A koszinusz deriváltját a szinusz deriváltjával analógia útján találjuk meg, a bizonyítás alapja a függvény határának meghatározása. Használhat másik módszert is, a szögek koszinuszának és szinuszának trigonometrikus redukciós képleteivel. Fejezzen ki egy függvényt egy másikkal - koszinuszként szinuszban, és különböztesse meg a szinuszát egy összetett argumentummal.
Vegyük az első példát a (Cos(x)) képlet származtatására'
Adjon egy elhanyagolhatóan kis Δx növekményt az y=Cos(x) függvény x argumentumához. Az х+Δх argumentum új értékével a Cos(х+Δх) függvény új értékét kapjuk. Ekkor a Δy függvénynövekmény egyenlő lesz a Cos(х+Δx)-Cos(x) értékkel.
A függvény növekményének Δх-hez viszonyított aránya a következő lesz: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Végezzünk el azonos transzformációkat a kapott tört számlálójában. Emlékezzünk vissza a szögek koszinuszai különbségének képletére, az eredmény a -2Sin (Δx / 2) szorzata Sin (x + Δx / 2) szorzata lesz. Megtaláljuk ennek a szorzatnak a lim-hányadosának határát Δx-en, mivel Δx nullára hajlik. Ismeretes, hogy az első(ezt csodálatosnak nevezik) a lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) határérték 1, a -Sin(x+Δx/2) határérték pedig egyenlő -Sin(x) mint Δx nullára hajlik. Írja fel az eredményt: (Cos(x))' deriváltja egyenlő - Sin(x).
Vannak, akik a második módszert részesítik előnyben ugyanazon képlet származtatására
A trigonometria során ismert: Cos(x) egyenlő Sin(0, 5 ∏-x), hasonlóképpen Sin(x) egyenlő Cos(0, 5 ∏-x). Ekkor megkülönböztetünk egy komplex függvényt - a járulékos szög szinuszát (az x koszinusz helyett).
A Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' szorzatot kapjuk, mert az x szinusz deriváltja egyenlő az X koszinusszal. Rátérünk a koszinusz szinuszra cserélésének Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) képletére, figyelembe véve, hogy (0,5 ∏-x)'=-1. Most megkapjuk a -Sin(x). Tehát, a koszinusz deriváltja megtalálható, y'=-Sin(x) az y=Cos(x) függvényre.
Négyzetes koszinusz derivált
Gyakran használt példa, ahol a koszinusz deriváltot használjuk. Az y=Cos2(x) függvény nehéz. Először megkeressük a hatványfüggvény 2-es kitevőjű differenciálját, ez 2·Cos(x) lesz, majd megszorozzuk a (Cos(x))' deriválttal, amely egyenlő -Sin(x) -vel. Azt kapjuk, hogy y'=-2 Cos(x) Sin(x). Ha a Sin(2x) képletet, egy kettős szög szinuszát alkalmazzuk, a végső egyszerűsítettválasz y'=-Sin(2x)
Hiperbolikus függvények
Számos műszaki tudományág tanulmányozásában használják őket: a matematikában például megkönnyítik az integrálszámítást, a differenciálegyenletek megoldását. Képzetes trigonometrikus függvényekkel fejezik kiargumentum, tehát a hiperbolikus koszinusz ch(x)=Cos(i x), ahol i az imaginárius egység, a hiperbolikus szinusz sh(x)=Sin(i x).
A hiperbolikus koszinusz deriváltja meglehetősen egyszerűen kiszámítható.
Vegyük figyelembe az y=(ex+e-x) függvényt. /2, ez és a ch(x) hiperbolikus koszinusz. Használjuk a két kifejezés összegének deriváltjának megtalálására vonatkozó szabályt, a konstans tényező (Const) a derivált előjeléből való kiemelésének szabályát. A második tag 0,5 e-x egy komplex függvény (a deriváltja -0,5 e-x), 0,5 eх ― az első kifejezés. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' írható más módon: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, mert a származék (e - x)' egyenlő -1-szerese e-x. Az eredmény egy különbség, és ez az sh(x) hiperbolikus szinusz.Kimenet: (ch(x))'=sh(x).
Nézzünk egy példát arra, hogyan számítsa ki az y=ch(x
3+1) függvény deriváltját.A hiperbolikus koszinusz-differenciálási szabály szerint komplex argumentummal y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', ahol (x3+1)'=3 x 2+0. Válasz: ennek a függvénynek a deriváltja: 3 x
2sh(x3+1).
A figyelembe vett függvények táblázatos deriváltjai y=ch(x) és y=Cos(x)
Példák megoldása során nem kell minden alkalommal a javasolt séma szerint megkülönböztetni őket, elég a következtetést használni.
Példa. Differenciáld az y=függvénytCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Könnyen kiszámítható (táblázatos adatok használata), y'=-Sin(x) +Sin(2x)-5 Sh(5x).
