Püthagorasz azzal érvelt, hogy a szám az alapelemekkel együtt a világ alapja. Platón úgy vélte, hogy a szám összekapcsolja a jelenséget és a noumenont, segíti a felismerést, a mérést és a következtetések levonását. Az aritmetika az "aritmosz" szóból származik - egy szám, a kezdetek kezdete a matematikában. Bármilyen objektumot le tud írni – az elemi almától az absztrakt terekig.
Az igények fejlesztési tényezőként
A társadalom kialakulásának korai szakaszában az emberek szükségletei a számolás szükségességére korlátozódtak - egy zsák gabona, két zsák gabona stb. Ehhez elegendőek voltak a természetes számok, amelyek halmaza: egész számok végtelen pozitív sorozata N.
Később a matematika, mint tudomány fejlődésével szükség volt a Z egész számok külön mezőjére - ez tartalmazza a negatív értékeket és a nullát. Háztartási szintű megjelenését az váltotta ki, hogy az elsődleges könyvelésben valahogyan javítani kellettadósságok és veszteségek. Tudományos szinten a negatív számok lehetővé tették a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldását. Többek között egy triviális koordinátarendszer képe vált lehetővé, hiszen megjelent egy referenciapont.
A következő lépés a törtszámok bevezetése volt, mivel a tudomány nem állt meg, egyre több felfedezéshez volt szükség elméleti alapra egy új növekedési lendülethez. Így jelent meg a racionális számok mezője Q.
Végül a racionalitás már nem elégítette ki a kéréseket, mert minden új következtetés igazolást igényelt. Megjelent az R valós számok mezője, Eukleidész munkái bizonyos mennyiségek irracionalitásuk miatti összemérhetetlenségéről. Vagyis az ókori görög matematikusok a számot nemcsak állandóként, hanem absztrakt mennyiségként is pozícionálták, amelyet az összemérhetetlen mennyiségek aránya jellemez. A valós számok megjelenésének köszönhetően olyan mennyiségek, mint a "pi" és az "e" "látták meg a fényt", amelyek nélkül a modern matematika nem létezhetne.
A végső újítás a C komplex szám volt. Számos kérdésre adott választ, és megcáfolta a korábban bevezetett posztulátumokat. Az algebra rohamos fejlődése miatt az eredmény megjósolható volt – valós számok birtokában sok feladat megoldása lehetetlen volt. Például a komplex számoknak köszönhetően kiemelkedett a húrok és a káosz elmélete, és bővültek a hidrodinamikai egyenletek.
Halmazelmélet. Kántor
A végtelen fogalma mindenkorvitákat váltott ki, mivel sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehetett. Ez a szigorúan ellenőrzött posztulátumokkal operáló matematika kontextusában nyilvánult meg a legvilágosabban, főleg, hogy a teológiai szempontnak még mindig volt súlya a tudományban.
Azonban Georg Kantor matematikus munkájának köszönhetően idővel minden a helyére került. Bebizonyította, hogy végtelen sok végtelen halmaz létezik, és hogy az R mező nagyobb, mint az N mező, még akkor is, ha mindkettőnek nincs vége. A 19. század közepén hangosan nonszensznek és a klasszikus, megingathatatlan kánonok elleni bűncselekménynek nevezték elképzeléseit, de az idő mindent a helyére rakott.
Az R mező alapvető tulajdonságai
A valós számok nem csak ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a bennük szereplő részhalmazok, hanem elemeik léptéke miatt másokkal is kiegészítik őket:
- Nulla létezik és az R mezőhöz tartozik. c + 0=c bármely c-re az R-ből.
- Nulla létezik, és az R mezőhöz tartozik. c x 0=0 bármely c-re az R-ből.
- A c: d reláció d ≠ 0 esetén létezik, és minden c, d-re érvényes R-ből.
- Az R mező rendezett, vagyis ha c ≦ d, d ≦ c, akkor c=d bármely c, d esetén R-ből.
- Az összeadás az R mezőben kommutatív, azaz c + d=d + c bármely c, d esetén R-ből.
- A szorzás az R mezőben kommutatív, azaz c x d=d x c bármely c, d esetén R-ből.
- Az összeadás az R mezőben asszociatív, azaz (c + d) + f=c + (d + f) bármely R-ből származó c, d, f esetén.
- A szorzás az R mezőben asszociatív, azaz (c x d) x f=c x (d x f) bármely R-ből származó c, d, f esetén.
- Az R mezőben lévő minden számra van ellentét, így c + (-c)=0, ahol c, -c az R-ből származik.
- Az R mező minden számának megvan a fordítottja, így c x c-1 =1, ahol c, c-1 R.
- Az egység létezik és R-hez tartozik, tehát c x 1=c, bármely c-re az R-ből.
- Az eloszlási törvény érvényes, tehát c x (d + f)=c x d + c x f, bármely c, d, f esetén az R-ből.
- Az R mezőben a nulla nem egyenlő eggyel.
- Az R mező tranzitív: ha c ≦ d, d ≦ f, akkor c ≦ f bármely c, d, f esetén R-ből.
- Az R mezőben a sorrend és az összeadás összefügg: ha c ≦ d, akkor c + f ≦ d + f bármely c, d, f esetén R-ből.
- Az R mezőben a sorrend és a szorzás összefügg: ha 0 ≦ c, 0 ≦ d, akkor 0 ≦ c x d bármely c, d esetén R-ből.
- Mind a negatív, mind a pozitív valós számok folytonosak, azaz R-ből bármely c, d esetén van olyan f az R-ből, hogy c ≦ f ≦ d.
Modul az R mezőben
A valós számok modulust tartalmaznak.
Jelölve: |f| bármely f-re az R-ből. |f|=f, ha 0 ≦ f és |f|=-f, ha 0 > f. Ha a modulust geometriai mennyiségnek tekintjük, akkor ez a megtett távolság – nem számít, hogy nullát „átad” mínuszba vagy előre a pluszba.
Komplex és valós számok. Mik a hasonlóságok és mik a különbségek?
A komplex és a valós számok általában egy és ugyanaz, kivéve ezti képzeletbeli egység, melynek négyzete -1. Az R és C mezők elemei a következő képlettel ábrázolhatók:
c=d + f x i, ahol d, f az R mezőhöz tartozik, i pedig a képzeletbeli egység
Ahhoz, hogy ebben az esetben c-t kapjunk R-ből, f egyszerűen nullával egyenlő, vagyis csak a szám valós része marad meg. Tekintettel arra, hogy a komplex számok mezője ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok mezője, f x i=0, ha f=0.
A gyakorlati különbségeket illetően, például az R mezőben a másodfokú egyenlet nem oldódik meg, ha a diszkrimináns negatív, míg a C mező nem ír elő ilyen korlátozást az i képzeletbeli egység bevezetése miatt.
Eredmények
A matematika alapját képező axiómák és posztulátumok "téglája" nem változik. Az információnövekedés és az új elméletek bevezetése miatt ezek egy részére a következő "téglák" kerülnek, amelyek a jövőben a következő lépés alapjává válhatnak. Például a természetes számok, annak ellenére, hogy az R valós mező részhalmazai, nem veszítik el relevanciájukat. Rajtuk alapul minden elemi aritmetika, amellyel az emberi világ ismerete kezdődik.
Gyakorlati szempontból a valós számok egyenesnek tűnnek. Ezen kiválaszthatja az irányt, kijelölheti az origót és a lépést. Egy egyenes végtelen számú pontból áll, amelyek mindegyike egyetlen valós számnak felel meg, függetlenül attól, hogy az racionális-e vagy sem. A leírásból jól látszik, hogy olyan fogalomról beszélünk, amelyre mind a matematika általában, mind a matematikai elemzés általában is épül.különösen.
