A „Fermat-tétel – egy rövid bizonyíték” kérés népszerűségéből ítélve ez a matematikai probléma valóban sokakat érdekel. Ezt a tételt először Pierre de Fermat mondta ki 1637-ben az Aritmetika egy példányának szélén, ahol azt állította, hogy olyan megoldása van, amely túl nagy ahhoz, hogy elférjen a szélén.
Az első sikeres bizonyítást 1995-ben tették közzé – ez volt Andrew Wiles Fermat-tételének teljes bizonyítása. Ezt "megdöbbentő fejlődésnek" nevezték, és Wiles 2016-ban megkapta az Abel-díjat. Bár viszonylag röviden leírták, a Fermat-tétel bizonyítása a modularitási tétel nagy részét is bebizonyította, és új megközelítéseket nyitott számos más probléma és hatékony módszer felé a modularitás emelésére. Ezek az eredmények 100 évvel a jövőbe vitték a matematikát. Fermat kis tételének mai bizonyítása nemvalami szokatlan.
A megoldatlan probléma a 19. században az algebrai számelmélet fejlődését, a 20. században pedig a modularitástétel bizonyításának keresését ösztönözte. Ez az egyik legfigyelemreméltóbb tétel a matematika történetében, és Fermat utolsó tételének teljes felosztási bizonyításáig a Guinness Rekordok Könyvében szerepelt, mint "a legnehezebb matematikai probléma", amelynek egyik jellemzője, hogy ennek van a legtöbb sikertelen bizonyítása.
Történelmi háttér
Pitagorasz egyenlet x2 + y2=z2 végtelen számú pozitív egész megoldások x, y és z számára. Ezeket a megoldásokat Pitagorasz-háromságnak nevezzük. 1637 körül Fermat azt írta a könyv szélére, hogy az általánosabb egyenletnek a + b =cnincs. megoldások természetes számokban, ha n 2-nél nagyobb egész szám. Bár maga Fermat azt állította, hogy van megoldása a problémájára, nem hagyott részleteket a bizonyításáról. Fermat tételének elemi bizonyítása, amelyet megalkotója állított, inkább az ő hencegő találmánya volt. A nagy francia matematikus könyvét 30 évvel halála után fedezték fel. Ez az egyenlet, amelyet Fermat utolsó tételének neveznek, három és fél évszázadon át megoldatlan maradt a matematikában.
A tétel végül a matematika egyik legjelentősebb megoldatlan problémája lett. Ennek bizonyítására tett kísérletek a számelmélet jelentős fejlődését idézték elő, és a passzussalIdővel Fermat utolsó tétele megoldatlan matematikai problémaként vált ismertté.
A bizonyítékok rövid története
Ha n=4, ahogyan azt maga Fermat is bebizonyította, akkor elegendő a tétel bizonyítása azokra az n indexekre, amelyek prímszámok. A következő két évszázadban (1637-1839) a sejtés csak a 3-as, 5-ös és 7-es prímszámra igazolódott, bár Sophie Germain frissítette és bebizonyította azt a megközelítést, amely az egész prímosztályra érvényes. A 19. század közepén Ernst Kummer kibővítette ezt, és bebizonyította a tételt minden reguláris prímre, ahol az irreguláris prímeket egyenként elemezték. Kummer munkája alapján és kifinomult számítógépes kutatások segítségével más matematikusok ki tudták terjeszteni a tétel megoldását, azzal a céllal, hogy az összes fő kitevőt lefedjék négymillióig, de az összes kitevőre vonatkozó bizonyíték még mindig nem állt rendelkezésre (ami azt jelenti, hogy a matematikusok a tétel megoldását általában lehetetlennek, rendkívül nehéznek vagy a jelenlegi ismeretekkel elérhetetlennek tartották.
Simura és Taniyama munkája
1955-ben Goro Shimura és Yutaka Taniyama japán matematikusok azt gyanították, hogy kapcsolat van az elliptikus görbék és a moduláris formák, a matematika két nagyon különböző ága között. Akkoriban Taniyama-Shimura-Weyl sejtésként és (végső soron) modularitási tételként ismerték, önmagában létezett, anélkül, hogy nyilvánvaló összefüggés lenne Fermat utolsó tételével. Magát széles körben fontos matematikai tételnek tartották, de úgy ítélték meg (mint Fermat-tétel) lehetetlen bizonyítani. Abban azUgyanakkor Fermat Utolsó Tételének bizonyítására (osztással és összetett matematikai képletek alkalmazásával) csak fél évszázaddal később került sor.
1984-ben Gerhard Frey nyilvánvaló kapcsolatot észlelt e két, korábban nem összefüggő és megoldatlan probléma között. A két tétel szoros összefüggésének teljes megerősítését 1986-ban tette közzé Ken Ribet, aki Jean-Pierre Serra részleges bizonyítására alapozta, aki egy rész kivételével az "epszilon-hipotézisnek" nevezett részt bebizonyította. Egyszerűen fogalmazva, Frey, Serra és Ribe ezek a munkái megmutatták, hogy ha a modularitási tétel legalább az elliptikus görbék egy félig kiszámítható osztályára bebizonyítható, akkor előbb-utóbb Fermat utolsó tételének bizonyítása is felfedezhető. Bármely megoldás, amely ellentmondhat Fermat utolsó tételének, a modularitási tétel ellentmondására is használható. Ezért, ha a modularitástétel igaznak bizonyult, akkor definíció szerint nem létezik olyan megoldás, amely ellentmond Fermat utolsó tételének, ami azt jelenti, hogy hamarosan be kellett volna bizonyítani.
Bár mindkét tétel nehéz matematikai probléma volt, amelyeket megoldhatatlannak tartottak, a két japán munkája volt az első javaslat arra vonatkozóan, hogyan lehetne Fermat utolsó tételét kiterjeszteni és bizonyítani minden számra, nem csak néhányra. A vizsgálati témát választó kutatók számára fontos volt az a tény, hogy Fermat utolsó tételével ellentétben a modularitástétel volt a fő aktív kutatási terület.evidencia alakult ki, és nem csak a történelmi furcsaság, így a munkájára fordított idő szakmai szempontból is igazolható volt. Az általános konszenzus azonban az volt, hogy a Taniyama-Shimura sejtés megoldása nem bizonyult megfelelőnek.
Farm utolsó tétele: Wiles bizonyítása
Miután megtudta, hogy Ribet bebizonyította Frey elméletének helyességét, Andrew Wiles angol matematikus, akit gyermekkora óta érdekelt Fermat utolsó tétele, és tapasztalata van elliptikus görbékkel és szomszédos tartományokkal, úgy döntött, megpróbálja bizonyítani a Taniyama-Shimura. Sejtés, mint Fermat utolsó tételének bizonyítási módja. 1993-ban, hat évvel céljának bejelentése után, miközben titokban a tétel megoldásának problémáján dolgozott, Wilesnek sikerült bebizonyítania egy ezzel kapcsolatos sejtést, ami viszont segítene Fermat utolsó tételének bizonyításában. Wiles dokumentumának mérete és terjedelme óriási volt.
Egy hibát fedeztek fel eredeti dolgozatának egyik részében a szakértői értékelés során, és további évnyi együttműködésre volt szükség Richard Taylorral a tétel közös megoldásához. Ennek eredményeként Wiles utolsó bizonyítása Fermat utolsó tételére nem váratott sokáig. 1995-ben sokkal kisebb terjedelemben adták ki, mint Wiles korábbi matematikai munkája, illusztrálva, hogy nem tévedett korábbi következtetéseiben a tétel bizonyításának lehetőségével kapcsolatban. Wiles eredményeit széles körben ismertették a népszerű sajtóban, és népszerűvé váltak könyvekben és televíziós műsorokban. A Taniyama-Shimura-Weil sejtés fennmaradó részei, amelyek mára bebizonyosodtak ésA modularitási tételként ismert elméleteket később más matematikusok is bebizonyították, akik Wiles 1996 és 2001 között végzett munkájára építettek. Eredményéért Wiles-t kitüntetésben részesítették, és számos díjat kapott, köztük a 2016-os Abel-díjat.
Wiles bizonyítása Fermat utolsó tételére az elliptikus görbék modularitási tételének megoldásának speciális esete. Ez azonban egy ilyen nagyszabású matematikai művelet leghíresebb esete. Ribe tételének megoldása mellett a brit matematikus bizonyítást is szerzett Fermat utolsó tételére. Fermat utolsó tételét és modularitási tételét a modern matematikusok szinte általánosan bizonyíthatatlannak tartották, de Andrew Wiles be tudta bizonyítani a tudományos világnak, hogy még a szakértők is tévedhetnek.
Wyles először 1993. június 23-án, szerdán jelentette be felfedezését a "Moduláris formák, elliptikus görbék és Galois-ábrázolások" című cambridge-i előadáson. 1993 szeptemberében azonban kiderült, hogy számításai hibát tartalmaztak. Egy évvel később, 1994. szeptember 19-én, abban, amit "munkásélete legfontosabb pillanatának" nevezett, Wiles egy olyan kinyilatkoztatásba botlott, amely lehetővé tette számára, hogy a probléma megoldását olyan pontra rögzítse, amely kielégíti a matematikai követelményeket. közösség.
Munkaleírás
A Fermat-tétel bizonyítása, Andrew Wiles, számos módszert használ az algebrai geometriából és a számelméletből, és ezeknek számos következménye van.a matematika területei. Használja a modern algebrai geometria standard konstrukcióit is, például a sémák kategóriáját és az Iwasawa-elméletet, valamint a 20. század egyéb olyan módszereit, amelyek Pierre de Fermat számára nem voltak elérhetőek.
A bizonyítékokat tartalmazó két cikk 129 oldalas, és hét év alatt íródott. John Coates ezt a felfedezést a számelmélet egyik legnagyobb vívmányának nevezte, John Conway pedig a 20. század legnagyobb matematikai vívmányának nevezte. Wiles, hogy Fermat utolsó tételét bebizonyítsa a modularitási tétel bizonyításával a félezhető elliptikus görbék speciális esetére, hatékony módszereket dolgozott ki a modularitás emelésére, és számos más probléma új megközelítését nyitotta meg. Fermat utolsó tételének megoldásáért lovaggá ütötték, és további kitüntetéseket kapott. Amikor kiderült, hogy Wiles elnyerte az Abel-díjat, a Norvég Tudományos Akadémia teljesítményét "Fermat utolsó tételének csodálatos és elemi bizonyítékaként" jellemezte.
Hogy volt
Az egyik ember, aki átnézte Wiles eredeti kéziratát a tétel megoldásával, Nick Katz volt. Áttekintése során számos tisztázó kérdést tett fel a britnek, amelyek arra késztették Wiles-t, hogy elismerje, hogy munkája egyértelműen hiányos. A bizonyítás egyik kritikus részében hiba történt, amely becslést adott egy adott csoport sorrendjére: a Kolyvagin és Flach módszer kiterjesztésére használt Euler-rendszer hiányos volt. A hiba azonban nem tette haszontalanná munkáját – Wiles munkájának minden darabja önmagában is nagyon jelentős és innovatív volt, ahogy sok más is.fejlesztések és módszerek, amelyeket munkája során hozott létre, és amelyek a kéziratnak csak egy részét érintették. Ennek az 1993-ban megjelent eredeti műnek azonban nem igazán volt bizonyítéka Fermat utolsó tételére.
Wyles csaknem egy évet töltött azzal, hogy újra felfedezze a tétel megoldását, először egyedül, majd korábbi tanítványával, Richard Taylorral együttműködve, de úgy tűnt, minden hiábavaló volt. 1993 végére pletykák keringtek arról, hogy Wiles bizonyítása kudarcot vallott a tesztelés során, de azt, hogy a kudarc mennyire súlyos, nem ismert. A matematikusok nyomást gyakoroltak Wiles-re, hogy fedje fel munkája részleteit, akár megtörtént, akár nem, hogy a matematikusok szélesebb közössége feltárhassa és felhasználhassa mindazt, amit elért. Ahelyett, hogy gyorsan kijavította volna hibáját, Wiles csak további nehéz szempontokat fedezett fel Fermat utolsó tételének bizonyítása során, és végül rájött, milyen nehéz is volt.
Wyles kijelenti, hogy 1994. szeptember 19-én reggel a feladás és a feladás küszöbén állt, és szinte beletörődött a kudarcba. Kész volt publikálni befejezetlen munkáját, hogy mások is építhessenek rá, és megtalálják, hol tévedett. Az angol matematikus úgy döntött, ad magának egy utolsó esélyt, és utoljára elemezte a tételt, hogy megpróbálja megérteni a fő okokat, miért nem működött a megközelítése, amikor hirtelen rájött, hogy a Kolyvagin-Flac megközelítés nem fog működni, amíg meg nemIwasawa elméletét is bevonja a bizonyítási folyamatba, így működik.
Október 6-án Wiles felkérte három kollégáját (köztük F altinst), hogy tekintsék át új munkáját, és 1994. október 24-én benyújtott két kéziratot – „Moduláris elliptikus görbék és Fermat utolsó tétele” és „Az elméleti tulajdonságai néhány Hecke algebra gyűrűje , amelyek közül a másodikat Wiles Taylorral közösen írta, és bebizonyította, hogy bizonyos feltételek teljesülnek a fő cikkben szereplő javított lépés igazolásához.
Ezt a két tanulmányt felülvizsgálták, és végül teljes szöveges kiadásként adták ki az Annals of Mathematics 1995. májusi számában. Andrew új számításait széles körben elemezte, és végül elfogadta a tudományos közösség. Ezekben a cikkekben a modularitási tételt a félig kiszámítható elliptikus görbékre határozták meg – ez az utolsó lépés Fermat utolsó tételének bizonyítása felé, 358 évvel a létrehozása után.
A nagy probléma története
Ennek a tételnek a megoldását évszázadok óta a matematika legnagyobb problémájának tekintették. 1816-ban és 1850-ben a Francia Tudományos Akadémia díjat ajánlott fel Fermat utolsó tételének általános bizonyítására. 1857-ben az Akadémia 3000 frankkal és aranyéremmel jutalmazta Kummert az ideális számok kutatásáért, bár ő nem pályázott a díjra. Egy másik díjat ajánlott fel neki 1883-ban a Brüsszeli Akadémia.
Wolfskell-díj
1908-ban Paul Wolfskel német iparos és amatőr matematikus 100 000 aranymárkát hagyott örökül (akkoriban nagy összeget)Göttingeni Tudományos Akadémia, hogy ez a pénz Fermat utolsó tételének teljes bizonyításának jutalma legyen. 1908. június 27-én az Akadémia kilenc kitüntetési szabályzatot tett közzé. Többek között ezek a szabályok megkövetelték, hogy a bizonyítékot lektorált folyóiratban tegyék közzé. A díjat csak a megjelenés után két évvel adták át. A versenynek 2007. szeptember 13-án kellett volna lejárnia – körülbelül egy évszázaddal a kezdete után. 1997. június 27-én Wiles megkapta Wolfschel pénzdíját, majd további 50 000 dollárt. 2016 márciusában 600 000 eurót kapott a norvég kormánytól az Abel-díj részeként, amiért „Fermat utolsó tételének csodálatos bizonyítása a félosztható elliptikus görbék modularitási sejtése segítségével, új korszakot nyitva ezzel a számelméletben”. Ez volt az alázatos angol világdiadala.
Wiles bizonyítása előtt Fermat tételét, ahogy korábban említettük, évszázadokon át abszolút megoldhatatlannak tartották. Különböző időpontokban több ezer téves bizonyítékot nyújtottak be a Wolfskell-bizottságnak, amelyek körülbelül 3 méteres levelezést jelentenek. Csak a díj fennállásának első évében (1907-1908) 621 pályázat érkezett a tétel megfejtésére, bár az 1970-es évekre számuk havi 3-4 pályázatra csökkent. F. Schlichting, Wolfschel bírálója szerint a bizonyítékok többsége az iskolákban tanított elemi módszereken alapult, és gyakran „technikai hátterű, de sikertelen karrierrel rendelkező emberekként” mutatták be. Howard Aves matematikatörténész szerint az utolsóFermat tétele egyfajta rekordot döntött – ez az a tétel, amelynél a legtöbb hibás bizonyítás van.
A Farm babérjait a japánok szerezték
Amint korábban említettük, 1955 körül Goro Shimura és Yutaka Taniyama japán matematikusok lehetséges kapcsolatot fedeztek fel a matematika két látszólag teljesen eltérő ága – az elliptikus görbék és a moduláris formák – között. Az így kapott modularitási tétel (akkor Taniyama-Shimura sejtésként ismert) kimondja, hogy minden elliptikus görbe moduláris, ami azt jelenti, hogy egy egyedi moduláris formához társítható.
Az elméletet kezdetben elvetették, mint valószínűtlen vagy erősen spekulatív, de komolyabban vették, amikor André Weil számelméleti bizonyítékot talált a japán következtetések alátámasztására. Ennek eredményeként a hipotézist gyakran Taniyama-Shimura-Weil hipotézisnek nevezik. Részese lett a Langlands programnak, amely olyan fontos hipotézisek listája, amelyeket a jövőben bizonyítani kell.
A sejtést a modern matematikusok még komoly vizsgálat után is rendkívül nehéznek, vagy talán bizonyíthatatlannak találták. Most ez a bizonyos tétel Andrew Wiles-re vár, aki az egész világot meglepheti megoldásával.
Fermat-tétel: Perelman bizonyítása
A népszerű mítosz ellenére Grigory Perelman orosz matematikusnak, minden zsenialitása ellenére, semmi köze Fermat tételéhez. Ami azonban semmiképpen sem von le belőle.számos hozzájárulást nyújtott a tudományos közösséghez.
