Steiner-tétel vagy párhuzamos tengelyek tétele a tehetetlenségi nyomaték kiszámításához

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 05:29

A forgó mozgás matematikai leírásánál fontos ismerni a rendszer tehetetlenségi nyomatékát a tengely körül. Általában ennek a mennyiségnek a megállapítására szolgáló eljárás magában foglalja az integrációs folyamat végrehajtását. Az úgynevezett Steiner-tétel megkönnyíti a számítást. Vizsgáljuk meg részletesebben a cikkben.

Mi a tehetetlenségi nyomaték?

Mielőtt megfogalmazzuk a Steiner-tételt, magával a tehetetlenségi nyomaték fogalmával kell foglalkozni. Tegyük fel, hogy létezik bizonyos tömegű és tetszőleges alakú test. Ez a test lehet anyagi pont vagy bármilyen kétdimenziós vagy háromdimenziós tárgy (rúd, henger, golyó stb.). Ha a kérdéses tárgy körmozgást végez valamilyen tengely körül állandó α szöggyorsulással, akkor a következő egyenlet írható fel:

M=Iα

Itt az M érték az erők össznyomatékát jelenti, ami α gyorsulást ad a teljes rendszerre. A köztük lévő arányossági együtthatót - I, neveziktehetetlenségi nyomaték. Ezt a fizikai mennyiséget a következő általános képlet segítségével számítjuk ki:

I=∫_m (r²dm)

Itt r a távolság a dm tömegű elem és a forgástengely között. Ez a kifejezés azt jelenti, hogy meg kell találni az r² négyzetes távolságok és a dm elemi tömeg szorzatát. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték nem tiszta jellemzője a testnek, ami megkülönbözteti a lineáris tehetetlenségtől. Ez a forgó tárgyon belüli tömegeloszlástól, valamint a tengely távolságától és a test hozzá viszonyított tájolásától függ. Például egy rúdnak más az I értéke, ha a tömegközéppont körül és a vége körül forgatjuk.

Tehetetlenségi nyomaték és Steiner tétele

A híres svájci matematikus, Jakob Steiner bebizonyította a párhuzamos tengelyekre és a tehetetlenségi nyomatékra vonatkozó tételt, amely ma az ő nevét viseli. Ez a tétel azt feltételezi, hogy a tehetetlenségi nyomaték abszolút bármely tetszőleges geometriájú merev test valamely forgástengelyéhez viszonyítva egyenlő a test tömegközéppontját metsző tengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, és párhuzamos az elsővel., és a testtömeg szorzata e tengelyek távolságának négyzetével. Matematikailag ez a megfogalmazás a következőképpen írható:

I_Z=I_O + ml²

I_Z és I_O - tehetetlenségi nyomatékok a Z-tengely és a vele párhuzamos O-tengely körül, amely áthalad a test tömegközéppontján keresztül, l - a Z és O egyenesek távolsága.

A tétel lehetővé teszi, hogy az I_O értékének ismeretében kiszámítsukbármely más pillanatban I_Z egy olyan tengely körül, amely párhuzamos az O-val.

A tétel bizonyítása

A Steiner-tétel képletét könnyen megszerezheti saját maga. Ehhez vegyünk egy tetszőleges testet az xy síkon. Hagyja, hogy a koordináták origója áthaladjon ennek a testnek a tömegközéppontján. Számítsuk ki az I_O tehetetlenségi nyomatékot, amely átmegy az xy síkra merőleges origón. Mivel a test bármely pontjának távolságát az r=√ képlet fejezi ki (x² + y²), akkor az integrált kapjuk:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Most mozgassuk el a tengelyt párhuzamosan az x tengely mentén egy l távolsággal, például pozitív irányba, akkor a tehetetlenségi nyomaték új tengelyére a számítás a következőképpen fog kinézni:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Bővítse ki a teljes négyzetet zárójelben, és osztja el az integrandusokat, így kapjuk:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Az első kifejezés az I_O, a harmadik tag az integráció után az l²m kifejezést adja., és itt a második tag nulla. A megadott integrál nullázása abból adódik, hogy x és dm tömegelemek szorzatából veszi, amely aaz átlag nullát ad, mivel a tömegközéppont az origóban van. Ennek eredményeként megkapjuk a Steiner-tétel képletét.

A síkon vizsgált eset általánosítható háromdimenziós testre.

A Steiner-képlet ellenőrzése egy rúd példáján

Vegyünk egy egyszerű példát a fenti tétel használatának bemutatására.

Ismert, hogy egy L hosszúságú és m tömegű rúd esetén az I_O tehetetlenségi nyomaték (a tengely átmegy a tömegközépponton) egyenlő m L² /12, és az I_Z (a tengely áthalad a rúd végén) pillanat egyenlő mL 2^{/3. Ellenőrizzük ezeket az adatokat Steiner tételével. Mivel a két tengely távolsága L/2, így azt a pillanatot kapjuk, hogy I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Azaz ellenőriztük a Steiner-képletet, és ugyanazt az értéket kaptuk I_Z, mint a forrásban.

Hasonló számítások végezhetők más testekre (henger, golyó, tárcsa), a szükséges tehetetlenségi nyomatékok beszerzése mellett, és integráció nélkül.

Tehetetlenségi nyomaték és merőleges tengelyek

A vizsgált tétel párhuzamos tengelyekre vonatkozik. Az információk teljessége érdekében érdemes egy tételt megadni a merőleges tengelyekre is. A következőképpen van megfogalmazva: tetszőleges alakú lapos tárgy esetén a rá merőleges tengely körüli tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz két egymásra merőleges és fekvő tehetetlenségi nyomaték összegével.a tengelyek objektum síkjában, mindhárom tengely ugyanazon a ponton halad át. Matematikailag ez a következőképpen van leírva:

I_z=I_x + I_y

Itt z, x, y három egymásra merőleges forgástengely.

A lényeges különbség ez a tétel és a Steiner-tétel között az, hogy csak lapos (kétdimenziós) szilárd tárgyakra alkalmazható. Ennek ellenére a gyakorlatban széles körben használják, gondolatban külön rétegekre vágják a testet, majd hozzáadják a kapott tehetetlenségi nyomatékokat.