Még az iskolában is minden diák megismerkedik az "euklideszi geometria" fogalmával, melynek főbb rendelkezései több geometriai elemeken alapuló axiómák köré összpontosulnak, mint például pont, sík, egyenes, mozgás. Ezek együttesen alkotják azt, amit régóta "euklideszi tér" néven ismernek.
Euklideszi tér, amelynek meghatározása a vektorok skaláris szorzásán alapul, a lineáris (affin) tér speciális esete, amely számos követelményt kielégít. Először is, a vektorok skaláris szorzata abszolút szimmetrikus, vagyis az (x;y) koordinátákkal rendelkező vektor mennyiségileg azonos az (y;x) koordinátájú vektorral, de ellentétes irányú.
Másodszor, ha egy vektor skaláris szorzatát önmagával hajtjuk végre, akkor ennek a műveletnek az eredménye pozitív lesz. Az egyetlen kivétel az az eset, amikor ennek a vektornak a kezdeti és végső koordinátái egyenlők nullával: ebben az esetben a szorzata önmagával is egyenlő lesz nullával.
Harmadszor, a skaláris szorzat disztributív, azaz lehetséges az egyik koordinátáját két érték összegére bontani, ami a vektorok skaláris szorzásának végeredményében semmilyen változást nem eredményez. Végül, negyedszer, amikor a vektorokat megszorozzuk ugyanazzal a valós számmal, a skalárszorzatuk is ugyanilyen tényezővel nő.
Ha ez a négy feltétel teljesül, bátran kijelenthetjük, hogy van egy euklideszi tér.
Euklideszi tér gyakorlati szempontból a következő konkrét példákkal jellemezhető:
- A legegyszerűbb eset egy vektorhalmaz jelenléte a geometria alaptörvényei szerint meghatározott skaláris szorzattal.
- Az euklideszi teret akkor is megkapjuk, ha vektorokon a valós számok egy bizonyos véges halmazát értjük, adott képlettel, amely leírja a skaláris összegüket vagy szorzatukat.
- Az euklideszi tér speciális esete az úgynevezett nullatér, amelyet akkor kapunk, ha mindkét vektor skaláris hossza nulla.
Az euklideszi térnek számos sajátos tulajdonsága van. Először is, a skalártényezőt a skalárszorzat első és második tényezőjéből is ki lehet venni a zárójelből, az ebből származó eredmény semmilyen módon nem fog változni. Másodszor, a skalár első elemének eloszlásával együtttermék, a második elem eloszlása is hat. Emellett a vektorok skaláris összege mellett a vektorkivonás esetén disztributivitás is megvalósul. Végül, harmadszor, ha egy vektort skalárisan megszorozunk nullával, az eredmény is nulla lesz.
Így az euklideszi tér a legfontosabb geometriai fogalom, amelyet a vektorok egymáshoz viszonyított elrendezésével kapcsolatos problémák megoldására használnak, és amelyet olyan fogalom jellemez, mint a skaláris szorzat.
