A Fourier-sor egy tetszőlegesen felvett függvény egy adott periódusú sorozatként történő ábrázolása. Általánosságban ezt a megoldást egy elem ortogonális alapon történő felbontásának nevezzük. A függvények kiterjesztése a Fourier-sorokban meglehetősen hatékony eszköz különféle problémák megoldására a transzformáció tulajdonságai miatt az argumentumban és a konvolúcióban az integrálás, differenciálás, valamint egy kifejezés eltolása során.
Aki nem ismeri a magasabb matematikát, valamint a francia Fourier tudós munkáit, valószínűleg nem fogja megérteni, mik ezek a „sorok” és mire valók. Eközben ez az átalakulás elég sűrűvé vált az életünkben. Nemcsak matematikusok használják, hanem fizikusok, vegyészek, orvosok, csillagászok, szeizmológusok, oceanográfusok és még sokan mások. Nézzük meg közelebbről a nagy francia tudós munkáit, aki korát megelőzve tett felfedezést.
Az ember és a Fourier-transzformáció
A Fourier-sorok a Fourier-transzformáció egyik módszere (az elemzéssel és másokkal együtt). Ez a folyamat minden alkalommal megtörténik, amikor egy személy hangot hall. A fülünk automatikusan átalakítja a hangothullámok. Az elemi részecskék oszcilláló mozgásai egy rugalmas közegben a különböző magasságú hangok hangerőszintjének egymást követő értékeinek soraira bomlanak (a spektrum mentén). Ezután az agy ezeket az adatokat számunkra ismerős hangokká alakítja. Mindez a vágyunk vagy tudatunk mellett, magától is megtörténik, de ahhoz, hogy megértsük ezeket a folyamatokat, több évbe telik a felsőbb matematika tanulmányozása.
További információ a Fourier-transzformációról
A Fourier-transzformáció végrehajtható analitikai, numerikus és egyéb módszerekkel. A Fourier-sorok az oszcillációs folyamatok lebontásának számszerű módjára utalnak – az óceán árapályától és fényhullámaitól a szoláris (és más csillagászati objektumok) tevékenységi ciklusokig. Ezekkel a matematikai technikákkal lehetőség nyílik olyan függvények elemzésére, amelyek bármilyen oszcillációs folyamatot szinuszos komponensek sorozataként reprezentálnak, amelyek a minimumtól a maximumig haladnak, és fordítva. A Fourier-transzformáció egy olyan függvény, amely egy adott frekvenciának megfelelő szinuszosok fázisát és amplitúdóját írja le. Ezzel az eljárással nagyon összetett egyenletek oldhatók meg, amelyek hő-, fény- vagy elektromos energia hatására fellépő dinamikus folyamatokat írnak le. Ezenkívül a Fourier-sorok lehetővé teszik az állandó komponensek elkülönítését komplex oszcillációs jelekben, ami lehetővé tette a kapott kísérleti megfigyelések helyes értelmezését az orvostudományban, a kémiában és a csillagászatban.
Történelmi háttér
Ennek az elméletnek az alapító atyjaJean Baptiste Joseph Fourier francia matematikus. Ezt az átalakulást később róla nevezték el. Kezdetben a tudós módszerét alkalmazta a hővezetési mechanizmusok – a hő szilárd anyagokban való terjedésének – tanulmányozására és magyarázatára. Fourier azt javasolta, hogy a hőhullám kezdeti szabálytalan eloszlása a legegyszerűbb szinuszokra bontható, amelyek mindegyikének megvan a saját hőmérsékleti minimuma és maximuma, valamint saját fázisa. Ebben az esetben minden ilyen komponenst a minimumtól a maximumig mérünk, és fordítva. A görbe felső és alsó csúcsát, valamint az egyes felharmonikusok fázisát leíró matematikai függvényt a hőmérséklet-eloszlás kifejezés Fourier-transzformációjának nevezzük. Az elmélet szerzője a matematikailag nehezen leírható általános eloszlásfüggvényt olyan periodikus koszinusz- és szinuszfüggvények nagyon könnyen kezelhető sorozatára redukálta, amelyek összeadják az eredeti eloszlást.
Az átalakulás elve és a kortársak nézetei
A tudós kortársai – a tizenkilencedik század elejének vezető matematikusai – nem fogadták el ezt az elméletet. A fő kifogás Fourier azon állítása volt, miszerint az egyenest vagy nem folytonos görbét leíró nem folytonos függvény folyamatos szinuszos kifejezések összegeként ábrázolható. Példaként tekintsük Heaviside „lépését”: értéke nulla a réstől balra, és egy a jobb oldalon. Ez a függvény az elektromos áram időváltozótól való függését írja le, amikor az áramkör zárt. Az elmélet kortársai akkoriban még soha nem találkoztak ilyennelolyan helyzet, amikor a nem folytonos kifejezést folytonos, közönséges függvények kombinációja írja le, például exponenciális, szinuszos, lineáris vagy másodfokú.
Mi zavarta meg a francia matematikusokat a Fourier-elméletben?
Végül is, ha a matematikusnak igaza volt az állításaiban, akkor a végtelen trigonometrikus Fourier-sort összegezve pontos ábrázolást kaphat a lépéskifejezés akkor is, ha sok hasonló lépése van. A tizenkilencedik század elején egy ilyen kijelentés abszurdnak tűnt. De minden kétség ellenére sok matematikus kibővítette e jelenség tanulmányozásának körét, túlmutatva a hővezetőképesség tanulmányozásán. A legtöbb tudós azonban továbbra is aggodalmaskodott a kérdés miatt: "Konvergálhat-e egy szinuszos sorozat összege egy nem folytonos függvény pontos értékéhez?"
Fourier-sorok konvergenciája: példa
A konvergencia kérdése mindig felvetődik, amikor végtelen számsort kell összegezni. A jelenség megértéséhez vegyünk egy klasszikus példát. El lehet érni valaha a falat, ha minden egymást követő lépés feleakkora, mint az előző? Tegyük fel, hogy két méterrel a céltól, az első lépés közelebb visz a feléhez, a következő a háromnegyedhez, és az ötödik után az út közel 97 százalékát megteszed. Azonban akárhány lépést tesz meg, a szigorú matematikai értelemben vett célt nem fogja elérni. Numerikus számításokkal bebizonyíthatjuk, hogy a végén olyan közel kerülhetünk, amennyire csak akarunk.kis meghatározott távolság. Ez a bizonyítás egyenértékű annak bizonyításával, hogy a fele, egynegyed stb. összege egyhez fog fordulni.
A konvergencia kérdése: A második eljövetel, vagy Lord Kelvin készüléke
Ez a kérdés ismételten felmerült a 19. század végén, amikor Fourier-sorokat próbáltak felhasználni az apály és áramlás intenzitásának előrejelzésére. Ebben az időben Lord Kelvin feltalált egy eszközt, amely egy analóg számítástechnikai eszköz, amely lehetővé tette a katonai és kereskedelmi flotta tengerészei számára, hogy nyomon kövessék ezt a természeti jelenséget. Ez a mechanizmus meghatározta a fázisok és amplitúdók halmazait az árapály magasságát és a hozzájuk tartozó időpillanatokat tartalmazó táblázatból, gondosan mérve egy adott kikötőben az év során. Mindegyik paraméter a dagálymagasság-kifejezés szinuszos komponense volt, és a szabályos komponensek közé tartozott. A mérések eredményeit bevitték Lord Kelvin számológépébe, amely szintetizált egy görbét, amely a következő évre előrejelezte a víz magasságát az idő függvényében. Nagyon hamar hasonló görbék készültek a világ összes kikötőjére.
És ha a folyamatot megszakítja egy nem folyamatos függvény?
Akkoriban nyilvánvalónak tűnt, hogy egy nagy számú számláló elemet tartalmazó árapály-előrejelző nagyszámú fázist és amplitúdót képes kiszámítani, és így pontosabb előrejelzéseket adni. Mindazonáltal kiderült, hogy ez a szabályosság nem figyelhető meg azokban az esetekben, amikor az ezt követő árapály-kifejezésszintetizálni, éles ugrást tartalmazott, vagyis nem folytonos volt. Abban az esetben, ha az időpillanat-táblázatból adat kerül be a készülékbe, akkor több Fourier-együtthatót számít ki. Az eredeti funkció visszaáll a szinuszos komponenseknek köszönhetően (a talált együtthatók szerint). Az eredeti és a visszaállított kifejezés közötti eltérés bármely ponton mérhető. Ismételt számítások és összehasonlítások elvégzésekor látható, hogy a legnagyobb hiba értéke nem csökken. Mindazonáltal a folytonossági pontnak megfelelő régióban lokalizálódnak, és bármely más ponton nullára hajlamosak. 1899-ben ezt az eredményt elméletileg megerősítette Joshua Willard Gibbs, a Yale Egyetemről.
A Fourier-sorok konvergenciája és általában a matematika fejlődése
A Fourier-elemzés nem alkalmazható olyan kifejezésekre, amelyek egy bizonyos intervallumon belül végtelen számú sorozatot tartalmaznak. Általában a Fourier-sorok, ha az eredeti függvény valódi fizikai mérés eredménye, mindig konvergálnak. Ennek a folyamatnak a konvergenciája bizonyos függvényosztályok esetében új szakaszok megjelenéséhez vezetett a matematikában, például az általánosított függvények elmélete. Olyan nevekkel hozták kapcsolatba, mint L. Schwartz, J. Mikusinsky és J. Temple. Ennek az elméletnek a keretein belül világos és pontos elméleti alapot hoztak létre olyan kifejezésekhez, mint a Dirac-delta függvény (egyetlen terület területét írja le, amely egy pont végtelenül kicsiny szomszédságában koncentrálódik) és a Heaviside. lépés . Ennek a munkának köszönhetően a Fourier-sorozat alkalmazhatóvá váltolyan egyenletek és problémák megoldása, amelyek intuitív fogalmakat tartalmaznak: ponttöltés, ponttömeg, mágneses dipólusok, valamint a sugárra ható koncentrált terhelés.
Fourier-módszer
A Fourier-sorok, az interferencia elveinek megfelelően, az összetett formák egyszerűbb formákra való bontásával kezdődnek. Például a hőáramlás változását a szabálytalan alakú hőszigetelő anyagból készült különböző akadályokon való áthaladás magyarázza, vagy a föld felszínének megváltozása - földrengés, égitest pályájának megváltozása - bolygók. Az egyszerű klasszikus rendszereket leíró hasonló egyenleteket általában minden egyes hullámra elemileg megoldják. Fourier megmutatta, hogy az egyszerű megoldások összegzése révén összetettebb problémákra is megoldást lehet adni. A matematika nyelvén a Fourier-sor egy olyan technika, amely egy kifejezést harmonikusok - koszinusz és szinuszos - összegeként ábrázol. Ezért ezt az elemzést "harmonikus elemzésnek" is nevezik.
Fourier sorozat – az ideális technika a „számítógép-korszak” előtt
A számítástechnika megalkotása előtt a Fourier-technika volt a legjobb fegyver a tudósok arzenáljában, amikor világunk hullámtermészetével dolgoztak. A Fourier-sor összetett formában nemcsak egyszerű, a Newton-féle mechanika törvényeire közvetlenül alkalmazható feladatok megoldását teszi lehetővé, hanem alapvető egyenletek megoldását is. A 19. századi newtoni tudomány legtöbb felfedezését csak Fourier technikája tette lehetővé.
Fourier sorozat ma
A Fourier-transzformációs számítógépek fejlesztésévelteljesen új szintre emelték. Ez a technika a tudomány és a technológia szinte minden területén szilárdan beépült. Ilyen például a digitális audio- és videojel. Megvalósítása csak egy francia matematikus által a 19. század elején kidolgozott elméletnek köszönhetően vált lehetségessé. Így a Fourier-sor összetett formában lehetővé tette az áttörést a világűr tanulmányozásában. Ezenkívül hatással volt a félvezető anyagok és a plazma fizikájának, a mikrohullámú akusztikának, az oceanográfiának, a radarnak, a szeizmológiának a tanulmányozására.
Trigonometrikus Fourier-sorozat
A matematikában a Fourier-sorok tetszőleges összetett függvények egyszerűbb függvények összegeként való ábrázolásának módja. Általában az ilyen kifejezések száma végtelen lehet. Sőt, minél jobban figyelembe veszik számukat a számítás során, annál pontosabb a végeredmény. Leggyakrabban a koszinusz vagy a szinusz trigonometrikus függvényeit használják a legegyszerűbbekként. Ebben az esetben a Fourier-sorokat trigonometrikusnak, az ilyen kifejezések megoldását pedig a harmonikus kiterjesztésének nevezzük. Ez a módszer fontos szerepet játszik a matematikában. A trigonometrikus sorozat mindenekelőtt eszközt ad a képalkotáshoz, valamint a függvények tanulmányozásához, ez az elmélet fő apparátusa. Ezenkívül lehetővé teszi számos matematikai fizika probléma megoldását. Végül ez az elmélet hozzájárult a matematikai elemzés fejlődéséhez, és a matematikai tudomány számos nagyon fontos szakaszát eredményezte (az integrálok elmélete, a periodikus függvények elmélete). Emellett kiindulópontul szolgált a következő elméletek kidolgozásához: halmazok, függvényekvalós változó, funkcionális elemzés, valamint a harmonikus elemzés alapjait is lefektették.
