Gyakran a feladatok megoldása során meg kell találni, hogy egy adott szám osztható-e egy adott számjeggyel maradék nélkül. De minden alkalommal nagyon hosszú időbe telik megosztani. Ezenkívül nagy a valószínűsége annak, hogy hibáznak a számítások során, és kikerülnek a helyes válasz elől. A probléma elkerülése érdekében az alapprímszámokra vagy egyjegyű számokra való oszthatóság jeleit találtuk: 2, 3, 9, 11. De mi van, ha egy másik, nagyobb számmal kell osztani? Például hogyan kell kiszámítani a 15-tel való oszthatóság előjelét? Ebben a cikkben megpróbáljuk megtalálni a választ erre a kérdésre.
Hogyan fogalmazzuk meg a 15-tel oszthatósági tesztet?
Ha az oszthatóság jelei jól ismertek a prímszámoknál, akkor mi a teendő a többivel?
Ha a szám nem prím, akkor faktorálható. Például 33 3 és 11 szorzata, 45 pedig 9 és 5. Van egy tulajdonság, amely szerint egy szám osztható egy adott számmal anélkül, hogymaradék, ha mindkét tényezővel osztható. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges nagy szám ábrázolható prímszámok formájában, és ezek alapján megfogalmazhatjuk az oszthatóság jelét.
Tehát meg kell találnunk, hogy ez a szám osztható-e 15-tel. Ehhez nézzük meg részletesebben. A 15-ös szám ábrázolható 3 és 5 szorzataként. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 15-tel, 3 és 5 többszörösének kell lennie. Ez a 15-tel való oszthatóság jele. a jövőben részletesebben megvizsgáljuk és pontosabban fogalmazzuk meg.
Honnan tudja, hogy egy szám osztható 3-mal?
Idézzük fel a 3-mal oszthatóság tesztjét.
Egy szám osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege (egyesek, tízesek, százak stb.) osztható 3-mal.
Így például meg kell találnia, hogy ezek közül a számok közül melyik osztható 3-mal maradék nélkül: 76348, 24606, 1128904, 540813.
Természetesen feloszthatja ezeket a számokat egy oszlopra, de ez sok időt vesz igénybe. Ezért a 3-mal való oszthatóság kritériumát fogjuk használni.
- 7 + 6 + 3 + 4 + 8=28. A 28-as szám nem osztható 3-mal, így a 76348 nem osztható 3-mal.
- 2 + 4 + 6 + 0 + 6=18. A 18-as szám osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy ez a szám is osztható 3-mal maradék nélkül. Valóban, 24 606: 3=8 202.
Elemezze a többi számot ugyanúgy:
- 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4=25. A 25-ös szám nem osztható 3-mal. Tehát 1 128 904 nem osztható 3-mal.
- 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3=21. A 21 szám osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy 540 813 osztható 3-mal. (540 813: 3=180271)
Válasz: 24 606 és 540 813.
Mikor osztható egy szám 5-tel?
Azonban az a jel, hogy egy szám osztható 15-tel, nemcsak 3-mal osztható, hanem ötös szorzata is.
Az 5-tel osztható jele a következő: egy szám osztható 5-tel, ha 5-re vagy 0-ra végződik.
Például meg kell találnia az 5 többszöröseit: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900
Az 11467 és 909 számok nem oszthatók 5-tel.
A 670, 840 435 és 67 900 számok 0-ra vagy 5-re végződnek, ami azt jelenti, hogy 5 többszörösei.
Példák megoldással
Tehát, most már teljesen meg tudjuk fogalmazni a 15-tel oszthatóság előjelét: egy szám akkor osztható 15-tel, ha a számjegyeinek összege 3 többszöröse, és az utolsó számjegy 5 vagy 0. Ez fontos megjegyezni, hogy mindkét feltételnek egyszerre kell teljesülnie. Ellenkező esetben olyan számot kapunk, amely nem 15 többszöröse, hanem csak 3 vagy 5.
A számok 15-tel osztható jele nagyon gyakran szükséges az ellenőrzési és vizsgálati feladatok megoldásához. Például a matematika vizsga alapszintjén gyakran vannak olyan feladatok, amelyek az adott téma megértésén alapulnak. Tekintsünk néhány megoldást a gyakorlatban.
1. feladat.
Keresse meg a számok között azokat, amelyek oszthatók 15-tel.
9 085 475; 78 545; 531; 12 000; 90 952
Tehát kezdetben elvetjük azokat a számokat, amelyek nyilvánvalóan nem felelnek meg a kritériumainknak. Ezek 531 és 90 952. Annak ellenére, hogy az 5+3+1=9 összeg osztható 3-mal, a szám egyre végződik, ami azt jelenti, hogy nem fér bele. Ugyanez vonatkozik a 90952-re is, ami2-re végződik.
9 085 475, 78 545 és 12 000 megfelelnek az első feltételnek, most vessük össze őket a másodikkal.
9+0+8+5+4+7+5=38, 38 nem osztható 3-mal. Tehát ez a szám extra a sorozatunkban.
7+8+5+4+5=29. A 29 nem többszöröse a 3-nak, nem felel meg a feltételeknek.
De 1+2=3, 3 egyenlően osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy ez a szám a válasz.
Válasz: 12 000
2. feladat.
A háromjegyű C szám nagyobb, mint 700, és osztható 15-tel. Írja le a legkisebb ilyen számot.
Tehát a 15-tel oszthatóság kritériuma szerint ennek a számnak 5-re vagy 0-ra kell végződnie. Mivel a lehető legkisebbre van szükségünk, vegyünk 0-t – ez lesz az utolsó számjegy.
Mivel a szám nagyobb, mint 700, az első szám lehet 7 vagy nagyobb. Figyelembe véve, hogy a legkisebb értéket kell megtalálnunk, a 7. értéket választjuk.
Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 15-tel, a 7+x+0 feltétel=3 többszöröse, ahol x a tízesek száma.
Tehát, 7+x+0=9
X=9 -7
X=2
A 720-as szám az, amit keres.
Válasz: 720
3. probléma.
Törölje a 3426578 bármely három számjegyét, hogy a kapott szám 15 többszöröse legyen.
Először is, a kívánt számnak 5-tel vagy 0-val kell végződnie. Tehát az utolsó két számjegyet – a 7-et és a 8-at – azonnal át kell húzni.
34265 maradt.
3+4+2+6+5=20, a 20 nem osztható 3-mal. A 3 legközelebbi többszöröse 18. Ahhoz, hogy megkapja, ki kell vonnia a 2-t. Húzza ki a 2-es számot.
Kiderült, hogy 3465. Ellenőrizze a választ, 3465: 15=231.
Válasz:3465
Ebben a cikkben a 15-tel oszthatóság főbb jeleit példákkal vettük figyelembe. Ennek az anyagnak segítenie kell a tanulókat az ilyen típusú és hasonló feladatok megoldásában, valamint a velük való munka algoritmusának megértésében.
