A forgás a mechanikus mozgás tipikus fajtája, amely gyakran megtalálható a természetben és a technikában. Bármilyen forgás valamilyen külső erő hatására jön létre a vizsgált rendszerre. Ez az erő hozza létre az úgynevezett nyomatékot. Hogy mi ez, mitől függ, arról a cikkben lesz szó.
Forgatási folyamat
Mielőtt megvizsgálnánk a nyomaték fogalmát, jellemezzük azokat a rendszereket, amelyekre ez a fogalom alkalmazható. A forgási rendszer feltételezi egy tengely jelenlétét, amely körül körkörös mozgást vagy forgást hajtanak végre. E tengely és a rendszer anyagi pontjai közötti távolságot forgási sugárnak nevezzük.
Kinematikai szempontból a folyamatot három szögérték jellemzi:
- elfordulási szög θ (radiánban mérve);
- szögsebesség ω (radián per másodpercben mérve);
- szöggyorsulás α (radián per négyzetmásodpercben mérve).
Ezek a mennyiségek az alábbiak szerint kapcsolódnak egymáshozegyenlő:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
A természetben a forgásra példák a bolygók mozgása a pályájukon és a tengelyük körül, a tornádók mozgása. A mindennapi életben és a technikában a szóban forgó mozgás jellemző a motormotorokra, csavarkulcsokra, épületdarukra, ajtónyitásokra stb.
Az erőnyomaték meghatározása
Most pedig térjünk át a cikk aktuális témájára. A fizikai definíció szerint az erőnyomaték az erőkifejtés vektorának a forgástengelyhez viszonyított vektorszorzata és magának az erőnek a vektorának. A megfelelő matematikai kifejezés a következőképpen írható fel:
M¯=[r¯F¯].
Itt az r¯ vektor a forgástengelytől az F¯ erő alkalmazási pontja felé irányul.
Ebben az M¯ nyomatékképletben az F¯ erő a tengely irányához képest bármely irányba irányítható. A tengelypárhuzamos erőkomponens azonban nem hoz létre elfordulást, ha a tengely mereven rögzítve van. A legtöbb fizikai feladatnál figyelembe kell venni az F¯ erőket, amelyek a forgástengelyre merőleges síkban helyezkednek el. Ezekben az esetekben a nyomaték abszolút értéke a következő képlettel határozható meg:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Ahol β az r¯ és F¯ vektorok közötti szög.
Mi az a tőkeáttétel?
Az erőkar fontos szerepet játszik az erőnyomaték nagyságának meghatározásában. Ahhoz, hogy megértsük, miről beszélünk, fontolja megkövetkező kép.
Itt egy L hosszúságú rudat mutatunk be, amely az egyik végével a forgáspontban van rögzítve. A másik végére φ hegyesszögbe irányított F erő hat. Az erőnyomaték meghatározása szerint a következőt írhatjuk:
M=FLsin(180o-φ).
A szög (180o-φ) azért jelent meg, mert az L¯ vektor a rögzített végtől a szabad vég felé irányul. A trigonometrikus szinuszfüggvény periodicitását figyelembe véve ezt az egyenlőséget a következő alakba írhatjuk át:
M=FLsin(φ).
Most figyeljünk az L, d és F oldalakra épített derékszögű háromszögre. A szinuszfüggvény definíciója szerint az L hipotenusz és a φ szög szinuszának szorzata adja a d láb értékét. Aztán elérkezünk az egyenlőséghez:
M=Fd.
A d lineáris értéket az erő karjának nevezzük. Ez egyenlő az F¯ erővektor és a forgástengely távolságával. A képletből látható, hogy az M nyomaték kiszámításakor célszerű az erőkar fogalmát használni. A kapott képlet azt mondja, hogy bizonyos F erő maximális nyomatéka csak akkor következik be, ha a sugárvektor hossza r¯ (L¯ a fenti ábrán) egyenlő az erőkarral, azaz r¯ és F¯ egymásra merőlegesek lesznek.
M¯
iránya
Fentebb látható, hogy a nyomaték egy adott rendszerre jellemző vektorjellemző. Hova irányul ez a vektor? Válasz erre a kérdésre nemkülönösen nehéz, ha emlékezünk arra, hogy két vektor szorzatának eredménye a harmadik vektor, amely az eredeti vektorok síkjára merőleges tengelyen fekszik.
Azt kell eldönteni, hogy az erőnyomaték felfelé vagy lefelé (az olvasó felé vagy attól távol) irányul-e az említett síkhoz képest. Ezt vagy a gimlet szabály alapján, vagy a jobbkéz szabály segítségével határozhatja meg. Íme mindkét szabály:
- Jobb kéz szabály. Ha a jobb kezet úgy helyezi el, hogy annak négy ujja az r¯ vektor elejétől a végéig, majd az F¯ vektor elejétől a végéig mozduljon el, akkor a hüvelykujj kilógva a a pillanat iránya M¯.
- Gimlet-szabály. Ha egy képzeletbeli karmantyú forgásiránya egybeesik a rendszer forgási irányával, akkor a karmantyú transzlációs mozgása jelzi az M¯ vektor irányát. Ne feledje, hogy csak az óramutató járásával megegyező irányban forog.
Mindkét szabály egyenlő, így mindenki használhatja a számára kényelmesebbet.
Gyakorlati feladatok megoldásánál a nyomaték eltérő irányát (fel-le, balra-jobbra) a „+” vagy „-” jelek segítségével vesszük figyelembe. Emlékeztetni kell arra, hogy az M¯ pillanat pozitív irányát tekintjük annak, amely a rendszer óramutató járásával ellentétes forgásához vezet. Ennek megfelelően, ha valamilyen erő a rendszer óra irányú forgásához vezet, akkor az általa létrehozott pillanat negatív értékű lesz.
Fizikai jelentésmennyiségek M¯
A forgás fizikában és mechanikában az M¯ érték határozza meg egy erőnek vagy erőösszegnek a forgási képességét. Mivel az M¯ mennyiség matematikai definíciója nem csak az erőt tartalmazza, hanem az alkalmazásának sugárvektorát is, ez utóbbi határozza meg nagymértékben a feljegyzett forgási képességet. Hogy világosabb legyen, milyen képességről beszélünk, álljon itt néhány példa:
- Minden ember, legalább egyszer életében, megpróbálta kinyitni az ajtót, de nem a kilincset fogva, hanem a zsanérokhoz nyomva. Ez utóbbi esetben jelentős erőfeszítéseket kell tennie a kívánt eredmény elérése érdekében.
- Az anya csavarról való lecsavarásához használjon speciális csavarkulcsokat. Minél hosszabb a csavarkulcs, annál könnyebben meglazítható az anya.
- Az erőkar jelentőségének átérezéséhez a következő kísérlet elvégzésére hívjuk olvasóinkat: vegyen egy széket, és próbálja meg egyik kezével a súlyon tartani, egy esetben támasztja a kezét a testhez, a másik pedig egyenes karral végezze el a feladatot. Ez utóbbi sokak számára elsöprő feladatnak bizonyul majd, bár a szék súlya változatlan maradt.
Erőnyomaték mértékegységei
Szólni kell néhány szót az SI-mértékegységekről is, amelyekben a nyomatékot mérik. A ráírt képlet szerint newton per méterben (Nm) mérik. Ezek az egységek azonban a munkát és az energiát is mérik a fizikában (1 Nm=1 joule). Az M¯ pillanat joule nem érvényes, mert a munka skaláris mennyiség, míg M¯ egy vektor.
Ennek ellenéreaz erőnyomaték mértékegységeinek egybeesése az energia mértékegységeivel nem véletlen. A rendszer forgásának M nyomatékkal végzett munkáját a következő képlet számítja ki:
A=Mθ.
Ahol azt kapjuk, hogy M is kifejezhető joule per radiánban (J/rad).
Forgási dinamika
A cikk elején felírtuk azokat a kinematikai jellemzőket, amelyek a forgás mozgásának leírására szolgálnak. A forgási dinamikában a fő egyenlet, amely ezeket a jellemzőket használja:
M=Iα.
Az M nyomaték hatása I tehetetlenségi nyomatékú rendszeren α szöggyorsulás megjelenéséhez vezet.
Ez a képlet a forgási szögfrekvenciák meghatározására szolgál a technológiában. Például egy aszinkron motor nyomatékának ismeretében, amely függ az állórész tekercsében folyó áram frekvenciájától és a változó mágneses tér nagyságától, valamint a forgó rotor tehetetlenségi tulajdonságainak ismeretében, meg lehet határozni mekkora ω fordulatszámra forog a motor forgórésze ismert t idő alatt.
Példa problémamegoldásra
Egy súlytalan kar, 2 méter hosszú, támasztékkal a közepén. Mekkora súlyt kell a kar egyik végére helyezni, hogy egyensúlyi állapotba kerüljön, ha a támasz másik oldalán, attól 0,5 méterrel 10 kg tömeg fekszik?
Nyilvánvalóan akkor jön létre a kar egyensúlya, ha a terhelések által keltett erőnyomatékok abszolút értékben egyenlők. A teremtő erőEbben a problémában a pillanat a test súlyát jelenti. Az erőkarok egyenlőek a súlyok és a támasz távolságával. Írjuk fel a megfelelő egyenlőséget:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/d2.
Súly P2 akkor kapjuk, ha az m1=10 kg értéket helyettesítjük a problémás feltételből, d 1=0,5 m, d2=1 m. A felírt egyenlet megadja a választ: P2=49,05 newton.
