícióból következtetnek egy másikat, és közben kijön a többi, ami lényegében egybeesik a deduktív módszerrel.
A rendszer jellemzői a modern időkben
Az axiomatikus rendszer a következőket tartalmazza:
- logikus következtetések;
- kifejezések és meghatározások;
- részben helytelen állítások és fogalmak.
A modern tudományban ez a módszer elvesztette absztraktságát. Az euklideszi geometriai axiomatizálás intuitív és igaz tételeken alapult. Az elméletet pedig egyedi, természetes módon értelmezték. Ma az axióma egy önmagában is nyilvánvaló rendelkezés, és a megegyezés, és bármilyen megegyezés is működhet kezdeti fogalomként, amely nem igényel indoklást. Ennek eredményeként az eredeti értékek távolról sem leíró jellegűek. Ez a módszer kreativitást, a kapcsolatok és a mögöttes elméletek ismeretét kívánja meg.
A következtetések levonásának alapelvei
A deduktív axiomatikus módszer egy bizonyos séma szerint felépített tudományos ismeret, amely helyesen megvalósított hipotéziseken alapul, empirikus tényekre vonatkozó megállapításokat levezetve. Egy ilyen következtetés logikai struktúrák alapján, kemény levezetéssel épül fel. Az axiómák kezdetben megdönthetetlen állítások, amelyek nem igényelnek bizonyítást.
A dedukció során bizonyos követelmények vonatkoznak a kezdeti fogalmakra: következetesség, teljesség, függetlenség. A gyakorlat azt mutatja, hogy az első feltétel formális logikai ismereteken alapul. Vagyis az elméletnek ne legyen az igazság és hamisság jelentése, mert többé nem lesz értelme és értéke.
Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor összeegyeztethetetlennek minősül, és minden értelme elvész benne, mert elvész az igazság és a hamisság közötti szemantikai terhelés. Deduktív értelemben az axiomatikus módszer a tudományos ismeretek megalkotásának és alátámasztásának egyik módja.
A módszer gyakorlati alkalmazása
A tudományos ismeretek felépítésének axiomatikus módszerének gyakorlati alkalmazása van. Valójában ez a módszer befolyásolja és globális jelentőséggel bír a matematika számára, bár ez a tudás már elérte a csúcsát. Példák az axiomatikus módszerre a következők:
- affin síkok három utasítással és egy definícióval rendelkeznek;
- az ekvivalenciaelméletnek három bizonyítása van;
- bináris relációk definíciók, fogalmak és további gyakorlatok rendszerére vannak osztva.
Ha meg akarod fogalmazni az eredeti jelentést, ismerned kell a halmazok és elemek természetét. Lényegében az axiomatikus módszer képezte a tudomány különböző területeinek alapját.
