Mik azok a változók? Változó a matematikában

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A változók jelentősége nagy a matematikában, mert fennállása alatt a tudósoknak számos felfedezést sikerült elérniük ezen a területen, és ennek vagy annak a tételnek a rövid és világos megfogalmazása érdekében változókkal írjuk fel a megfelelő képleteket.. Például a Pitagorasz-tétel egy derékszögű háromszögre: a² =b² + c^{2. Hogyan írjunk minden alkalommal, amikor egy feladatot megoldunk: a Pitagorasz-tétel szerint a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével - ezt felírjuk egy képlettel, és minden azonnal világossá válik.}

Tehát ez a cikk a változókról, azok típusáról és tulajdonságairól lesz szó. Különféle matematikai kifejezéseket is figyelembe kell venni: egyenlőtlenségeket, képleteket, rendszereket és algoritmusokat a megoldásukhoz.

Változó fogalom

Először is, mi az a változó? Ez egy számszerű érték, amely sok értéket vehet fel. Nem lehet állandó, hiszen a különböző problémákban és egyenletekben a kényelem kedvéért a megoldásokat úgy vesszükváltozó különböző számok, azaz például a z egy általános jelölés minden olyan mennyiségre, amelyre vesszük. Általában a latin vagy a görög ábécé betűivel jelölik (x, y, a, b és így tovább).

Különféle változók léteznek. Fizikai mennyiségeket is beállítanak – útvonalat (S), időt (t) és egyszerűen ismeretlen értékeket az egyenletekben, függvényekben és egyéb kifejezésekben.

Például van egy képlet: S=Vt. Itt a változók a való világhoz kapcsolódó bizonyos mennyiségeket jelölnek - az utat, a sebességet és az időt.

És van egy képlet: 3x - 16=12x. Itt az x-et már absztrakt számnak tekintjük, aminek van értelme ebben a jelölésben.

A mennyiségek típusai

A mennyiség olyasvalamit jelent, ami egy bizonyos tárgy, anyag vagy jelenség tulajdonságait fejezi ki. Például a levegő hőmérséklete, egy állat súlya, a vitaminok százalékos aránya egy tablettában – ezek mind olyan mennyiségek, amelyek számértékei kiszámolhatók.

Minden mennyiségnek megvannak a saját mértékegységei, amelyek együtt alkotnak egy rendszert. Számrendszernek (SI) hívják.

Mik azok a változók és konstansok? Tekintse meg őket konkrét példákkal.

Vegyünk egyenes vonalú egyenletes mozgást. Egy pont a térben minden alkalommal azonos sebességgel mozog. Vagyis az idő és a távolság változik, de a sebesség ugyanaz marad. Ebben a példában az idő és a távolság változó, a sebesség pedig állandó.

Vagy például „pi”. Ez egy irracionális szám, amely ismétlődés nélkül folytatódikszámjegyek sorozata, és nem írható fel teljesen, ezért a matematikában egy általánosan elfogadott szimbólummal fejezik ki, amely csak egy adott végtelen tört értékét veszi fel. Vagyis a „pi” egy állandó érték.

Előzmények

A változók jelölésének története a tizenhetedik században, René Descartes tudóssal kezdődik.

Az ismert értékeket az ábécé első betűivel jelölte meg: a, b és így tovább, az ismeretleneknél pedig az utolsó betűk használatát javasolta: x, y, z. Figyelemre méltó, hogy Descartes az ilyen változókat nem negatív számoknak tekintette, és negatív paraméterekkel szembesülve a változó elé mínuszjelet, vagy ha nem ismert, hogy a szám milyen előjelű, ellipszist tett. De az idő múlásával a változók nevei elkezdték bármely előjel számát jelölni, és ez Johann Hudde matematikussal kezdődött.

Változókkal a matematikai számítások könnyebben megoldhatók, mert például most hogyan oldunk meg kétnegyedes egyenleteket? Beírunk egy változót. Például:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 esetén veszünk néhány k-t, és az egyenlet világossá válik:

x2=k, ha k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Ezt hozza a változók bevezetése a matematikába.

Egyenlőtlenségek, megoldási példák

Az egyenlőtlenség olyan rekord, amelyben két matematikai kifejezést vagy két számot összehasonlító előjelek kötnek össze:, ≦, ≧. Szigorúak, és jelekkel jelzik, vagy nem szigorúak ≦, ≧.

Először jelentek meg ezek a jelekThomas Harriot. Thomas halála után megjelent könyve ezekkel a jelölésekkel, a matematikusok kedvelték őket, és idővel széles körben használták őket a matematikai számításokban.

Az egyváltozós egyenlőtlenségek megoldásánál több szabályt is be kell tartani:

Ha egy számot az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba viszünk át, változtassuk az előjelét az ellenkezőjére.
Egy egyenlőtlenség részeinek negatív számmal való szorzásakor vagy osztásakor az előjeleik megfordulnak.
Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozod vagy elosztod egy pozitív számmal, akkor az eredetivel egyenlő egyenlőtlenséget kapsz.

Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni egy változó összes érvényes értékét.

Egyváltozós példa:

10x - 50 > 150

Úgy oldjuk meg, mint egy normál lineáris egyenletet - változóval balra mozgatjuk a feltételeket, változó nélkül - jobbra, és hasonló feltételeket adunk:

10x > 200

Elosztjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát 10-zel, és megkapjuk:

x > 20

Az érthetőség kedvéért az egy változós egyenlőtlenség megoldásának példájában húzz egy számegyenest, jelöld rá a 20-as átszúrt pontot, mivel az egyenlőtlenség szigorú, és ez a szám nem szerepel a megoldások halmazában.

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása a (20; +∞) intervallum.

A nem szigorú egyenlőtlenség megoldása ugyanúgy történik, mint a szigorú egyenlőtlenség:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

De van egy kivétel. Az x ≧ 5 formájú rekordot a következőképpen kell értelmezni: x nagyobb vagy egyenlő, mint öt, ami azt jelenti,az ötös szám benne van az egyenlőtlenség összes megoldásának halmazában, vagyis a válasz írásakor szögletes zárójelet teszünk az ötös szám elé.

x ∈ [5; +∞)

Téregyenlőtlenségek

Ha felveszünk egy ax2 + bx +c=0 formájú másodfokú egyenletet, és az egyenlőségjelet az egyenlőtlenségjelre változtatjuk, akkor ennek megfelelően kapunk egy másodfokú egyenlőtlenség.

A másodfokú egyenlőtlenség megoldásához meg kell tudni oldani a másodfokú egyenleteket.

y=ax2 + bx + c egy másodfokú függvény. Megoldhatjuk a diszkrimináns, vagy a Vieta tétel segítségével. Emlékezzünk vissza ezeknek az egyenleteknek a megoldására:

1) y=x2 + 12x + 11 - a függvény egy parabola. Elágazásai felfelé irányulnak, mivel az "a" együttható előjele pozitív.

2) x2 + 12x + 11=0 - egyenlő nullával, és oldja meg a diszkrimináns segítségével.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 gyökér

A másodfokú egyenlet gyökének képlete szerint a következőt kapjuk:

x₁ =-1, x_2=-11

Vagy megoldhatod ezt az egyenletet a Vieta-tétel segítségével:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

A kiválasztási módszert használva az egyenletnek ugyanazokat a gyökereit kapjuk.

Parabola

Tehát a másodfokú egyenlőtlenség megoldásának első módja egy parabola. A megoldás algoritmusa a következő:

1. Határozza meg, hová irányulnak a parabola ágai.

2. Egyenlítse a függvényt nullával, és keresse meg az egyenlet gyökereit.

3. Építünk egy számegyenest, megjelöljük rajta a gyökereket, rajzolunk egy parabolát, és az egyenlőtlenség előjelétől függően keressük meg a szükséges rést.

Oldja meg az egyenlőtlenséget x2 + x - 12 > 0

Írja ki függvényként:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, felfelé ágazik.

Állítsa nullára.

2) x2 + x -12=0

Ezután oldjuk meg másodfokú egyenletként, és keressük meg a függvény nulláit:

x₁ =3, x_2=-4

3) Rajzolj egy számegyenest a 3. és -4. ponttal. A parabola áthalad rajtuk, felágaz, és az egyenlőtlenségre adott válasz pozitív értékek halmaza lesz, azaz (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallummódszer

A második módszer a térköz módszer. A megoldás algoritmusa:

1. Keresse meg annak az egyenletnek a gyökereit, amelynél az egyenlőtlenség nulla.

2. Jelöljük őket a számegyenesen. Így több intervallumra van felosztva.

3. Határozza meg bármely intervallum előjelét.

4. A fennmaradó időközönként táblákat helyezünk el, ezeket egy után cseréljük.

Oldja meg az egyenlőtlenséget (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Nulla egyenlőtlenség: 4, 5 és -7.

2) Rajzold fel őket a számegyenesen.

3) Határozza meg az intervallumok előjeleit.

Válasz: (-∞; -7]; [4; 5].

Oldjon meg még egy egyenlőtlenséget: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nulla egyenlőtlenség: 0, 2, -2 és 1.

2. Jelölje be őket a számegyenesen.

3. Határozza meg az intervallumjeleket.

A sor intervallumokra van felosztva - -2-től 0-ig, 0-tól 1-ig, 1-től 2-ig.

Vegye az értéket az első intervallumon - (-1). Helyettesítés az egyenlőtlenségben. Ezzel az értékkel az egyenlőtlenség pozitív lesz, ami azt jelenti, hogy ezen az intervallumon az előjel +.

Továbbá az első réstől kezdve rendezzük a táblákat, egy után cserélve.

Az egyenlőtlenség nagyobb, mint nulla, vagyis meg kell találni a pozitív értékek halmazát a vonalon.

Válasz: (-2; 0), (1; 2).

Egyenletrendszerek

A két változós egyenletrendszer két egyenlet, amelyeket kapcsos kapcsos zárójel köt össze, amelyekre közös megoldást kell találni.

A rendszerek akkor lehetnek egyenértékűek, ha az egyik általános megoldása a másik megoldása, vagy mindkettőnek nincs megoldása.

Két változós egyenletrendszerek megoldását fogjuk tanulmányozni. Kétféleképpen lehet megoldani őket – a helyettesítési módszerrel vagy az algebrai módszerrel.

Algebrai módszer

A képen látható rendszer ezzel a módszerrel történő megoldásához először meg kell szorozni az egyik részét egy ilyen számmal, hogy később kölcsönösen törölhessünk egy változót az egyenlet mindkét részéből. Itt szorozunk hárommal, húzunk egy vonalat a rendszer alá, és összeadjuk a részeit. Ennek eredményeképpen az x-ek modulusában azonosak, de előjelben ellentétesek lesznek, és redukáljuk őket. Ezután kapunk egy lineáris egyenletet egy változóval, és oldjuk meg.

Megtaláltuk Y-t, de nem állhatunk meg itt, mert X-et még nem találtuk. HelyettesY arra a részre, ahonnan kényelmes lesz kivenni X-et, például:

-x + 5y=8, ahol y=1

-x + 5=8

Foldja meg a kapott egyenletet, és keresse meg x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

A rendszer megoldásában az a lényeg, hogy helyesen írjuk le a választ. Sok diák elköveti azt a hibát, hogy ezt írja:

Válasz: -3, 1.

De ez rossz bejegyzés. Hiszen, mint fentebb már említettük, egy egyenletrendszer megoldása során annak részeire keresünk általános megoldást. A helyes válasz a következő lenne:

(-3; 1)