Mi az aritmetika? Mikor kezdett az emberiség használni a számokat és dolgozni velük? Hová vezetnek az olyan hétköznapi fogalmak gyökerei, mint a számok, törtek, kivonás, összeadás és szorzás, amelyeket az ember élete, világnézete elválaszthatatlan részévé tett? Az ókori görög elmék az emberi logika legszebb szimfóniáiként csodálták az olyan tudományokat, mint a matematika, az aritmetika és a geometria.
Talán az aritmetika nem olyan mély, mint más tudományok, de mi történne velük, ha az ember elfelejti az elemi szorzótáblát? A nálunk megszokott, számokat, törteket és egyéb eszközöket használó logikus gondolkodás nem volt könnyű az emberek számára, és sokáig elérhetetlen volt őseink számára. Valójában az aritmetika fejlődése előtt az emberi tudás egyetlen területe sem volt igazán tudományos.
Az aritmetika a matematika ABC-je
Az aritmetika a számok tudománya, amellyel bárki elkezdi megismerkedni a matematika lenyűgöző világával. Ahogy M. V. Lomonoszov mondta, az aritmetika a tanulás kapuja, megnyitja előttünk az utat a világismerethez. De igaza vanElválasztható-e a világ ismerete a számok és betűk, a matematika és a beszéd ismeretétől? Talán a régi időkben, de nem a modern világban, ahol a tudomány és a technika gyors fejlődése megszabja a maga törvényeit.
A görög eredetű „aritmetika” (görög „aritmosz”) szó jelentése „szám”. Tanulmányozza a számokat és mindent, ami hozzájuk köthető. Ez a számok világa: különféle műveletek számokkal, numerikus szabályok, feladatok megoldása, amelyek szorzással, kivonással stb. kapcsolatosak.
Általánosan elfogadott, hogy az aritmetika a matematika kezdeti lépése, és szilárd alapot képez bonyolultabb szakaszaihoz, mint például az algebra, a matematikai elemzés, a felsőfokú matematika stb.
A aritmetika fő tárgya
Az aritmetika alapja egy egész szám, amelynek tulajdonságait és mintázatait a magasabb aritmetika vagy a számelmélet figyelembe veszi. Valójában az egész épület ereje – a matematika – attól függ, mennyire helyes a megközelítés, amikor egy ilyen kis blokkot természetes számnak tekintünk.
Ezért a kérdésre, hogy mi az aritmetika, egyszerűen megválaszolható: ez a számok tudománya. Igen, a szokásos hétről, kilencről és erről a sokszínű közösségről. És ahogyan az elemi ábécé nélkül nem lehet jó vagy még a legközépszerűbb verset sem írni, úgy az aritmetika nélkül még egy elemi problémát sem lehet megoldani. Éppen ezért az összes tudomány csak az aritmetika és a matematika fejlődése után fejlődött, azelőtt csak feltételezések halmaza volt.
Az aritmetika egy fantomtudomány
Mi az aritmetika – természettudomány vagy fantom? Valójában, ahogyan az ókori görög filozófusok érveltek, sem számok, sem számok nem léteznek a valóságban. Ez csak egy fantom, amely az emberi gondolkodásban jön létre, amikor figyelembe veszi a környezetet és annak folyamatait. Valóban, mi az a szám? Sehol sem látunk ehhez hasonlót, amit számnak lehetne nevezni, inkább a szám az emberi elme egy módja a világ tanulmányozásának. Vagy talán saját magunk tanulmányozása belülről? A filozófusok sok évszázada egymás után vitatkoznak erről, ezért nem vállalkozunk a kimerítő válaszadásra. Így vagy úgy, az aritmetikának sikerült olyan szilárdan elfoglalnia a helyét, hogy a modern világban senki sem tekinthető társadalmilag alkalmazkodónak az alapjainak ismerete nélkül.
Hogyan jelent meg a természetes szám
Természetesen a fő objektum, amelyen az aritmetika működik, egy természetes szám, például 1, 2, 3, 4, …, 152… stb. A természetes számok aritmetikája közönséges tárgyak, például a réten lévő tehenek megszámlálásának eredménye. Ennek ellenére a „sok” vagy „keves” definíciója egykor már nem felelt meg az embereknek, és fejlettebb számolási technikákat kellett kitalálniuk.
Az igazi áttörés azonban akkor következett be, amikor az emberi gondolkodás elérte azt a pontot, hogy 2 kilogrammot, 2 téglát és 2 részt lehet ugyanazzal a „kettővel” megjelölni. A helyzet az, hogy elvonatkoztatni kell az objektumok formáitól, tulajdonságaitól és jelentésétől, majd természetes számok formájában hajthat végre bizonyos műveleteket ezekkel az objektumokkal. Így született meg a számok aritmetikája, amelytovább fejlődött és bővült, egyre nagyobb pozíciókat foglalva el a társadalom életében.
Az olyan mélyreható számfogalmak, mint a nulla és a negatív szám, a törtek, a számok számokkal és más módon történő megjelölése, gazdag és érdekes fejlődéstörténettel rendelkezik.
Számítás és gyakorlati egyiptomiak
A minket körülvevő világ felfedezésében és a mindennapi problémák megoldásában a két legrégebbi embertárs az aritmetika és a geometria.
Azt tartják, hogy az aritmetika története az ókori Keletről származik: Indiából, Egyiptomból, Babilonból és Kínából. Így az egyiptomi eredetű Rinda papirusz (a névadója, mert az azonos nevű tulajdonosé volt), a XX. A BC, egyéb értékes adatokon kívül, tartalmazza egy törtnek a különböző nevezőjű törtek összegére történő kiterjesztését egy számlálóval.
Például: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
De mi értelme van egy ilyen összetett dekompozíciónak? Az a helyzet, hogy az egyiptomi megközelítés nem tolerálta a számokkal kapcsolatos elvont gondolatokat, éppen ellenkezőleg, a számításokat csak gyakorlati célokra végezték. Vagyis az egyiptomiak olyan dolgokkal fognak foglalkozni, mint a számítások, kizárólag azért, hogy például sírt építsenek. Ki kellett számolni a szerkezet élének hosszát, és ez arra kényszerítette az embert, hogy leüljön a papirusz mögé. Amint láthatja, az egyiptomi számítások fejlődését inkább a tömeges építkezés okozta, mint a tudomány iránti szeretet.
Ezért a papiruszokon található számítások nem nevezhetők a törtek témájának reflexiójának. Valószínűleg ez egy gyakorlati felkészülés, amely segített a jövőben.törtekkel oldja meg a feladatokat. Az ókori egyiptomiak, akik nem ismerték a szorzótáblákat, meglehetősen hosszú számításokat végeztek, sok részfeladatra bontva. Talán ez az egyik részfeladat. Könnyen belátható, hogy az ilyen munkadarabokkal végzett számítások nagyon fáradságosak és kilátástalanok. Talán ezért nem látjuk az ókori Egyiptom nagy hozzájárulását a matematika fejlődéséhez.
Az ókori Görögország és a filozófiai aritmetika
Az ókori Keletről sok ismeretet sikeresen elsajátítottak az ókori görögök, az absztrakt, elvont és filozófiai reflexiók híres szerelmesei. Nem kevésbé érdekelte őket a gyakorlat, de nehéz megtalálni a legjobb teoretikusokat és gondolkodókat. Ez a tudomány hasznára vált, mivel lehetetlen úgy elmélyedni az aritmetikában, hogy ne szakadjon el a valóságtól. Persze, meg lehet szorozni 10 tehenet és 100 liter tejet, de nem jutsz messzire.
A mélyen gondolkodó görögök jelentős nyomot hagytak a történelemben, és írásaik eljutottak hozzánk:
- Eukleidész és az elemek.
- Püthagorasz.
- Arkhimédész.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
És persze a mindent filozófiává alakító görögöket, és főleg Püthagorasz művének utódait annyira lenyűgözték a számok, hogy a világ harmóniájának misztériumának tartották őket. A számokat olyan mértékben tanulmányozták és kutatták, hogy néhányukat és párjaikat speciális tulajdonságokkal ruházták fel. Például:
- Tökéletes számok azok, amelyek egyenlők az összes osztójuk összegével, kivéve magát a számot (6=1+2+3).
- A barátságos számok azok a számok, amelyek közül az egyikegyenlő a második összes osztójának összegével, és fordítva (a püthagoreusok csak egy ilyen párt ismertek: 220 és 284).
A görögök, akik azt hitték, hogy a tudományt szeretni kell, és nem a haszonszerzés érdekében vele lenni, nagy sikereket értek el felfedezéssel, játékkal és számok összeadásával. Meg kell jegyezni, hogy nem minden kutatásukat használták széles körben, néhányuk csak "a szépségért" maradt.
A középkor keleti gondolkodói
Ugyanígy a középkorban a számtan a keleti kortársaknak köszönheti fejlődését. Az indiánok megadták nekünk az általunk aktívan használt számokat, például a „nulla” fogalmat, valamint a kalkulus helyzeti változatát, amely ismerős a modern felfogás számára. Al-Kashitól, aki a 15. században Szamarkandban dolgozott, tizedes törteket örököltünk, amelyek nélkül nehéz elképzelni a modern aritmetikát.
A Kelet vívmányaival való Európa megismerkedése sok tekintetben lehetségessé vált Leonardo Fibonacci olasz tudós munkájának köszönhetően, aki megírta „Az abakusz könyve” című művet, amely a keleti újításokat ismerteti. Ez lett az algebra és aritmetika, a kutatás és a tudományos tevékenységek fejlődésének sarokköve Európában.
orosz aritmetika
És végül az aritmetika, amely megtalálta a helyét és gyökeret vert Európában, elkezdett elterjedni az orosz földeken. Az első orosz aritmetika 1703-ban jelent meg – Leonty Magnitsky aritmetikáról szóló könyve volt. Sokáig ez volt az egyetlen matematika tankönyv. Az algebra és a geometria kezdeti mozzanatait tartalmazza. Az első oroszországi aritmetikai tankönyv példáiban használt számok arab nyelvűek. Bár arab számokat korábban is láttak, a 17. századi metszeteken.
Maga a könyv Arkhimédész és Püthagorasz képeivel van díszítve, az első lapon pedig az aritmetika képe nő alakban. Egy trónon ül, alá héberül egy Isten nevét jelző szót írnak, a trónhoz vezető lépcsőkre pedig az „osztás”, „szorzás”, „összeadás” stb. szavakat írják. amelyek ma már általánosnak számítanak.
Egy 600 oldalas tankönyv lefedi mind az alapokat, mint az összeadás- és szorzótáblák, valamint a navigációs tudományok alkalmazásai.
Nem meglepő, hogy a szerző görög gondolkodók képeit választotta könyvéhez, mert őt magát is magával ragadta az aritmetika szépsége, mondván: "Az aritmetika a számláló, van művészet őszinte, irigylhetetlen…". Ez az aritmetikai megközelítés igencsak indokolt, mert széleskörű bevezetése tekinthető a tudományos gondolkodás rohamos fejlődésének kezdetének Oroszországban és az általános oktatásban.
Előíratlan prímszámok
A prímszám olyan természetes szám, amelynek csak 2 pozitív osztója van: 1 és önmaga. Az összes többi számot, kivéve az 1-et, összetettnek nevezzük. Példák prímszámokra: 2, 3, 5, 7, 11 és az összes többi, amelynek nincs más osztója, mint 1 és önmagán.
Ami az 1-es számot illeti, az egy speciális számlán van – megállapodás született arról, hogy nem tekinthető sem egyszerűnek, sem összetettnek. Első pillantásra egyszerű, egy egyszerű szám sok megfejtetlen rejtélyt rejt magában.
Eukleidész tétele azt mondja, hogy végtelen számú prímszám létezik, és Eratoszthenész feltalált egy speciális aritmetikai „szitát”, amely kiküszöböli a nem prímszámokat, és csak az egyszerűeket hagyja meg.
Lényege az első át nem húzott szám aláhúzása, majd a többszöröseinek áthúzása. Ezt az eljárást sokszor megismételjük – és egy prímszámtáblázatot kapunk.
Az aritmetika alaptétele
A prímszámokkal kapcsolatos megfigyelések között külön meg kell említeni az aritmetika alaptételét.
Az aritmetika alaptétele azt mondja, hogy minden 1-nél nagyobb egész szám vagy prímszám, vagy a tényezők sorrendjének megfelelően, egyedi módon bontható fel prímszámok szorzatára.
Az aritmetika főtétele meglehetősen nehézkesnek bizonyult, és megértése már nem tűnik a legegyszerűbb alaptételeknek.
Első pillantásra a prímszámok elemi fogalom, de nem azok. A fizika egykor az atomot is eleminek tekintette, amíg meg nem találta benne az egész univerzumot. Don Tzagir matematikus csodálatos története "Az első ötvenmillió prímszám" a prímszámoknak szól.
A „három almától” a deduktív törvényekig
Amit valóban minden tudomány megerősített alapjának nevezhetünk, az az aritmetika törvényei. Még gyermekkorban is mindenki szembesül a számolással, tanulmányozza a babák lábai és karjai számát,a kockák, almák stb. száma. Így tanuljuk az aritmetikát, ami aztán bonyolultabb szabályokba megy át.
Egész életünk megismertet minket az aritmetika szabályaival, amelyek az egyszerű ember számára a leghasznosabbak lettek mindabból, amit a tudomány ad. A számok tanulmányozása az "aritmetika-baba", amely kora gyermekkorában bevezeti az embert a számok világába számok formájában.
A felsőfokú aritmetika egy deduktív tudomány, amely az aritmetika törvényeit tanulmányozza. Legtöbbjüket ismerjük, bár lehet, hogy nem ismerjük pontos megfogalmazásukat.
Az összeadás és szorzás törvénye
Két tetszőleges a és b természetes szám kifejezhető a+b összegként, amely egyben természetes szám is lesz. A kiegészítésre a következő törvények vonatkoznak:
- Kommutatív, ami azt mondja, hogy az összeg nem változik a tagok átrendezésétől, vagy a+b=b+a.
- Associative, amely azt mondja, hogy az összeg nem függ a kifejezések hely szerinti csoportosításától, vagy a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Az aritmetika szabályai, például az összeadás, a legelemibbek közé tartoznak, de minden tudomány alkalmazza, a mindennapi életről nem is beszélve.
Két tetszőleges a és b természetes szám kifejezhető ab vagy ab szorzatként, amely szintén természetes szám. A termékre ugyanazok a kommutatív és asszociatív törvények vonatkoznak, mint a kiegészítésre:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Kíváncsi vagyokhogy létezik egy törvény, amely egyesíti az összeadást és a szorzást, amelyet elosztási vagy elosztási törvénynek is neveznek:
a(b+c)=ab+ac
Ez a törvény valójában megtanít bennünket arra, hogy a zárójelekkel dolgozzunk úgy, hogy azokat kibővítjük, így bonyolultabb képletekkel is dolgozhatunk. Ezek azok a törvények, amelyek végigvezetnek minket az algebra bizarr és összetett világán.
A számtani sorrend törvénye
A rend törvényét az emberi logika minden nap alkalmazza, órákat hasonlít össze és bankjegyeket számol. És ennek ellenére formalizálni kell konkrét megfogalmazások formájában.
Ha van két természetes számunk a és b, akkor a következő lehetőségek lehetségesek:
- a egyenlő b-vel, vagy a=b;
- a kisebb, mint b, vagy a < b;
- a nagyobb, mint b, vagy a > b.
Három lehetőség közül csak egy lehet igazságos. A sorrendet szabályozó alaptörvény azt mondja: ha a < b és b < c, akkor a< c.
Vannak törvények a szorzás és az összeadás sorrendjére is: ha a< b, akkor a + c < b+c és ac< bc.
Az aritmetika törvényei megtanítanak bennünket arra, hogy számokkal, jelekkel és zárójelekkel dolgozzunk, mindent a számok harmonikus szimfóniájává alakítva.
Pozíciós és nem pozíciószámítás
Elmondható, hogy a számok egy matematikai nyelv, melynek kényelme sok múlik. Számos számrendszer létezik, amelyek a különböző nyelvek ábécéihez hasonlóan különböznek egymástól.
Vizsgáljuk meg a számrendszereket a pozíció mennyiségi értékre gyakorolt befolyása szempontjábólszámok ebben a pozícióban. Így például a római rendszer nem pozicionális, ahol minden szám egy bizonyos speciális karakterkészlettel van kódolva: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ezek megegyeznek az 1 számokkal. / 5/10/50/100/500/ 1000. Egy ilyen rendszerben a szám nem változtatja meg a mennyiségi definícióját attól függően, hogy milyen pozícióban van: első, második stb. Ha más számokat szeretne kapni, össze kell adnia az alapszámokat. Például:
- DCC=700.
- CCM=800.
A számunkra jobban ismert, arab számokat használó számrendszer pozicionális. Egy ilyen rendszerben egy szám számjegye határozza meg a számjegyek számát, például háromjegyű számok: 333, 567 stb. Bármely számjegy súlya attól függ, hogy ez vagy az a számjegy hol helyezkedik el, például a második pozícióban lévő 8-as szám értéke 80. Ez jellemző a decimális rendszerre, vannak más helyrendszerek is, pl., bináris.
Bináris aritmetika
Ismerjük a decimális rendszert, amely egy- és többjegyű számokból áll. A többjegyű szám bal oldalán lévő szám tízszer jelentősebb, mint a jobb oldali. Tehát megszoktuk, hogy 2-t, 17-et, 467-et stb. olvasunk. A "bináris aritmetika"-nak nevezett szakasz teljesen más logikával és megközelítéssel rendelkezik. Ez nem meglepő, mert a bináris aritmetika nem az emberi logikára, hanem a számítógépes logikára jött létre. Ha a számok aritmetikája az objektumok számlálásából származik, amelyet az objektum tulajdonságaitól tovább elvonatkoztattak "csupasz" aritmetikává, akkor ez számítógéppel nem fog működni. Hogy meg tudjunk osztaniszámítógépes tudásával az embernek ki kellett találnia egy ilyen számítási modellt.
A bináris aritmetika a bináris ábécével működik, amely csak 0-ból és 1-ből áll. Ennek az ábécének a használatát bináris rendszernek nevezik.
A bináris aritmetika és a decimális aritmetika között az a különbség, hogy a bal oldali pozíció jelentősége már nem 10, hanem 2-szerese. A bináris számok 111, 1001 stb. alakúak. Hogyan lehet megérteni az ilyen számokat? Tehát vegyük figyelembe az 1100 számot:
- Az első számjegy a bal oldalon 18=8, ne feledjük, hogy a negyedik számjegy, ami azt jelenti, hogy meg kell szorozni 2-vel, a 8-as pozíciót kapjuk.
- Második számjegy 14=4 (4. pozíció).
- Harmadik számjegy 02=0 (2. pozíció).
- Negyedik számjegy 01=0 (1. pozíció).
- Tehát a számunk 1100=8+4+0+0=12.
Azaz, amikor egy új számjegyre lép a bal oldalon, a jelentősége a bináris rendszerben 2-vel, decimálisban pedig 10-zel megszorozódik. Egy ilyen rendszernek van egy mínusza: túl nagy növekedés számjegyek, amelyek a számok írásához szükségesek. A decimális számok bináris számként való megjelenítésére a következő táblázatban talál példákat.
A tizedes számok bináris formában az alábbiakban láthatók.
Oktális és hexadecimális rendszer is használatos.
Ez a titokzatos aritmetika
Mi az aritmetika, a „kétszer kettő” vagy a számok feltáratlan rejtélyei? Amint látja, az aritmetika első pillantásra egyszerűnek tűnhet, de nyilvánvaló könnyedsége megtévesztő. A bagoly nénivel együtt a gyerekek is tanulmányozhatjákrajzfilm "Aritmetic-baby", és elmerülhet egy szinte filozófiai rendű, mélyen tudományos kutatásban. A történelem során a tárgyak számolásától eljutott a számok szépségének hódolatáig. Csak egyet lehet biztosan tudni: az aritmetika alapposztulátumainak megállapításával minden tudomány az erős vállára támaszkodhat.
