Ha a klasszikus mechanikában a testek lineáris mozgását Newton-törvények segítségével írják le, akkor a mechanikai rendszerek körpályák mentén történő mozgásának jellemzőit egy speciális kifejezéssel számítják ki, amelyet nyomatékegyenletnek neveznek. Milyen pillanatokról beszélünk, és mi ennek az egyenletnek a jelentése? Ezeket és más kérdéseket a cikk felfedi.
Az erő pillanata
Mindenki jól ismeri a newtoni erőt, amely a testre hatva gyorsulást kölcsönöz neki. Ha ilyen erőt alkalmazunk egy bizonyos forgástengelyen rögzített tárgyra, akkor ezt a jellemzőt általában erőnyomatéknak nevezik. Az erőnyomaték-egyenlet a következőképpen írható fel:
M¯=L¯F¯
Az alábbi képen látható ez a kifejezés.
Itt látható, hogy az F¯ erő az L¯ vektorra Φ szögben irányul. Feltételezzük, hogy magát az L¯ vektort a forgástengelytől (nyíl jelzi) az alkalmazási pont felé irányítjuk. F¯.
A fenti képlet két vektor szorzata, tehát M¯ is irányított. Merre fordul el az M¯ erőnyomaték? Ez a jobb kéz szabályával határozható meg (négy ujj az L¯ vektor végétől az F¯ végéig tartó pálya mentén, a bal hüvelykujj pedig M¯ irányát jelzi).
A fenti ábrán az erőnyomaték skaláris alakban kifejezett kifejezése a következő formában lesz:
M=LFsin(Φ)
Ha alaposan megnézi az ábrát, láthatja, hogy Lsin(Φ)=d, akkor a következő képletet kapjuk:
M=dF
A d értéke fontos jellemző az erőnyomaték számításánál, mivel tükrözi a rendszerre alkalmazott F hatékonyságát. Ezt az értéket az erő karjának nevezzük.
Az M fizikai jelentése az erőnek a rendszert forgató képességében rejlik. Mindenki érezheti ezt a képességet, ha a kilincsnél fogva nyitja ki az ajtót, a zsanérok közelében nyomja, vagy ha rövid és hosszú kulccsal próbálja kicsavarni az anyát.
A rendszer egyensúlya
Az erőnyomaték fogalma nagyon hasznos, ha egy olyan rendszer egyensúlyát vizsgáljuk, amelyre több erő hat, és amelynek van egy tengelye vagy forgáspontja. Ilyen esetekben alkalmazza a következő képletet:
∑iMi¯=0
Azaz a rendszer akkor lesz egyensúlyban, ha a rá ható erők összes momentuma nulla. Vegye figyelembe, hogy ebben a képletben van egy vektorjel a pillanat felett, vagyis a megoldás során nem szabad elfelejteni ennek előjelétmennyiségeket. Az általánosan elfogadott szabály az, hogy a rendszert az óramutató járásával ellentétes irányba forgató ható erő pozitív Mi¯.
Az ilyen típusú problémák szembetűnő példája az Arkhimédész karjainak egyensúlyával kapcsolatos problémák.
A lendület pillanata
Ez a körkörös mozgás másik fontos jellemzője. A fizikában a lendület és a kar szorzataként írják le. A lendületi egyenlet így néz ki:
T¯=r¯p¯
Itt p¯ az impulzusvektor, r¯ a forgó anyagpontot a tengellyel összekötő vektor.
Az alábbi ábra szemlélteti ezt a kifejezést.
Itt ω a szögsebesség, amely a nyomatékegyenletben tovább fog megjelenni. Figyeljük meg, hogy a T¯ vektor irányát ugyanaz a szabály határozza meg, mint az M¯. A fenti ábrán a T¯ iránya egybeesik az ω¯ szögsebesség-vektorral.
A T¯ fizikai jelentése megegyezik a p¯ jellemzőivel lineáris mozgás esetén, azaz a szögimpulzus a forgómozgás (tárolt mozgási energia) mennyiségét írja le.
Tehetetlenségi pillanat
A harmadik fontos jellemző, amely nélkül lehetetlen egy forgó tárgy mozgásegyenletét megfogalmazni, a tehetetlenségi nyomaték. A fizikában az anyagi pont szögimpulzusának képletének matematikai transzformációi eredményeként jelenik meg. Mutatjuk, hogyan kell csinálni.
Képzeljük el az értéketT¯ a következőképpen:
T¯=r¯mv¯, ahol p¯=mv¯
A szög- és lineáris sebességek közötti összefüggést felhasználva ezt a kifejezést a következőképpen írhatjuk át:
T¯=r¯mr¯ω¯, ahol v¯=r¯ω¯
Írja be az utolsó kifejezést a következőképpen:
T¯=r2mω¯
Az r2m érték egy olyan m tömegű pont I tehetetlenségi nyomatéka, amely egy tőle r távolságra lévő tengely körül körkörös mozgást végez. Ez a speciális eset lehetővé teszi, hogy bemutassuk a tehetetlenségi nyomaték általános egyenletét egy tetszőleges alakú testre:
I=∫m (r2dm)
I egy additív mennyiség, melynek jelentése a forgó rendszer tehetetlenségében rejlik. Minél nagyobb I, annál nehezebb megpörgetni a testet, és jelentős erőfeszítésbe kerül megállítani.
Pillanategyenlet
Három mennyiséget vettünk figyelembe, amelyek neve "pillanat" szóval kezdődik. Ez szándékosan történt, mivel mindegyik egy kifejezésben van összekapcsolva, amelyet 3-pillanatú egyenletnek neveznek. Tegyük ki.
Tekintsük a T¯ szögimpulzus kifejezését:
T¯=Iω¯
Keresse meg, hogyan változik a T¯ értéke időben, a következőket találjuk:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Tekintettel arra, hogy a szögsebesség deriváltja egyenlő a lineáris sebesség osztva r-vel, és kiterjesztve I értékét, a következő kifejezéshez jutunk:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, ahol a¯=dv¯/dt a lineáris gyorsulás.
Megjegyezzük, hogy a tömeg és a gyorsulás szorzata nem más, mint a ható F¯ külső erő. Ennek eredményeként a következőt kapjuk:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Érdekes következtetésre jutottunk: a szögimpulzus változása megegyezik a ható külső erő nyomatékával. Ezt a kifejezést általában kissé eltérő formában írják:
M¯=Iα¯, ahol α¯=dω¯/dt – szöggyorsulás.
Ezt az egyenlőséget a pillanatok egyenletének nevezik. Lehetővé teszi a forgó test bármely jellemzőjének kiszámítását, ismerve a rendszer paramétereit és a külső hatás nagyságát.
Megőrzési törvény T¯
Az előző bekezdésben levont következtetés azt jelzi, hogy ha az erők külső nyomatéka nulla, akkor a szögimpulzus nem változik. Ebben az esetben a következő kifejezést írjuk:
T¯=állandó. vagy I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ezt a képletet T¯ megmaradási törvényének nevezik. Ez azt jelenti, hogy a rendszeren belüli változtatások nem változtatják meg a teljes szögimpulzust.
Ezt a tényt műkorcsolyázók és balerinák használják fellépéseik során. Akkor is használják, ha a térben mozgó mesterséges műholdat a tengelye körül kell elforgatni.
