A térbeli alakzatok térfogatának kiszámítása számos gyakorlati geometriai probléma megoldásában fontos. Az egyik leggyakoribb forma a piramis. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a piramis térfogatának képleteit, mind a teljes, mind a csonka alakban.
Piramis mint háromdimenziós figura
Mindenki tud az egyiptomi piramisokról, így van egy jó ötlete, hogy melyik alakról lesz szó. Az egyiptomi kőépítmények azonban csak egy speciális eset a piramisok hatalmas osztályának.
A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik, amely nem tartozik az alapsíkhoz. Ez a meghatározás egy n-szögű és n háromszögből álló ábrához vezet.
Bármely piramis n+1 lapból, 2n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a vizsgált ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma megfelel az Euler-egyenlőségnek:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Az alján lévő sokszög adja a piramis nevét,például háromszögletű, ötszögletű stb. Az alábbi képen egy sor különböző alappal rendelkező piramis látható.
Azt a pontot, ahol az ábra n háromszöge összekapcsolódik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor van egy ferde piramis.
Azt az egyenes alakot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja, szabályosnak nevezzük.
Piramis térfogatképlet
A piramis térfogatának kiszámításához az integrálszámítást használjuk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos vágósíkokkal végtelen számú vékony rétegre osztjuk. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszögletű gúla látható, amelyben egy vékony metszetréteg négyszöggel van megjelölve.
Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Itt A0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z=0, akkor a képlet az A0.
értéket adja
A piramis térfogatának képletéhez ki kell számítani az integrált az ábra teljes magasságára, azaz:
V=∫h0(A(z)dz).
Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához elegendő az ábra magasságát megszorozni az alap területével, majd az eredményt elosztani hárommal.
Megjegyezzük, hogy az eredményül kapott kifejezés egy tetszőleges típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Azaz lehet ferde, és alapja lehet tetszőleges n-szög.
A helyes piramis és térfogata
A fenti bekezdésben kapott általános térfogati képlet finomítható a megfelelő alappal rendelkező gúla esetében. Egy ilyen alap területét a következő képlet segítségével számítjuk ki:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.
Az A0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezéshez vezet:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Egy szabályos négyszög alakú piramis esetében a térfogatképlet a következő:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2ó.
A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához ismerni kell alapjuk oldalát és az ábra magasságát.
Csonka piramis
Tegyük fel, hogy vettükegy tetszőleges piramist, és vágja le oldalfelületének a tetejét tartalmazó részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk párhuzamos hasonló alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk valamilyen k együtthatóval.
A fenti képen egy csonka szabályos hatszögletű gúla látható. Látható, hogy felső alapját az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.
Egy csonka gúla térfogatának képlete, amely a megadotthoz hasonló integrálszámítással származtatható:
V=1/3ó(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Ahol A0 és A1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magassága.
Kheopsz piramisának térfogata
Érdekes megoldani a legnagyobb egyiptomi piramis belsejében lévő térfogat meghatározásának problémáját.
1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok megállapították a Kheopsz-piramis pontos méreteit. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Az építmény mind a négy oldalának átlagos hossza 230,363 méter volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.
A megadott számadatok segítségével határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát. Mivel a piramis szabályos négyszög, ezért a képlet érvényes rá:
V4=1/3L2h.
Cseréljük be a számokat, így kapjuk:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
A Kheopsz piramis térfogata közel 2,6 millió m3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai medence térfogata 2,5 ezer m3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis feltöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szükség!
