A halmazok példáján a kapcsolatok széles skáláját számos fogalom kíséri, kezdve azok definícióitól és a paradoxonok elemző elemzéséig. A sorozatról szóló cikkben tárgy alt koncepció változatossága végtelen. Bár ha duális típusokról beszélünk, ez több érték közötti bináris kapcsolatokat jelent. És az objektumok vagy utasítások között is.
A bináris relációkat általában az R szimbólummal jelöljük, vagyis ha az R mező bármely x értékére xRx, akkor egy olyan tulajdonságot nevezünk reflexívnek, amelyben x és x a gondolkodás elfogadott tárgyai, és R jeleként szolgál az egyének közötti kapcsolat fennállásának vagy egyéb formájának. Ugyanakkor, ha az xRy® vagy yRx kifejezést fejezi ki, akkor ez szimmetriaállapotot jelez, ahol ® egy implikációs jel, amely hasonló a „ha … akkor …” unióhoz. És végül a dekódolás felirat (xRy Ùy Rz) ®xRz tranzitív kapcsolatról beszél, az Ù jel pedig kötőszó.
Egy reflexív, szimmetrikus és tranzitív bináris relációt ekvivalenciakapcsolatnak nevezünk. Az f összefüggés egy függvény, és az y=z egyenlőség következik Î f és Î f-ből. Egy egyszerű bináris függvény könnyen alkalmazhatókét egyszerű argumentumra bizonyos sorrendben, és csak ebben az esetben ad neki jelentést, amely az adott esetben vett két kifejezésre irányul.
Azt kell mondani, hogy f leképezi x-et y-ra,
ha f egy függvény, amelynek x és y tartománya van. Ha azonban f extrapolálja x-et y-ra, és y Í z-re, ez azt eredményezi, hogy f x-et mutat z-ben. Egy egyszerű példa: ha f(x)=2x igaz bármely x egész számra, akkor fről azt mondjuk, hogy az összes ismert egész előjeles halmazát leképezi ugyanazon egész számok halmazára, de ezúttal páros számokra. Ahogy fentebb említettük, a reflexív, szimmetrikus és tranzitív bináris relációk ekvivalenciakapcsolatok.
A fentiek alapján a bináris relációk ekvivalenciakapcsolatait a következő tulajdonságok határozzák meg:
- reflexivitás - arány (M ~ N);
- szimmetriák - ha az egyenlőség M ~ N, akkor N ~ M lesz;
- tranzitivitás - ha két egyenlőség M ~ N és N ~ P, akkor ennek eredményeként M ~ P.
Vizsgáljuk meg részletesebben a bináris relációk deklarált tulajdonságait. A reflexivitás bizonyos összefüggések egyik jellemzője, ahol a vizsgált halmaz minden eleme adott egyenlőségben önmagával. Például az a=c és a³ c számok között reflexív összefüggések vannak, hiszen mindig a=a, c=c, a³ a, c³ c. Ugyanakkor az a>c egyenlőtlenség relációja antireflexív az a>a egyenlőtlenség létezésének lehetetlensége miatt. Ennek a tulajdonságnak az axiómáját az aRc® jelek kódoljákaRa Ù cRc, itt az ® szimbólum a „bevon” szót jelenti (vagy „implikál”), az Ù - jel pedig az „és” (vagy kötőszó) egyesülése. Ebből az állításból következik, hogy ha az aRc ítélet igaz, akkor az aRa és cRc kifejezések is igazak.
A szimmetria a mentális objektumok felcserélése esetén is egy kapcsolat jelenlétét vonja maga után, vagyis szimmetrikus kapcsolat esetén az objektumok átrendezése nem vezet "bináris relációk" típusú átalakuláshoz. Például az a=c egyenlőség kapcsolata a c=a összefüggés ekvivalenciája miatt szimmetrikus; az a¹c propozíció is ugyanaz, mivel az¹a-val való kapcsolatnak felel meg.
A tranzitív halmaz olyan tulajdonság, amely eleget tesz a következő követelménynek: y н x, z н y ® z н x, ahol ® egy jel, amely a következő szavakat helyettesíti: "ha …, akkor …". A képlet szóban a következőképpen olvasható: "Ha y függ x-től, z y-hoz tartozik, akkor z is függ x-től".
