A matematikatanárok már az ötödik osztályban megismertetik diákjaikat a „kombinatorikus probléma” fogalmával. Erre azért van szükség, hogy a jövőben bonyolultabb feladatokkal tudjanak dolgozni. Egy probléma kombinatorikus jellege felfogható úgy is, mint a megoldás lehetősége egy véges halmaz elemeinek felsorolásával.
Ebben a sorrendben a feladatok fő jele a hozzájuk intézett kérdés, amely így hangzik: „Hány lehetőség?” vagy "Hányféleképpen?" A kombinatorikus feladatok megoldása közvetlenül attól függ, hogy a megoldó megértette-e a jelentést, képes volt-e helyesen ábrázolni a feladatban leírt cselekvést vagy folyamatot.
Hogyan oldjunk meg egy kombinatorikus feladatot?
Fontos az összes kapcsolat típusának helyes meghatározása a vizsgált problémában, de ellenőrizni kell, hogy vannak-e benne ismétlődések, változnak-e maguk az elemek, nagy szerepet játszik-e a sorrendjük, és néhány más tekintetében istényezők.
A kombinatorikus problémáknak számos korlátozása lehet, amelyek a kapcsolatokra vonatkozhatnak. Ebben az esetben teljesen ki kell számítania a megoldást, és ellenőriznie kell, hogy ezek a korlátozások hatással vannak-e az összes elem csatlakoztatására. Ha valóban van hatás, akkor ellenőrizni kell, hogy melyik.
Hol kezdje?
Először is meg kell tanulnod a legegyszerűbb kombinatorikus feladatok megoldását. Az egyszerű anyagok elsajátítása lehetővé teszi, hogy megtanulja megérteni az összetettebb feladatokat. Javasoljuk, hogy először olyan korlátozásokkal kezdje meg a problémák megoldását, amelyeket nem vesznek figyelembe egy egyszerűbb lehetőség mérlegelésekor.
Az is ajánlott, hogy először azokat a problémákat próbálja meg megoldani, amelyeknél kisebb számú közös elemet kell figyelembe vennie. Ily módon megértheti a minták létrehozásának elvét, és megtanulhatja, hogyan hozhatja létre őket a jövőben. Ha a probléma, amelyhez a kombinatorikát kell használni, több egyszerűbb kombinációból áll, akkor ajánlatos részekben megoldani.
Kombinatorikus feladatok megoldása
Az ilyen problémák könnyen megoldhatónak tűnhetnek, de a kombinatorikát meglehetősen nehéz elsajátítani, némelyiküket az elmúlt több száz évben nem sikerült megoldani. Az egyik leghíresebb probléma a különleges sorrendű mágikus négyzetek számának meghatározása, ha az n szám nagyobb, mint 4.
A kombinatorikus probléma szorosan kapcsolódik a középkorban megjelent valószínűségelmélethez. Valószínűségegy esemény eredetét csak kombinatorika segítségével lehet kiszámítani, ebben az esetben az összes tényezőt helyeken váltogatni kell az optimális megoldás érdekében.
Problémamegoldás
A megoldással együtt járó kombinatorikus feladatokat arra használjuk, hogy megtanítsák a tanulóknak és hallgatóknak, hogyan dolgozzanak ezzel az anyaggal. Általánosságban elmondható, hogy fel kell kelteniük az emberben az érdeklődést és a közös megoldás megtalálásának vágyát. A matematikai számítások mellett szükség van mentális stressz alkalmazására és találgatásokra is.
A kitűzött feladatok megoldása során a gyermek képes lesz fejleszteni matematikai képzelőerejét és kombinatorikus képességeit, ez a jövőben komoly hasznára lehet. Fokozatosan növelni kell a megoldandó feladatok összetettségi szintjét, hogy ne felejtsük el a meglévő ismereteket, és ne egészítsük ki azokat.
1. módszer. Mellbőség
A kombinatorikus feladatok megoldásának módszerei nagyban különböznek egymástól, de mindegyiket felhasználhatja a tanuló, hogy választ kapjon. Az egyik legegyszerűbb, de ugyanakkor a leghosszabb út a nyers erőszak. Ezzel csak végig kell menned az összes lehetséges megoldáson sémák és táblázatok összeállítása nélkül.
Ebben a feladatban a kérdés általában egy esemény eredetének lehetséges változataira vonatkozik, például: milyen számok készíthetők a 2, 4, 8, 9 számokkal? Az összes lehetőség átkutatásával összeáll egy válasz, amely lehetséges kombinációkból áll. Ez a módszer nagyszerű, ha a lehetséges lehetőségek számaviszonylag kicsi.
2. módszer. Lehetőségek fája
Néhány kombinatorikus probléma csak úgy oldható meg, ha diagramokat készítünk, amelyek részletes információkat tartalmaznak az egyes elemekről. A válasz megtalálásának másik módja a lehetséges opciók fájának összeállítása. Alkalmas nem túl nehéz problémák megoldására, amelyeknek van egy további feltétele.
Példa egy ilyen feladatra:
Milyen ötjegyű számok készíthetők a 0, 1, 7, 8 számokból? Megoldásához minden lehetséges kombinációból fel kell építeni egy fát, és van egy további feltétel - a szám nem kezdődhet nulláról. Így a válasz minden olyan számból áll majd, amelyek 1-gyel, 7-tel vagy 8-cal kezdődnek
3. módszer. Táblázatok kialakítása
A kombinatorikus problémák táblázatok segítségével is megoldhatók. Hasonlóak a lehetséges lehetőségek fájához, mivel vizuális megoldást kínálnak a helyzetre. A helyes válasz megtalálásához egy táblázatot kell alkotnia, amely tükröződik: a vízszintes és a függőleges feltételek azonosak lesznek.
A lehetséges válaszokat az oszlopok és sorok metszéspontjában kapjuk meg. Ebben az esetben nem kapunk válaszokat egy oszlop és egy sor metszéspontjában azonos adatokkal, ezeket a metszéspontokat külön meg kell jelölni, hogy ne keveredjünk össze a végső válasz összeállításánál. Ezt a módszert nem gyakran választják a diákok, sokan inkább a lehetőségeket tartalmazó fát választják.
4. módszer. Szorzás
Van egy másik módja a kombinatorikus problémák megoldásának – a szorzás szabálya. Jól vanalkalmas arra az esetre, ha a feltételnek megfelelően nem szükséges minden lehetséges megoldást felsorolni, csak meg kell találni a maximális számát. Ez a módszer egyedülálló, nagyon gyakran alkalmazzák, amikor csak elkezdenek kombinatorikai feladatokat megoldani.
Egy példa egy ilyen feladatra így nézhet ki:
6 embert várnak a vizsgára a folyosón. Hányféleképpen rendezheti el őket az általános listában? A válaszhoz tisztázni kell, hogy hány lehet belőlük az első helyen, hány a másodikban, a harmadikban stb. A válasz a 720-as szám lesz
Kombinatorika és típusai
A kombinatorikus feladat nemcsak tananyag, hanem egyetemisták is tanulják. A tudományban többféle kombinatorika létezik, és mindegyiknek megvan a maga küldetése. A felsoroló kombinatorikáknak figyelembe kell venniük a lehetséges konfigurációk felsorolását és felsorolását további feltételekkel.
A strukturális kombinatorika az egyetemi program része, a matroidok és gráfok elméletét tanulmányozza. Az extrém kombinatorika az egyetemi anyagokhoz is kapcsolódik, és itt vannak egyéni korlátok. Egy másik rész a Ramsey-elmélet, amely az elemek véletlenszerű variációiban lévő szerkezetek vizsgálatával foglalkozik. Létezik nyelvi kombinatorika is, amely egyes elemek egymással való kompatibilitásának kérdésével foglalkozik.
A kombinatorikus feladatok tanításának módszere
Az oktatóanyag szerinttervek szerint a tanulók életkora, amely ennek az anyagnak az elsődleges megismerésére és a kombinatorikus feladatok megoldására szolgál, 5. évfolyam. Itt kínálják először a témát a hallgatóknak megfontolásra, megismerkednek a kombinatorialitás jelenségével, és megpróbálják megoldani a rájuk bízott feladatokat. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a kombinatorikus probléma felállításakor olyan módszert alkalmazzanak, amikor a gyerekek maguk keresik a választ a kérdésekre.
Többek között ennek a témának a tanulmányozása után sokkal könnyebb lesz bevezetni a faktoriális fogalmát és használni egyenletek, feladatok stb. megoldásánál. Így a kombinatorialitás fontos szerepet játszik a továbbképzésben.
Kombinatorikus problémák: miért van szükség rájuk?
Ha tudod, mik a kombinatorikus problémák, akkor nem fogsz nehézséget tapasztalni a megoldásukkal. A megoldásukra szolgáló technika akkor lehet hasznos, ha olyan ütemterveket, munkabeosztásokat, valamint összetett matematikai számításokat kell készíteni, amelyek nem alkalmasak elektronikus eszközökhöz.
Azokban az iskolákban, ahol elmélyülten tanulnak matematikát és számítástechnikát, a kombinatorikus feladatokat kiegészítik, ehhez speciális kurzusokat, taneszközöket, feladatokat állítanak össze. Az egységes állami matematika vizsgán általában több ilyen jellegű feladat is szerepelhet, általában a C részben „elrejtve” vannak.
Hogyan lehet gyorsan megoldani egy kombinatorikus feladatot?
Nagyon fontos, hogy lássuk a kombinatorikus problémátgyorsan, mivel lehet burkolt megfogalmazása is, ez különösen fontos a sikeres vizsga esetén, ahol minden perc számít. Írja le külön a probléma szövegében látható információkat egy papírra, majd próbálja meg elemezni az általa ismert négy módszer szerint.
Ha az információkat táblázatba vagy más formációba tud helyezni, próbálja meg megoldani. Ha nem tudja besorolni, ebben az esetben a legjobb, ha hagyja egy kicsit, és áttér egy másik feladatra, hogy ne veszítse el a drága időt. Ez a helyzet bizonyos számú ilyen típusú feladat előzetes megoldásával elkerülhető.
Hol találhatok példákat?
Az egyetlen dolog, ami segít megtanulni a kombinatorikus problémák megoldását, a példák. Megtalálhatóak speciális matematikai gyűjteményekben, amelyeket az oktatási irodalom üzleteiben árulnak. Ott azonban csak egyetemisták számára találhat információt, az iskolásoknak ezen felül kell keresniük a feladatokat, a feladatokat általában más tanárok találják ki.
A felsőoktatási tanárok úgy vélik, hogy a diákoknak képzést kell készíteniük, és folyamatosan további oktatási szakirodalmat kell kínálniuk nekik. Az egyik legjobb gyűjtemény az 1977-ben írt "Diszkrét elemzés módszerei a kombinatorikus problémák megoldásában", amelyet az ország vezető kiadói adtak ki többször is. Itt találhat olyan feladatokat, amelyek akkoriban relevánsak voltak, és ma is aktuálisak.
Mi van, ha kombinatorikus feladatot kell készíteni?
Leggyakrabban kombinatorikus problémákat kell komponálnitanárok, akik kötelesek megtanítani a diákokat a kereteken kívüli gondolkodásra. Itt minden a fordító kreatív potenciáljától függ. Javasoljuk, hogy figyeljen a meglévő gyűjteményekre, és próbáljon meg úgy megfogalmazni egy feladatot, hogy az egyszerre több megoldási módot kombináljon, és a könyvtől eltérő adatokkal rendelkezzen.
Az egyetemi tanárok e tekintetben sokkal szabadabbak, mint az iskolai tanárok, gyakran azt a feladatot adják diákjaiknak, hogy részletes megoldási módszerekkel és magyarázatokkal maguk találjanak ki kombinatorikus problémákat. Ha sem az egyik, sem a másik, kérhetsz segítséget azoktól, akik valóban értenek a kérdéshez, illetve kérhetsz magántanárt. Egy akadémiai óra elegendő több hasonló probléma megoldásához.
Kombinatorika – a jövő tudománya?
A matematika és a fizika területén sok szakember úgy gondolja, hogy a kombinatorikus probléma az, amely lendületet adhat minden műszaki tudomány fejlődésének. Elég, ha nem szabványos megközelítést alkalmaz bizonyos problémák megoldására, és akkor megválaszolhatja azokat a kérdéseket, amelyek évszázadok óta kísértik a tudósokat. Néhányan komolyan érvelnek amellett, hogy a kombinatorika minden modern tudomány, különösen az asztronautika számára segítség. Kombinatorikus feladatok segítségével sokkal egyszerűbb lesz kiszámítani a hajók repülési útvonalát, és lehetővé teszik bizonyos égitestek pontos elhelyezkedésének meghatározását is.
A nem szabványos megközelítés bevezetése már régóta elkezdődött az ázsiai országokban, ahol a diákok méga szorzást, kivonást, összeadást és osztást kombinatorikus módszerekkel oldják meg. Sok európai tudós meglepetésére a technika valóban működik. Az európai iskolák eddig csak tanulni kezdtek kollégáik tapasztalataiból. Hogy pontosan mikor válik a kombinatorika a matematika egyik fő ágává, nehéz megtippelni. Most a tudományt a világ vezető tudósai tanulmányozzák, akik népszerűsíteni akarják.
