A matematikai feladatokat számos tudomány alkalmazza. Ide tartozik nemcsak a fizika, a kémia, a műszaki és a közgazdaságtan, hanem az orvostudomány, az ökológia és más tudományok is. Az egyik fontos fogalom, amelyet el kell sajátítani a fontos dilemmák megoldásához, a függvény deriváltja. Ennek fizikai jelentését egyáltalán nem olyan nehéz megmagyarázni, mint amilyennek az avatatlannak tűnhet a kérdés lényegében. Elég, ha erre megfelelő példákat találunk a való életben és a hétköznapi helyzetekben. Valójában minden autós hasonló feladattal birkózik meg minden nap, amikor ránéz a sebességmérőre, és meghatározza autója sebességét egy adott pillanatban, egy meghatározott időpontban. Hiszen ebben a paraméterben rejlik a származék fizikai jelentésének lényege.
Hogyan találjuk meg a sebességet
Határozza meg egy személy sebességét az úton, a megtett távolság és az utazási idő ismeretében minden ötödik osztályos tanuló könnyedén meg tudja határozni. Ehhez a megadott értékek közül az elsőt el kell osztani a másodikkal. Denem minden fiatal matematikus tudja, hogy jelenleg egy függvény és egy argumentum növekményeinek arányát találja meg. Valóban, ha a mozgást grafikon formájában képzeljük el, az utat az y tengely mentén és az időt az abszcissza mentén, akkor pontosan így lesz.
Azonban egy gyalogos vagy bármely más objektum sebessége, amelyet az út nagy szakaszán, egyenletes mozgást figyelembe véve határozunk meg, változhat. A fizikában számos mozgásforma létezik. Nem csak állandó gyorsítással, hanem tetszőleges módon lassíthatjuk és növelhetjük is. Megjegyzendő, hogy ebben az esetben a mozgást leíró vonal már nem lesz egyenes. Grafikailag a legbonyolultabb konfigurációkat is fel tudja venni. De a grafikon bármelyik pontjára mindig rajzolhatunk egy lineáris függvény által reprezentált érintőt.
Az időtől függő elmozdulásváltozás paraméterének tisztázásához szükséges a mért szakaszok lerövidítése. Amikor végtelenül kicsik lesznek, a számított sebesség pillanatnyi lesz. Ez a tapasztalat segít a származék meghatározásában. Fizikai jelentése is logikusan következik az ilyen érvelésből.
A geometria szempontjából
Ismerhető, hogy minél nagyobb a test sebessége, annál meredekebb az elmozdulás időfüggőségének grafikonja, és ennélfogva a grafikon érintőjének dőlésszöge egy bizonyos pontban. Az ilyen változások jelzője lehet az x tengely és az érintővonal közötti szög érintője. Csak a derivált értékét határozza meg, és a hosszúságok aránya alapján számítja kia szomszédos szárral szemben egy derékszögű háromszögben, amelyet valamely pontból az x tengelyre ejtett merőleges alkot.
Ez az első derivált geometriai jelentése. A fizikai abban mutatkozik meg, hogy a szemközti láb értéke esetünkben a megtett távolság, a szomszédosé pedig az idő. Arányuk a sebesség. És ismét arra a következtetésre jutunk, hogy a pillanatnyi sebesség, amelyet akkor határoznak meg, amikor mindkét rés végtelenül kicsinyedik, a származék fogalmának lényege, jelezve annak fizikai jelentését. A második derivált ebben a példában a test gyorsulása lesz, ami viszont a sebesség változásának mértékét mutatja.
Példák származékok megtalálására a fizikában
A derivált bármely függvény változási sebességének mutatója, még akkor is, ha nem a szó szó szerinti értelmében vett mozgásról beszélünk. Ennek világos bemutatása érdekében vegyünk néhány konkrét példát. Tegyük fel, hogy az áramerősség időtől függően a következő törvény szerint változik: I=0, 4t2. Meg kell találni annak a sebességnek az értékét, amellyel ez a paraméter változik a folyamat 8. másodpercének végén. Vegye figyelembe, hogy maga a kívánt érték, amint azt az egyenletből meg lehet ítélni, folyamatosan növekszik.
A megoldásához meg kell találni az első származékot, amelynek fizikai jelentését korábban figyelembe vettük. Itt dI / dt=0,8t. Ezután t \u003d 8-nál találjuk, és azt kapjuk, hogy az áramerősség változási sebessége 6,4 A / c. Itt úgy tartják, hogyaz áramerősség mérése amperben, az idő pedig másodpercben történik.
Minden változik
A látható környező, anyagból álló világ folyamatosan változik, mozgásban van a benne végbemenő különféle folyamatok során. Ezek leírására többféle paraméter használható. Ha a függőség egyesíti őket, akkor matematikailag olyan függvényként vannak felírva, amely egyértelműen mutatja változásaikat. És ahol mozgás van (bármilyen formában is fejeződik ki), ott van egy származék is, amelynek fizikai jelentését jelenleg vizsgáljuk.
Ebből az alkalomból a következő példa. Tegyük fel, hogy a testhőmérséklet a T=0, 2 t 2 törvény szerint változik. A felmelegedés mértékét a 10. másodperc végén kell megtalálnia. A probléma megoldása az előző esetben leírthoz hasonló módon történik. Vagyis megtaláljuk a deriváltot, és behelyettesítjük a t \u003d 10 értékét, így T \u003d 0, 4 t \u003d 4-et kapunk. Ez azt jelenti, hogy a végső válasz másodpercenként 4 fok, vagyis a fűtési folyamat. és a hőmérséklet-változás fokban mérve pontosan ilyen sebességgel történik.
Gyakorlati problémák megoldása
Természetesen a való életben minden sokkal bonyolultabb, mint az elméleti problémákban. A gyakorlatban a mennyiségek értékét általában a kísérlet során határozzák meg. Ebben az esetben olyan műszereket használnak, amelyek bizonyos hibával adnak leolvasást a mérések során. Ezért a számításoknál a paraméterek hozzávetőleges értékeivel kell számolni, és a kényelmetlen számok kerekítését kell alkalmazni,valamint egyéb egyszerűsítések. Ezt figyelembe véve ismét a derivált fizikai jelentésével kapcsolatos problémákra térünk rá, mivel ezek csak egyfajta matematikai modellek a természetben előforduló legösszetettebb folyamatoknak.
Vulkánkitörés
Képzeljük el, hogy egy vulkán kitör. Mennyire lehet veszélyes? A kérdés megválaszolásához számos tényezőt kell figyelembe venni. Megpróbáljuk befogadni az egyiket.
A "tüzes szörny" torkolatából a kövek függőlegesen felfelé dobódnak, kezdeti sebességük a kilépés pillanatától a kifelé haladva 120 m/s. Ki kell számolni, hogy mekkora magasságot érhetnek el.
A kívánt érték megtalálásához összeállítunk egy egyenletet a méterben mért H magasság más értékektől való függésére. Ide tartozik a kezdeti sebesség és az idő. A gyorsulási érték ismertnek tekinthető, és megközelítőleg egyenlő 10 m/s2.
Részleges származékos
Most nézzük meg egy függvény deriváltjának fizikai jelentését egy kicsit más szögből, mert maga az egyenlet nem egy, hanem több változót is tartalmazhat. Például az előző feladatban a vulkán szellőzőnyílásából kilökődő kövek magasságának függését nemcsak az időbeli karakterisztikák változása, hanem a kezdeti sebesség értéke is meghatározta. Ez utóbbi állandó, fix értéknek számított. De más feladatokban, teljesen más feltételek mellett, minden másképp lehet. Ha a mennyiségek, amelyeken a komplexfüggvény, több, számítások az alábbi képletek szerint készülnek.
A gyakori származék fizikai jelentését a szokásos esetben kell meghatározni. Ez az a sebesség, amellyel a függvény egy adott ponton változik, ahogy a változó paramétere nő. Kiszámítása úgy történik, hogy az összes többi komponenst állandónak vesszük, csak az egyiket tekintjük változónak. Ezután minden a szokásos szabályok szerint történik.
Sok kérdésben nélkülözhetetlen tanácsadó
A származék fizikai jelentését megértve nem nehéz olyan bonyolult és összetett problémák megoldására példákat hozni, amelyekre ilyen ismeretek birtokában a válasz is megtalálható. Ha van egy függvényünk, ami leírja az autó sebességétől függő üzemanyag-fogyasztást, akkor kiszámolhatjuk, hogy ez utóbbinak mely paramétereinél lesz a legkisebb a benzinfogyasztás.
Az orvostudományban megjósolhatja, hogyan reagál az emberi szervezet az orvos által felírt gyógyszerre. A gyógyszer bevétele számos fiziológiai paramétert befolyásol. Ezek közé tartozik a vérnyomás, a pulzusszám, a testhőmérséklet és egyebek változása. Mindegyik a bevitt gyógyszer dózisától függ. Ezek a számítások segítenek megjósolni a kezelés lefolyását, mind a kedvező megnyilvánulások, mind a nem kívánatos balesetek esetén, amelyek végzetesen befolyásolhatják a beteg szervezetében bekövetkező változásokat.
Kétségtelenül fontos megérteni a származék fizikai jelentését műszaki értelembenkérdések, különösen az elektrotechnika, elektronika, tervezés és kivitelezés területén.
Féktávolság
Nézzük meg a következő problémát. Az állandó sebességgel haladó autónak a hídhoz közeledve a bejárat előtt 10 másodperccel le kellett lassítania, mivel a sofőr egy 36 km/h-nál nagyobb sebességgel történő mozgást tiltó táblát vett észre. Megsértette-e a sofőr a szabályokat, ha a féktávolság a következő képlettel írható le: S=26t - t2?
Az első deriváltot kiszámítva megtaláljuk a sebesség képletét, v=28 – 2t. Ezután cserélje be a t=10 értéket a megadott kifejezésbe.
Mivel ezt az értéket másodpercben adták meg, a sebesség 8 m/s, ami 28,8 km/h-t jelent. Ez lehetővé teszi annak megértését, hogy a sofőr időben lassítani kezdett, és nem sértette meg a KRESZ-t, és ezért a sebességkorlátozást sem.
Ez bizonyítja a származék fizikai jelentésének fontosságát. A probléma megoldásának egy példája jól mutatja, hogy ez a fogalom milyen széleskörűen alkalmazható az élet különböző területein. A mindennapi helyzetekben is.
Származék a közgazdaságtanban
A 19. századig a közgazdászok többnyire átlagon működtek, legyen szó a munkatermelékenységről vagy a kibocsátás áráról. De egy bizonyos ponttól kezdve a határértékek szükségesebbé váltak a hatékony előrejelzések készítéséhez ezen a területen. Ide tartozik a határhaszon, a bevétel vagy a költség. Ennek megértése lendületet adott a gazdaságkutatás egy teljesen új eszközének megalkotásához,amely több mint száz éve létezik és fejlődött.
Az ilyen számítások elvégzéséhez, ahol a minimum és maximum fogalmak dominálnak, egyszerűen meg kell érteni a derivált geometriai és fizikai jelentését. E tudományágak elméleti alapjainak megalkotói között olyan kiemelkedő angol és osztrák közgazdászokat lehet megnevezni, mint US Jevons, K. Menger és mások. Természetesen a gazdasági számítások határértékei nem mindig kényelmesek. És például a negyedéves jelentések nem feltétlenül illeszkednek a meglévő rendszerbe, de ennek ellenére egy ilyen elmélet alkalmazása sok esetben hasznos és hatékony.
